Фазовая скорость электромагнитной волны

В вакууме для электромагнитной волны любой частоты (по крайней мере, в тех диапазонах частот и интенсивностей, которые исследованы) фазовая скорость, измеренная в направлении волнового вектора, всегда равна одной и той же величине — скорости света в вакууме, универсальной константе.

В средах закон дисперсии электромагнитных волн достаточно сложен (см. Дисперсия света), и фазовая скорость может заметно меняться, вплоть до отрицательных значений.

Для волнового уравнения

Любая волна, описываемая волновым уравнением

имеет фазовую скорость С (причем C здесь — какой-то постоянный коэффициент; скорости света этот коэффициент равен в волновом уравнении для электромагнитных волн).

Такой результат получается прямой подстановкой в это уравнение монохроматической волны вида и затем вычислением .

Этот результат верен не только для волнового уравнения на одномерном пространстве (мы его использовали выше лишь для краткости; всё остается совершенно аналогичным при любом количестве производных по координатам в правой части).

Для уравнения Клейна—Гордона

Для уравнения Клейна—Гордона

отличающееся только последним членом, дает при аналогичной подстановке

откуда:

и

.

Это выражение при ненулевых вещественных m всегда больше, чем C и может быть сколь угодно большим при k → 0.

Фазовая скорость как вектор

В некотором смысле фазовая скорость не является вектором. Говоря так, имеют в виду тот факт, что фазовые скорости по разным направлениям (например по направлениям координатных осей), определяемые как это описано выше, не являются ни координатами, ни проекциями^[ никакого вектора , в том числе очевидно не являются проекциями или координатами вектора, совпадающего по направлению с волновым вектором, и с абсолютной величиной, равной фазовой скорости в этом направлении.

Но это, конечно, не мешает при желании ввести чисто формально вектор фазовой скорости, по определению совпадающий по направлению с волновым вектором, и с абсолютной величиной, равной фазовой скорости в этом направлении. Вопрос о том, корректно ли называть такой вектор вектором фазовой скорости, является чисто терминологическим (конвенциональным), фактом является лишь то, что его проекции на оси координат или компоненты по этим осям не будут соответствовать фазовой скорости вдоль этих направлений в соответствии с определением фазовой скорости по направлению, данным в начале статьи (и вообще с каким-то разумным определением, кроме чисто формального, описанного в данном абзаце).

Конкретно же, для случая плоской гармонической волны фазовую скорость вдоль волнового вектора можно выразить следующим образом:

,

где — волновое число, — угловая частота. При этом, фазовая скорость вдоль направления, отклонённого от волнового вектора на угол , будет равна:

Непонимание этого факта часто служит причиной недоразумений и ошибок. Например, из приведенного выше ясно, что фазовая скорость может быть больше скорости света (это вытекает прямо из только что приведенной формулы, учитывая что может принимать сколь угодно малые значения при стремлении угла к прямому, и, соответственно, фазовая скорость по направлению, близкому к ортогональному, оказывается сколь угодно велика, стремясь к бесконечности .