Дискретные сигналы и системы.
Содержание
| Вместо введения | |||
| Фундамент анализа систем | |||
| Дискретные сигналы и системы | |||
| Линейные стационарные системы | |||
| Устойчивость и физическая реализуемость | |||
| Представление дискретных сигналов и систем в частотной области | |||
| Дискретизация сигналов с непрерывным временем | |||
| Z-преобразование | |||
| Обратное Z-преобразование | |||
| Свойства Z-преобразования | |||
| Дискретное образование Фурье | |||
| Вычисление дискретного преобразования Фурье | |||
| Алгоритм БПФ с прореживанием по времени | |||
| Вычисления с замещением | |||
| Теория и расчет цифровых фильтров с импульсными характеристиками конечной длины | |||
| Метод взвешивания | |||
| Прямоугольное окно | |||
| Обобщенное окно Хэмминга | |||
| Окно Кайзера | |||
| Метод частотной выборки | |||
| Решение задачи оптимизации | |||
| Два вида частотных выборок | |||
| Примеры использования фильтров. Спектральный анализ в одной точке z-плоскости. | |||
| Алгоритм Блюстейна | |||
| Теория и аппроксимация цифровых фильтров с бесконечными импульсными характеристиками | |||
| Квадрат амплитудной характеристики | |||
| Фазовая характеристика | |||
| Характеристика групповой задержки | |||
| Методы расчета коэффициентов БИХ-фильтра | |||
| Расчет цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени | |||
| Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики | |||
| Билинейное z-преобразование | |||
| Согласованное z-преобразование | |||
| Методы расчета аналоговых фильтров нижних частот | |||
| Фильтры Баттерворта | |||
| Фильтры Бесселя | |||
| Фильтры Чебышева | |||
| Эллиптические фильтры | |||
| Список источников | |||
Посвящается
Казенной Наталье Евгеньевне
Вместо введения
Сразу подчеркну, что пособие это адресовано в первую очередь студентам соответствующих специальностей, но может быть использовано и как справочное руководство для инженеров.
В этой части пособия я хочу ответить на один вопрос, которому непременно приходится уделять внимание на протяжении всего курса чтения лекций. Звучит он обычно так: «А зачем вообще мне это нужно?». Мне кажется, я могу ответить на этот вопрос. За последние несколько лет область информационных технологий развивалась столь стремительно, что трудно выделить какую либо одну дисциплину или направление, гарантирующее будущему специалисту интересную высокооплачиваемую работу в стабильном секторе рынка. К тому же выбор рода занятий для большинства людей является больше личностным чем объективным. Однако, есть в этом непрерывном хаосе смены технологий, направлений, требований и т.п. некоторые общие веяния. Именно «веяния», потому что не дают они конкретных рецептов решения задач, а лишь указывают новые пути развития, соединяя воедино несколько предыдущих технологий. Попытаюсь объяснить это на примере термина «цифровая обработка сигналов». Предположим, вы хотите сделать простейший приемник радиосигнала. Очень многим известно, что помимо антенны (да простят меня люди, родившиеся с паяльником в руках, за столь упрощенное изложение) в этом приборе должен присутствовать колебательный контур, который «отзывается» только на определенный диапазон частот. Для того, чтобы уметь настраивать контур, мы должны знать, какие из его параметров за что отвечают. Вполне естественно в этом случае построить математическую модель, используя которую, можно собрать, в конце концов, этот приемник из нескольких радиодеталей. Как просто было составить дифференциальное уравнение контура, но как тяжело было наматывать 250 витков тонкого и хрупкого провода на ферритовый сердечник! А если система будет более сложной? Любое проявление вашей фантазии на бумаге непременно наткнется на жесткие законы окружающего вас мира. Вся беда в том, что математическую модель в том или ином виде нам приходится разрабатывать всегда (исключая редкие эмпирические методы), а вот проверить результаты мы можем только или реализовав модель физически, или с помощью симуляции на компьютере.
С появлением специализированных цифровых сигнальных процессоров (ЦСП,DSP) ситуация резко изменилась. Физически ЦСП представляет собой обычно однокристальную ЭВМ, содержащую разнообразные электрические интерфейсы для сбора исходных данных (в аналоговом и цифровом виде) и выдачи результирующих сигналов. Набор команд этого процессора специально рассчитан на реализацию наиболее распространенных алгоритмов. Но отличие его от аналогичных устройств заключается в том, что он как раз и позволяет вам полностью (условно) избавиться от паяльника и осциллографа и выпустить свою фантазию на волю. ЦСП получает на входе аналоговый сигнал (например, с той же антенны) и затем «изображает из себя» любое устройство, которое вы можете описать с помощью некоторой математической модели. На выходе сигнал опять преобразуется в аналоговую форму – и вот вам реальная замена любого электронного модуля, который раньше вам бы пришлось собирать и отлаживать вручную. Можно долго рассуждать о пользе такого подхода, о том как можно превратить одно устройство в другое путем замены только микрокода для ЦСП и о скорости выхода на рынок с подобными решениями, если вы все еще не верите в то что это направление является истинным «веянием» просто загляните под крышку своего мобильного телефона или попытайтесь понять почему внутри вашего самого навороченного модема стоит всего одна микросхема, на которой проглядываются фирменные метки гигантов DSP индустрии НПП «Модуль», «Analog Devices», «Texas Instruments», «Motorola».
Если вы молодой специалист, ощущающий в себе тягу к математическим изыскам, еще не определившийся с выбором сферы деятельности, настоятельно рекомендую вам изучить данное пособие, а лучше и весь список прилагаемой литературы.
Для тех, кто не любит долго читать, рекомендую приобрести инструментарий для разработки DSP приложений или скачать ограниченную бесплатную версию на сайте производителя. Вот далеко не полный список ресурсов интернета, посвященный DSP: www.ti.com, www.analog.com, www.motorola.com, www.scanti.ru, www.dspguru.com, www.mesi.net, www.gaoresearch.com.
Несмотря на то, что данное пособие не является в полной мере авторским трудом, как было указано в аннотации, на него все же было потрачено много как моих личных усилий, так и усилий помогавших мне людей. Прежде всего, хочу поблагодарить весь коллектив кафедры «ИТ-6», без постоянной поддержки со стороны которых я бы не написал ни строчки, мою семью, родителей, сестру за понимание, самого дорогого мне человека Казенную Наталью, самых близких друзей Мачульского К.Ю., Рачуна Р.А. и Обозянского В.В. за поддержку в минуты отчаяния, весь коллектив фирмы «Вокорд Телеком» за терпение, а также ЗАО «А.С.К.» в лице ее генерального директора Хрущева А.В. и авиационного директора Хрущева Л.В. за ценные замечания и поддержку. Отдельную благодарность хочу выразить сотрудникам Северо - Западного ОБОП города Москвы.
Мельников Алексей
13 Апреля 2002 г.
Фундамент анализа систем
Если вы свободно оперируете понятиями «скалярное произведение функций», «преобразование Фурье», «преобразование Лапласа», то чтение данного параграфа стоит пропустить. Если же нет, то это как раз самый подходящий случай изучить эти фундаментальные понятия. Прежде всего под сигналом будем понимать функцию. Обычно это будет функция времени, и время мы будем считать пока непрерывным. Очень часто сигналы требуется сравнить друг с другом. Обычно нет смысла сравнивать сигналы поточечно по амплитуде – это вряд ли позволит ответить на вопрос, похож ли принятый сигнал на тот который мы ждем. Пусть, например, у нас есть два сигнала – просто синусоида и синусоида с добавленной к ней постоянной составляющей. Если предположить, что постоянная составляющая достаточно велика, то при поточечном сравнении амплитуд окажется что сигналы сильно различны. Однако на самом деле оба этих сигнала могут быть синусоидами одинаковой амплитуды и частоты! Для того чтобы «правильно» сравнивать сигналы удобно воспользоваться векторной абстракцией. У вектора есть направление и модуль. Как бы далеко не находились два одинаковых вектора, мы всегда можем их сравнить по модулю и направлению. Самым удобным в этом случае является использование скалярного произведения векторов, которое по определению равно произведению модуля одного вектора на модуль другого и на косинус угла между ними. Определить его очень легко: для этого нужно просуммировать все произведения соответствующих координат обоих векторов. Таким образом, скалярное произведение есть мера сонаправленности (схожести) векторов.
С другой стороны, любой вектор есть не более чем набор чисел. Если любую функцию мы можем представить бесконечным количеством ее значений, то функция также есть вектор, а стало быть, мы можем подсчитать скалярное произведение между двумя функциями:
 | (1.1) |
Впервые такое представление о функциях ввел итальянский математик Вольтерра. Таким образом, скалярное произведение двух функций есть мера их «похожести».
Теперь перейдем к преобразованиям сигналов (функций). Для преобразования будем использовать понятие оператора, или, что то же самое, ориентированную систему.
 | (1.2) |
Здесь x(t) – есть независимый входной сигнал, а y(t) – выходной результат преобразования S. Если преобразование S является линейным (понятие линейной системы подробно обсуждается далее в этом пособии), то практически все сигналы, проходя через нее, будут как-то менять свою форму. Но есть одно исключение – функция 
- комплексная экспонента. Эта функция, проходя сквозь линейную систему S, не меняет свою форму, а меняет только амплитуду и фазу. Если трактовать эту функцию как вектор, то она называется собственным вектором преобразования S.
Ввиду такой особенности этой функции было бы удобным все функции, проходящие сквозь линейную систему, рассматривать как совокупность таких комплексных экспонент.
Как же разложить наш произвольный сигнал на набор комплексных экспонент? Ответ прост: надо воспользоваться скалярным произведением. Если взять набор комплексных экспонент с единичной амплитудой и разными частотами, то скалярное произведение кождой из них на наш сигнал как раз и даст меру присутствия комплексной экспоненты такой частоты в нашем сигнале:
 | (1.3) |
Формула (1.3) задает прямое преобразование Фурье. Так как каждая комплексная экспонента, проходя через линейную систему, изменяется только по амплитуде и фазе, то мы можем получить амплитуду и фазу для каждой частотной составляющей выходного сигнала путем простого умножения:
 , | (1.4) |
где 
- частотная характеристика системы, определяющая, как изменяется по амплитуде и по фазе комплексная экспонента заданной частоты.
Существует также и обратное преобразование Фурье. Оно задается формулой:
 | (1.5) |
Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос: какую смысловую нагрузку несет в себе знак минус в степени экспоненты в прямом преобразовании Фурье и почему его нет в обратном?
Каждой линейной системе S соответствует некоторое линейное дифференциальное уравнение. Известно, что общее решение любого линейного уравнения есть взвешенная сумма функций 
, где 
- некоторое комплексное число, являющееся корнем характеристического уравнения для этого дифференциального уравнения. По этой причине, при изучении системы с помощью дифференциального уравнения было бы удобным представить входной сигнал и выходной сигнал (решение уравнения) в виде суммы функций . Т.е. необходимо наши сигналы-векторы вновь разложить по некоторому базису функций-векторов, на этот раз зависящих от переменной s. Такое разложение носит имя прямого преобразования Лапласа:
 | (1.6) |
Ему соответствует обратное преобразование:
 | (1.7) |
Преобразование Лапласа также называют переходом в область изображений. В этой области операция дифференцирования заменяется умножением на s, а интегрирование – делением на s. Поэтому соотношение (1.4) можно обобщить:
 , | (1.8) |
где функция H(s) называется передаточной функцией системы S. Такое представление линейной системы, как мы увидим позже, позволяет упростить решение большинства задач обработки сигналов.
Таковы замечательные свойства комплексной экспоненты относительно линейных преобразований. Ключевыми моментами здесь являются: представление функции как вектора, использование скалярного произведения для перехода к новым системам координат, использование специфических свойств комплексной экспоненты. Все это вместе и ничего больше составляет фундамент анализа линейных систем. А теперь перейдем к основам цифровой обработки сигналов.
Вычисления с замещением
Направленный граф для полного разложения восьмиточечного ДПФ в алгоритме с прореживанием по времени изображен на Рис. 1.7. На каждой ступени вычислений происходит преобразование множества из N комплексных чисел в другое множество из N комплексных чисел. Этот процесс повторяется 
раз, определяя в результате дискретное преобразование Фурье. Обозначим последовательность комплексных чисел, получающихся на m-ой ступени вычисления, через 
, где 
= 
и m=1,2,… 
. Можно считать 
входным массивом, а 
выходным массивом на m+1 ступени вычислений. Таким образом, для случая N=8:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
Основным вычислением на графе является вычисление по схеме «бабочка» Рис. 1.8.
Рис. 1.7. Схема 8-точечного БПФ.
 |
Рис. 1.8.
Рис. 1.9.
 |
Уравнение, соответствующее этому графу, имеет вид:
  | (1.55) |
Учитывая, что 
, получаем:
  | (1.56) |
Следовательно, так как имеются N/2 бабочек вида (1.56) на каждую ступень и 
ступеней, общее требуемое число умножений 
. Ясно, что для вычисления элементов p и q m+1-го массива требуются комплексные числа, расположенные на местах p и q m-го массива. Поэтому реально необходим только один комплексный массив из N элементов.
Чтобы вычисления выполнялись так, как сказано выше, входные данные должны быть записаны в необычном порядке, который называется двоичной инверсией.
Если (n0,n1,n2) – двоичное представление номеров последовательности 
, то элемент последовательности x(n2n1n0) запоминается в массиве на месте X(n0n1n2).
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
.
Объяснить этот факт можно с помощью следующей схемы:
Рис. 1.10. 
Двоичная инверсия.
| int math_inverse_bits( int value, int bits ) // инвертируем биты для преобразования Фурье { int result = 0 ; int mask = 1 << (bits-1) ; for ( int i=0; i<bits; i++ ) { if ( value & mask ) result |= 1 << i ; mask = mask >> 1 ; } return ( result ) ; } BOOL math_fft( double* dbl_array, int* nSize ) { // определяем длину для преобразования фурье int tmp_size = *nSize ; for( int M=0; tmp_size>1; tmp_size/=2,M++ ) ; int fft_size = 1 << M ; // 1<<M == 2^M // подготавливаем массив std::complex<double>* fft_array = new std::complex<double>[ fft_size ] ; ASSERT( fft_array ) ; // устанавливаем порядок для fft for ( int i=0; i<fft_size; i++ ) { fft_array[ math_inverse_bits(i,M) ] = std::complex<double>(dbl_array[ i ],0.0) ; } double pi = 3.141592653589793 ; // M этапов for ( int l=0; l<M; l++ ) { int le = 1 << (l+1) ; // le - смещение между бабочками int le1 = le >> 1 ; // le1 - размер бабочки std::complex<double> U ( 1.0, 0.0 ) ; std::complex<double> W ( cos( pi / le1 ), sin( pi / le1 ) ) ; for ( int j=0; j<le1; j++ ) { for ( int i=j; i<fft_size; i+=le ) { int ip = i + le1 ; std::complex<double> T = fft_array[ ip ] * U ; fft_array [ ip ] = fft_array[ i ] - T ; fft_array [ i ] = fft_array[ i ] + T ; } U *= W ; } } for ( i=0; i<fft_size / 2 ; i++ ) { dbl_array[ i ] = std::abs( fft_array[ i ] ) ; } *nSize = fft_size / 2 ; delete[] fft_array ; fft_array = NULL ; return ( TRUE ) ; } |
Рис. 1.11. Пример программы БПФ на языке C++.
Содержание
| Вместо введения | |||
| Фундамент анализа систем | |||
| Дискретные сигналы и системы | |||
| Линейные стационарные системы | |||
| Устойчивость и физическая реализуемость | |||
| Представление дискретных сигналов и систем в частотной области | |||
| Дискретизация сигналов с непрерывным временем | |||
| Z-преобразование | |||
| Обратное Z-преобразование | |||
| Свойства Z-преобразования | |||
| Дискретное образование Фурье | |||
| Вычисление дискретного преобразования Фурье | |||
| Алгоритм БПФ с прореживанием по времени | |||
| Вычисления с замещением | |||
| Теория и расчет цифровых фильтров с импульсными характеристиками конечной длины | |||
| Метод взвешивания | |||
| Прямоугольное окно | |||
| Обобщенное окно Хэмминга | |||
| Окно Кайзера | |||
| Метод частотной выборки | |||
| Решение задачи оптимизации | |||
| Два вида частотных выборок | |||
| Примеры использования фильтров. Спектральный анализ в одной точке z-плоскости. | |||
| Алгоритм Блюстейна | |||
| Теория и аппроксимация цифровых фильтров с бесконечными импульсными характеристиками | |||
| Квадрат амплитудной характеристики | |||
| Фазовая характеристика | |||
| Характеристика групповой задержки | |||
| Методы расчета коэффициентов БИХ-фильтра | |||
| Расчет цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени | |||
| Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики | |||
| Билинейное z-преобразование | |||
| Согласованное z-преобразование | |||
| Методы расчета аналоговых фильтров нижних частот | |||
| Фильтры Баттерворта | |||
| Фильтры Бесселя | |||
| Фильтры Чебышева | |||
| Эллиптические фильтры | |||
| Список источников | |||
Посвящается
Казенной Наталье Евгеньевне
Вместо введения
Сразу подчеркну, что пособие это адресовано в первую очередь студентам соответствующих специальностей, но может быть использовано и как справочное руководство для инженеров.
В этой части пособия я хочу ответить на один вопрос, которому непременно приходится уделять внимание на протяжении всего курса чтения лекций. Звучит он обычно так: «А зачем вообще мне это нужно?». Мне кажется, я могу ответить на этот вопрос. За последние несколько лет область информационных технологий развивалась столь стремительно, что трудно выделить какую либо одну дисциплину или направление, гарантирующее будущему специалисту интересную высокооплачиваемую работу в стабильном секторе рынка. К тому же выбор рода занятий для большинства людей является больше личностным чем объективным. Однако, есть в этом непрерывном хаосе смены технологий, направлений, требований и т.п. некоторые общие веяния. Именно «веяния», потому что не дают они конкретных рецептов решения задач, а лишь указывают новые пути развития, соединяя воедино несколько предыдущих технологий. Попытаюсь объяснить это на примере термина «цифровая обработка сигналов». Предположим, вы хотите сделать простейший приемник радиосигнала. Очень многим известно, что помимо антенны (да простят меня люди, родившиеся с паяльником в руках, за столь упрощенное изложение) в этом приборе должен присутствовать колебательный контур, который «отзывается» только на определенный диапазон частот. Для того, чтобы уметь настраивать контур, мы должны знать, какие из его параметров за что отвечают. Вполне естественно в этом случае построить математическую модель, используя которую, можно собрать, в конце концов, этот приемник из нескольких радиодеталей. Как просто было составить дифференциальное уравнение контура, но как тяжело было наматывать 250 витков тонкого и хрупкого провода на ферритовый сердечник! А если система будет более сложной? Любое проявление вашей фантазии на бумаге непременно наткнется на жесткие законы окружающего вас мира. Вся беда в том, что математическую модель в том или ином виде нам приходится разрабатывать всегда (исключая редкие эмпирические методы), а вот проверить результаты мы можем только или реализовав модель физически, или с помощью симуляции на компьютере.
С появлением специализированных цифровых сигнальных процессоров (ЦСП,DSP) ситуация резко изменилась. Физически ЦСП представляет собой обычно однокристальную ЭВМ, содержащую разнообразные электрические интерфейсы для сбора исходных данных (в аналоговом и цифровом виде) и выдачи результирующих сигналов. Набор команд этого процессора специально рассчитан на реализацию наиболее распространенных алгоритмов. Но отличие его от аналогичных устройств заключается в том, что он как раз и позволяет вам полностью (условно) избавиться от паяльника и осциллографа и выпустить свою фантазию на волю. ЦСП получает на входе аналоговый сигнал (например, с той же антенны) и затем «изображает из себя» любое устройство, которое вы можете описать с помощью некоторой математической модели. На выходе сигнал опять преобразуется в аналоговую форму – и вот вам реальная замена любого электронного модуля, который раньше вам бы пришлось собирать и отлаживать вручную. Можно долго рассуждать о пользе такого подхода, о том как можно превратить одно устройство в другое путем замены только микрокода для ЦСП и о скорости выхода на рынок с подобными решениями, если вы все еще не верите в то что это направление является истинным «веянием» просто загляните под крышку своего мобильного телефона или попытайтесь понять почему внутри вашего самого навороченного модема стоит всего одна микросхема, на которой проглядываются фирменные метки гигантов DSP индустрии НПП «Модуль», «Analog Devices», «Texas Instruments», «Motorola».
Если вы молодой специалист, ощущающий в себе тягу к математическим изыскам, еще не определившийся с выбором сферы деятельности, настоятельно рекомендую вам изучить данное пособие, а лучше и весь список прилагаемой литературы.
Для тех, кто не любит долго читать, рекомендую приобрести инструментарий для разработки DSP приложений или скачать ограниченную бесплатную версию на сайте производителя. Вот далеко не полный список ресурсов интернета, посвященный DSP: www.ti.com, www.analog.com, www.motorola.com, www.scanti.ru, www.dspguru.com, www.mesi.net, www.gaoresearch.com.
Несмотря на то, что данное пособие не является в полной мере авторским трудом, как было указано в аннотации, на него все же было потрачено много как моих личных усилий, так и усилий помогавших мне людей. Прежде всего, хочу поблагодарить весь коллектив кафедры «ИТ-6», без постоянной поддержки со стороны которых я бы не написал ни строчки, мою семью, родителей, сестру за понимание, самого дорогого мне человека Казенную Наталью, самых близких друзей Мачульского К.Ю., Рачуна Р.А. и Обозянского В.В. за поддержку в минуты отчаяния, весь коллектив фирмы «Вокорд Телеком» за терпение, а также ЗАО «А.С.К.» в лице ее генерального директора Хрущева А.В. и авиационного директора Хрущева Л.В. за ценные замечания и поддержку. Отдельную благодарность хочу выразить сотрудникам Северо - Западного ОБОП города Москвы.
Мельников Алексей
13 Апреля 2002 г.
Фундамент анализа систем
Если вы свободно оперируете понятиями «скалярное произведение функций», «преобразование Фурье», «преобразование Лапласа», то чтение данного параграфа стоит пропустить. Если же нет, то это как раз самый подходящий случай изучить эти фундаментальные понятия. Прежде всего под сигналом будем понимать функцию. Обычно это будет функция времени, и время мы будем считать пока непрерывным. Очень часто сигналы требуется сравнить друг с другом. Обычно нет смысла сравнивать сигналы поточечно по амплитуде – это вряд ли позволит ответить на вопрос, похож ли принятый сигнал на тот который мы ждем. Пусть, например, у нас есть два сигнала – просто синусоида и синусоида с добавленной к ней постоянной составляющей. Если предположить, что постоянная составляющая достаточно велика, то при поточечном сравнении амплитуд окажется что сигналы сильно различны. Однако на самом деле оба этих сигнала могут быть синусоидами одинаковой амплитуды и частоты! Для того чтобы «правильно» сравнивать сигналы удобно воспользоваться векторной абстракцией. У вектора есть направление и модуль. Как бы далеко не находились два одинаковых вектора, мы всегда можем их сравнить по модулю и направлению. Самым удобным в этом случае является использование скалярного произведения векторов, которое по определению равно произведению модуля одного вектора на модуль другого и на косинус угла между ними. Определить его очень легко: для этого нужно просуммировать все произведения соответствующих координат обоих векторов. Таким образом, скалярное произведение есть мера сонаправленности (схожести) векторов.
С другой стороны, любой вектор есть не более чем набор чисел. Если любую функцию мы можем представить бесконечным количеством ее значений, то функция также есть вектор, а стало быть, мы можем подсчитать скалярное произведение между двумя функциями:
| | (1.1) |
Впервые такое представление о функциях ввел итальянский математик Вольтерра. Таким образом, скалярное произведение двух функций есть мера их «похожести».
Теперь перейдем к преобразованиям сигналов (функций). Для преобразования будем использовать понятие оператора, или, что то же самое, ориентированную систему.
| | (1.2) |
Здесь x(t) – есть независимый входной сигнал, а y(t) – выходной результат преобразования S. Если преобразование S является линейным (понятие линейной системы подробно обсуждается далее в этом пособии), то практически все сигналы, проходя через нее, будут как-то менять свою форму. Но есть одно исключение – функция - комплексная экспонента. Эта функция, проходя сквозь линейную систему S, не меняет свою форму, а меняет только амплитуду и фазу. Если трактовать эту функцию как вектор, то она называется собственным вектором преобразования S.
Ввиду такой особенности этой функции было бы удобным все функции, проходящие сквозь линейную систему, рассматривать как совокупность таких комплексных экспонент.
Как же разложить наш произвольный сигнал на набор комплексных экспонент? Ответ прост: надо воспользоваться скалярным произведением. Если взять набор комплексных экспонент с единичной амплитудой и разными частотами, то скалярное произведение кождой из них на наш сигнал как раз и даст меру присутствия комплексной экспоненты такой частоты в нашем сигнале:
| | (1.3) |
Формула (1.3) задает прямое преобразование Фурье. Так как каждая комплексная экспонента, проходя через линейную систему, изменяется только по амплитуде и фазе, то мы можем получить амплитуду и фазу для каждой частотной составляющей выходного сигнала путем простого умножения:
| , | (1.4) |
где - частотная характеристика системы, определяющая, как изменяется по амплитуде и по фазе комплексная экспонента заданной частоты.
Существует также и обратное преобразование Фурье. Оно задается формулой:
| | (1.5) |
Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос: какую смысловую нагрузку несет в себе знак минус в степени экспоненты в прямом преобразовании Фурье и почему его нет в обратном?
Каждой линейной системе S соответствует некоторое линейное дифференциальное уравнение. Известно, что общее решение любого линейного уравнения есть взвешенная сумма функций , где - некоторое комплексное число, являющееся корнем характеристического уравнения для этого дифференциального уравнения. По этой причине, при изучении системы с помощью дифференциального уравнения было бы удобным представить входной сигнал и выходной сигнал (решение уравнения) в виде суммы функций . Т.е. необходимо наши сигналы-векторы вновь разложить по некоторому базису функций-векторов, на этот раз зависящих от переменной s. Такое разложение носит имя прямого преобразования Лапласа:
| | (1.6) |
Ему соответствует обратное преобразование:
| | (1.7) |
Преобразование Лапласа также называют переходом в область изображений. В этой области операция дифференцирования заменяется умножением на s, а интегрирование – делением на s. Поэтому соотношение (1.4) можно обобщить:
| , | (1.8) |
где функция H(s) называется передаточной функцией системы S. Такое представление линейной системы, как мы увидим позже, позволяет упростить решение большинства задач обработки сигналов.
Таковы замечательные свойства комплексной экспоненты относительно линейных преобразований. Ключевыми моментами здесь являются: представление функции как вектора, использование скалярного произведения для перехода к новым системам координат, использование специфических свойств комплексной экспоненты. Все это вместе и ничего больше составляет фундамент анализа линейных систем. А теперь перейдем к основам цифровой обработки сигналов.
Дискретные сигналы и системы.
Сигнал может быть определен как функция, переносящая информацию о состоянии или поведении физической системы. Математически сигналы представляются в виде функции одной или более независимых переменных. Независимая переменная в математическом представлении сигнала может быть как непрерывной, так и дискретной. Сигналы в непрерывном времени определяются на континууме моментов времени и, следовательно, представляются как функции от непрерывной переменной. Дискретные сигналы определяются в дискретные моменты времени и представляются последовательностями чисел.
Сигналы в непрерывном времени и с непрерывным диапазоном амплитуд называются аналоговыми.
Цифровые сигналы – сигналы, у которых дискретны и время, и амплитуда.
Если сигнал обладает дискретным аргументом, но непрерывными значениями, то такой сигнал называется дискретным. Дискретный сигнал формально может быть представлен в виде последовательности
 | (1.9) |
Некоторые примеры последовательностей играют важную роль при дискретной обработке сигналов.
Единичный импульс:
 | (1.10) |
Ступенчатая последовательность:
 | (1.11) |
Нетрудно заметить, что
 | (1.12) |
и
 | (1.13) |