Типы и характер экзаменационных заданий
Д. Досси отчасти вслед за исследователями TIMSS (третьего международного исследования математического и естественнонаучного образования) выделяет три основные категории, к которым, по его мнению, следует относить задания, предлагаемые на экзаменах: математические рассуждения, исследование и преодоление проблем, использование рутинных процедур. Далее он приводит расчеты, о доле заданий каждого типа в вариантах. Например, использование рутинных процедур составляет по его оценке порядка 35% в Японии, 37% во Франции, Баварии и Швеции, 20% в земле Баден-Вюртемберг, 55% в Англии и 70% в США.
Подобные расчеты (проведенные по весьма небольшому количеству вариантов) представляются ненадежными. Вряд ли внешний исследователь, недостаточно знакомый с учебниками и традициями преподавания в стране, может судить о том, какие задания являются рутинными для школьника. Даже и выводы о трудности вариантов (что также делает американский исследователь, умозаключая, что самые трудные варианты японские, а самые легкие – американские) не кажутся столь очевидными. Трудность и непривычность все же очевидно определяются системой тренировки и подготовки, о которых судить лишь по вариантам затруднительно.
И все же можно определенным образом охарактеризовать экзаменационные задания, пытаясь проследить за степенью разнообразия предлагаемых вопросов и их характером. Предпримем такой анализ для некоторых вариантов.
Рассматривая задачи, предлагаемые на американском тесте SAT, мы видим, что постановки вопросов практически всегда далеки от обычных школьных (что, впрочем, и естественно, поскольку текст не предназначен для проверки школьных результатов). Имеющиеся в небольшом количестве задания на преобразования формулируются, например, так: «3х+у=3. Вычислите 6х+2у+10», т.е. так, что преобразование выступает как средство, а не как самоцель. Соответственно, много разнообразных текстовых формулировок. В некоторых задачах предполагается умение работать с новыми тут же определяемыми понятиями. Приведем пример: «Будем называть число R-нечетным, если его можно представить в виде отношения двух различных простых чисел. Среди следующих чисел: 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8 найдите одно R-нечетное.». Во многих задачах проверяется способность быстро догадаться, подметить правдоподобную закономерность, провести проверку. При этом уровень требований и к математической технике и к математической строгости рассуждения обычно очень низок (нужно лишь найти ответ).
Задачи, предлагаемые на нью-йоркском экзамене Regents, напротив, не очень разнообразны – точнее, разнообразие в них достигается лишь привлечением различного содержания. Очень много в вариантах задач-одноходовок, в которых требуется непосредственно применить известную формулу (при чем-то, что это надо сделать никак особенно не замаскировано). Много заданий «решить уравнение», «найти простейшую форму выражения (упростить)» и т.п. Разумеется, для американского школьника задача «Нарисуйте графики функций y=3x и у=log3x и, пользуясь ими, ответьте, как взаимосвязаны эти функции», вероятно, не столь очевидна, как для российского (ввиду другой системы изучения соответствующих тем), но все же и для него она явно должна быть отнесена к задачам, проверяющим способность к воспроизведению изученного. В вариантах содержится достаточно большое количество текстовых задач (задач с содержанием из реального мира), однако обычно это тоже вполне однотипные упражнения на непосредственное применение формул (хотя иногда и незнакомых российскому школьнику). Приведем, как пример, задачу так сказать с историко-политическим содержанием: «Две стены мемориала Вьетнамской войны расположены под углом в 125,20 и имеют каждая по 246, 75 футов длины. Если одну из них продолжить на 900 футов, то она упрется в Мемориал Линкольна, а если вторую продолжить на 3500 футов, то она упрется в памятник Вашингтону. Определите расстояние от Мемориала Линкольна до памятника Вашингтона, округлив до целых футов». Вместе с тем иногда предлагаются и несколько выбивающиеся из общего ряда и редко встречающиеся формулировки (например, в одной из задач требуется показать, что данное утверждение неверно)
Английские варианты (да и немецкие, французские или израильские) отличаются от выше разобранных не только большей глубиной математических понятий, но и тем, что школьник вовлекается на экзамене в более разнообразную деятельность. Притом, что некоторые задания («решите неравенство», «найдите сумму», «вычислите интеграл» и т.п.) посвящены непосредственному использованию выученных правил или алгоритмов, это становится возможным за счет использования формы структурированного задания, форма которого помогает не только понять, как школьник выучил те или иные факты и приемы, но и в какой мере он может пользоваться получаемым, продвигаясь от одного пункта к другому (может ли он, например, использовать получаемые подсказки – воспользоваться по сути дела данной на конкретных примерах схемой решения или осуществить полное решение при условии, что какие-то его этапы указаны в первых пунктах задания и т.п.).
Несколько примеров было приведено выше в разделе, посвященном структуре экзаменационных заданий. Приведем еще несколько примеров.
«Компании нужно назначить нескольких представителей – одного в Ланкастершир, одного в Иоркшир, и одного в Кемберленд. Имеется восемь сотрудников, которых можно назначить на эти посты.
а) Определите число возможных вариантов назначения.
б) Определите число возможных групп сотрудников, которые будут назначены.
в) Двое из восьми сотрудников – братья Брауны. Определите, какова вероятность того, что оба брата будут назначены представителями при случайном выборе представителей».
«Поезд покрывает расстояние в D километров за Т минут. Начинается движение поезда после стоянки, причем в течение р минут поезд движется с постоянным ускорением, пока не достигает скорости u км/мин, эта скорость поддерживается в течение q минут, а затем под действием постоянной тормозящей силы уменьшается в течение р минут, пока поезд не останавливается.
а) (i) Нарисуйте график, показывающий зависимость скорости поезда от времени.
(ii) Выразите Т через p и q.
(iii) Покажите, что D=u(p+q)
б) Пусть D=90, p=2 а u=3
(i) Найдите q.
(ii) Покажите, что средняя скорость поезда в течение всего движения 2,8 км/мин.
в) Однажды машинист должен был остановить поезд на две минуты посередине дороги между начальным и конечным пунктом. Предполагая, что, делая остановку, поезд и замедлялся, и разгонялся с той же скоростью, что и ранее и, используя значения D, p и u из пункта б, найдите среднюю скорость поезда для его движения в этот день.»
Как показывает, последний пример, в английских вариантах находится место и для задач на математизацию реального мира (таких задач существенно меньше, в немецких, израильских и особенно французских вариантах). Особенно много таких заданий в голландских вариантах. Не приводя больше примеров (пример задания из голландского варианта уже приводился выше), лишь скажем, что задания голландского варианта кажутся очень нетрадиционными и разнообразными именно за счет того, что все время анализируются разные объекты реального мира (хотя нетрудно увидеть повторы в применяемых математических идеях).