Структура экзаменационных заданий

Составители американских тестов SAT выделяют в них три группы заданий: задания с выбором ответа, задания на количественные сравнения (тоже с выбором ответов) и задания, в которых учащиеся сами приходят к ответу. Приведем по одному примеру каждого типа.

Задания с выбором ответа. Эмми проехала х+5 миль при том, что ехала она со скоростью х-5 миль в час, где х>5. Сколько часов она ехала

А. B. C. D. E.

Задания на количественные сравнения. Для натуральных чисел х и у определена операция * следующим образом: х*у=2х+у-1. Пусть число р – натуральное.

В колонке А записано число (2р)*3

В колонке В записано число р*4

Тогда:

А. Число А больше. B. Число В больше. C. А=В. D. Общего ответа о сравнении чисел А и В дать нельзя.

Задания, в которых учащиеся сами приходят к ответу. Даны два множества Х= и У= Числа х и у случайным порядком выбираются соответсвенно из множеств Х и У. Определите вероятность того, что число содержится в множестве Х.

Необходимо при этом подчеркнуть, что даже в тех заданиях, в которых не дан ответ, от школьника практически лишь требуется его найти, к записи решения почти никакие требования не предъявляются.

Задания иного типа предлагаются в нью-йоркском экзамене Regents (наряду с заданиями с выборкой ответа). Это так называемые «задания со свободным ответом», т.е. привычные россиянину задания, в которых необходимо решение. В преамбуле к экзаменационному варианту специально оговорено, что «необходимо указывать все шаги решения, включая использование нужных формул, диаграмм, графиков, таблиц и т.п.» Подчеркивается, что при наличии одного лишь правильного ответа при отсутствии решения за задание будет выставлен только один балл (при том, что задания оцениваются в два или три балла). Приведем пример такого задания из экзамена Regents.

«У мальчика в коробке было 3 зеленых и 2 красных конфеты. Ожидая автобуса, он съел две конфеты (не глядя, какие он выбирает). Определите вероятность того, что съеденные конфеты были одного цвета».

Такого типа задания можно найти и в других вариантах. Приведем еще один пример.

Швеция. «Система уравнений имеет решение х=2 и у=-3. Найдите a и b.»

Наиболее распространенная форма экзаменационного задания – вероятно, все же форма так называемого «структурированных вопросов» (structured questions) – группы вопросов, относящихся к одной ситуации. Такие задания широко применяются во многих странах. Приведем несколько примеров.

Англия. «На интервале (-1; 1) рассматривается функция

а) Найдите область значений функции f.

б) Запишите формулу, определяющую функцию f^-1, обратную f.

в) Укажите область определения и область значений функции y=f^-1(x).

г) Найдите производную функции f.

д) Определите градиент графика функции f в точке с абсциссой х=0.

е) Покажите, что при малых h справедлива формула »

Израиль. “Рассматриваются последовательности (a_n) такие, что а₁=0, а₂=1. Известно, что есть два таких целых числа a и b, что для каждого натурального n выполняется равенство .

а) Найдите числа a и b.

б) Докажите, что для любого натурального n выполняется соотношение а_n+2=5a_n+1-6a_n.”

Голландия. «Для выращивания растений садовник использует конструкцию, состоящую из ячеек (она изображена на отдельной картинке). Каждая ячейка является шестиугольником ABCDEF, все стороны которого равны 6 см (изображена на рисунке). Растягивая всю конструкцию, можно менять форму каждой ячейки при том, что EF и CB остаются параллельными. Эти изменения можно описать, следя за углом DAB. Предположим, что его величина x радиан.

а) Вычислите х (с точностью до двух знаков после запятой) для BF=4.

Соотношение между площадью ячейки (S) и величиной угла (х) выражается формулой S=18 sinx+18 sinx cos x

б) Докажите эту формулу.

в) Выразите производную через cos x.

г) Выясните, для какого значения х площадь ячейки будет максимальна.”

Германия (Земля Северный Рейн – Вестфалия). «Дана плоскость Е: 2х₁+2х₂+х₃=6.

а) Найдите точки А, В и С пересечения плоскости Е с осями координат. Изобразите эти точки на прилагаемом чертеже [прилагается чертеж, на котором изображены оси координат с отмесенными единичными отрезками по осям]. Запишите уравнение плоскости Е в параметрической форме.

б) Опишите в какой проекции на плоскость сделан вышеприведенный чертеж. Запишите матрицу проекции, укажите направление проектирования.

в) Определите, под каким углом плоскость Е пересекает плоскость Е₁, задаваемую уравнением х₁=0.

г) Запишите уравнение прямой, являющейся пересечением плоскостей Е и Е₁. Опишите взаимное расплоложение этой прямой и тетраэдра ОАВС.

д) При повороте на 120⁰ относительно оси х₃ тетраэдр ОАВС переходит в тетраэдр ОА₁В₁С₁. Запишите матрицу этого поворота и укажите координаты точек А₁, В₁ и С₁ с точностью до трех знаков после запятой. Нарисуйте тетраэдр ОА₁В₁С₁ на прилагаемом чертеже.

е) Описанный выше поворот переводит прямую h: в прямую h^/. Запишите уравнение прямой h^/.»

В Японии применяется следующая форма структурированных вопросов: используются знаки {1}, {2}... для обозначения цифр и знаков «+» и «-». Сдающие экзамены должны указать, какие именно знаки должны быть проставлены. Приведем пример.

«Многочлен Р(х) с целыми коэффициентами удовлетворяет следующим условиям:

(А) при делении многочлена Р(х) с остатком на х²-4х+3, остаток оказывается равным 65х-68;

(В) при делении многочлена Р(х) с остатком на х²+6х-7, остаток оказывается равным -5х+а.

Тогда мы знаем, что а={1}.

Найдем теперь остаток bx+c при делении многочлена Р(х) с остатком на х²+4х-21.

Из условия (А) следует, что {2}b+c={3}{4}{5}, и а={1}. Из условия (B) вытекает, что {6}{7}b+c={8}{9}. Отсюда b={9}, a c={11}{12}{13}.» [В приведенной задаче, например, {1}=2, {2}=3, {3}=1 и т.д.]

Форма построения задания в виде системы структурированных вопросов используется и для своего рода подсказки хода решения (когда решение разбивается на этапы, посильные для школьников, и их выполнение предлагается в качестве отдельных пунктов задания), а иногда и для организации более сложных форм работы над поступающей информацией (например, в первых пунктах могут рассматриваться какие-то конкретные примеры, а в заключительных может быть предложено вывести общую формулу – обобщить все сделанные умозаключения).

Американский исследователь Д.Досси назвал «наиболее поражающим результатом» своего исследования то, что практически нигде, кроме США форма заданий с выбором ответа не используется. Приведем составленную им таблицу (отметим лишь, что, как нам представляется, разделение заданий, в которых требуется найти ответ, на задания короткой и длинной формы – т.е. такие, в которых ответ лишь находится, и такие, в которых он длительно обосновывается, – автором проведено не всегда обоснованно, однако общая ситуация, безусловно, передана верно).

Таблица 3.

Распределение заданий разного типа в экзаменационных работах по математике

Страна	Задания с выбором ответа	Задания на нахождение ответа (короткая форма)	Задания на нахождение ответа (длинная форма)
Англия
Франция
Германия
Япония
Швеция
США АВ
США

Говоря о странах, составитель имеет в виду лишь рассматриваемый им вариант из этой страны, а при этом, как мы уже отмечали, в качестве вариантов, представляющих США он выбирает курсы анализа, которые можно изучать и сдавать в средней школе. Однако для экзаменов SAT и Regents, которые представляются нам гораздо более точным аналогом выпускного/вступительного экзамена, картина получается сходная, как будет показано ниже.

Структура экзаменационных вариантов

Общей чертой практически всех анализируемых вариантов является их большой размер (считая пункты структурированных вопросов, обычно набираются десятки заданий). Ниже мы предпримем конкретный анализ отдельных вариантов и схем итоговой аттестации, представляющихся нам типичными и характерными.

Англия. На уровне А по математике предлагается 20 разделов, разделенных на 4 группы: «Чистая математика», «Механика», «Статистика», «Математика принятия решений». В первых трех группах по 6 разделов, а в последней только 2. Экзамен по каждой части занимает 1 час 30 минут, при этом за один день можно сдать и несколько частей (в реальности 2).

Следующая таблица показывает, в какие сроки одной из комиссий предлагалось (предлагается) сдавать различные разделы в течение ближайшего года, (разделы обозначены первыми буквами групп и номерами):

Таблица 4.