Теоретическая основа занятия

Система счисления – знаковая система, позволяющая по определённым правилам записывать числа при помощи символов некоторого алфавита (цифр).

Позиционные системы счисления: количественные значения цифр зависят от их позиций (разрядов) в числе, что позволяет при помощи небольшого набора цифр записывать практически любые по величине числа.

Непозиционные системы счисления: значение числа получается путем суммирования (и вычитания) количественных значений цифр, не зависящих от их местоположения в числе.

Пример: римская система счисления.

При расшифровке римской записи числа используют правила:

- если меньшая по значению цифра располагается слева от большей, то значение меньшей цифры вычитается из значения большей;

- если меньшая по значению цифра располагается справа от большей, то значение меньшей цифры прибавляется к значению большей;

- в числе рекомендуется в начале выделить группы цифр, в которых меньшая цифра расположена левее большей, и вести расшифровку числа в несколько этапов.

Пример: CDXXXVII

[CD] + [XXX] + [VII] = [[D] - [C]] + [[X] + [X] + [X]] + [[V] + [I] + [I]] = (500 - 100) + (10 + 10 + 10) + (5 + 1 + 1) = (400 + 30 + 7) = 437

Основание позиционной системы счисления:

- определяет изменение количественного значения («во сколько раз») при изменении положения цифры в числе на один разряд правее / левее;

- равно количеству цифр в алфавите системы счисления.

Для систем счисления с основанием p меньшим 10, в качестве знаков алфавита системы счисления используются десятичные цифры от 0 до (p-1); для систем с основанием p, большим 10, используются все десять десятичных цифр плюс дополнительные символы (обычно – латинские заглавные буквы, начиная с «А»). На практике системы счисления с основания больше 16 практически не используется.

Обычно при записи числа значение основания системы счисления записываются виде нижнего индекса после последней цифры числа. Так

Формы записи чисел в различных системах счисления

Свернутая («обычная») форма записи числа – привычная запись числа как последовательность цифр стоящих на своих разрядах.

Развёрнутая форма записи числа – запись числа в виде суммы произведений его цифр на основании системы счисления в степени, равной значению разряда той или иной цифры числа (для целого числа нумерация разрядов ведётся с нуля справа на лево; для дробного числа нумерация разрядов ведётся от десятичной запятой влево по возрастанию, а вправо – по убыванию, при этом разряду единиц присваивается нулевой номер).

Форма (схема) Горнера – преобразованная запись развернутой формы, при которой за счет использования скобок удается избавиться от возведения основания счисления в степени.

Десятичная система счисления

В привычной для нас системе записи чисел – десятичной системе счисления – для записи чисел используют десять цифр: 0 – 9. В это системе любое целое неотрицательное число представляется с помощью степеней числа 10, которая является основанием это системы счисления.

Например: 2756 = 2000 + 700 + 50 + 6 = 2 ∙ 10³ + 7 ∙ 10² + 5 ∙ 10¹ + 6 ∙ 10⁰

Обратите внимание: количество цифр, которые используются для десятичного представления числа, на единицу больше чем показатель наибольшей степени 10, который содержится в числе.

Итак, любое целое неотрицательное число в десятичной системе счисления подается в виде:

,

где каждый из коэффициентов a_n , a_n-1 … a₀, есть одной из цифр от 0 до 9, которые называются десятичными цифрами, причем a_n не равно 0.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – это система, в которой для записи чисел используется две цифры 0 и 1. Основание двоичной системы счисления является число 2.

Для записи числа в двоичной системе используется представление этого числа с помощью степеней числа два. Двоичную цифру называют битом.
Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.

Приведем таблицу значений степени числа 2:

n
2n

Воспользовавшись этой таблицей, можно записать:

Десятичная система счисления	Развернутая форма числа	Двоичная система счисления
	0∙20
	1∙20
	1∙21 +0∙20
	1∙22 + 0∙21 + 1∙20
	1∙22 + 1∙21 + 1∙20
	1∙24 + 1∙23 +0∙22 + 0∙21 + 1∙20

Двоичный код числа – запись этого числа в двоичной системе счисления, в котором коэффициенты должны принимать только одно из двух значений: 0 или 1.