Методы вторичной статис тической обработки р езультато в эксперимента.

Способы вторичной статистической обработки результатов исследования. Ре­грессионное исчисление. Сравнение средних величин разных выборок. Срав­нение частотных распределений данных. Сравнение дисперсий двух выборок. Установление корреляционных зависимостей и их интерпретация. Понятие о факторном анализе как методе статистической обработки.

Способы табличного и графического представления результатов экспе­римента.Виды таблиц и их построение. Графическое представление экспери­ментальных данных. Гистограммы и их применение на практике.

МЕТОДЫ ПЕРВИЧНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Методами статистической обработки результатов экспери­мента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, по­лучаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в си­стему, выявляя скрытые в них закономерности. Речь идет о та­ких закономерностях статистического характера, которые су­ществуют между изучаемыми в эксперименте переменными ве­личинами.

Некоторые из методов математико-статистического анализа позволяют вычислять так называемые элементарные матема­тические статистики, характеризующие выборочное распреде­ление данных, например выборочное среднее, выборочная диспер­сия, мода, медиана и ряд других. Иные методы математической статистики, например дисперсионный анализ,регрессионный ана­лиз, позволяют судить о динамике изменения отдельных статис­тик выборки. С помощью третьей группы методов, скажем, кор­реляционного анализа, факторного анализа, методов сравнения выборочных данных, можно достоверно судить о статистических связях, существующих между переменными величинами, кото­рые исследуют в данном эксперименте.

NataHaus.ru – знание без границ

_____ Часть II. Введение в научное психологическое исследование

Все методы математико-статистического анализа условно де­лятся на первичные и вторичные¹. Первичными называют мето­ды, с помощью которых можно получить показатели, непосред­ственно отражающие результаты производимых в эксперимен­те измерений. Соответственно под первичными статистически­ми показателями имеются в виду те, которые применяются в са­мих психодиагностических методиках и являются итогом на­чальной статистической обработки результатов психодиагности­ки. Вторичными называются методы статистической обработки, с помощью которых на базе первичных данных выявляют скры­тые в них статистические закономерности.

К первичным методам статистической обработки относят, на­пример, определение выборочной средней величины, выбороч­ной дисперсии, выборочной моды и выборочной медианы. В чис­ло вторичных методов обычно включают корреляционный ана­лиз, регрессионный анализ, методы сравнения первичных ста­тистик у двух или нескольких выборок.

Рассмотрим методы вычисления элементарных математичес­ких статистик, начав с выборочного среднего.

Выборочное среднее значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была под­вергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая не­посредственно средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.

Выборочное среднее определяется при помощи следующей формулы:

¹ Приводимые здесь определения и высказывания не всегда являются до­статочно строгими с точки зрения теории вероятностей и математической ста­тистики как сложившихся областей современной математики. Это сделано для лучшего понимания данного текста студентами, не подготовленными в облас­ти математики:

NataHaus.ru – знание без границ

_____ Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

где х — выборочная средняя величина или среднее арифметичес­кое значение по выборке; п — количество испытуемых в выбор­ке или частных психодиагностических показателей, на основе ко­торых вычисляется средняя величина; х_к — частные значения по­казателей у отдельных испытуемых. Всего таких показателей п, поэтому индекс к данной переменной принимает значения от 1 до п; Е — принятый в математике знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака. Выра­жение X ^хк соответственно означает сумму всех х с индексом к от

1 до п.

Пример.Допустим, что в результате применения психодиаг­ностической методики для оценки некоторого психологическо­го свойства у десяти испытуемых мы получили следующие част­ные показатели степени развитости данного свойства у отдель­ных испытуемых: х_г= 5, х2 = 4, хз= 5, х^= 6, х5 = 7, *б= 3, хj = 6, х& = 2, хд= 8, х_т = 4. Следовательно, п = 10, а индекс к меняет свои значения от 1 до 10 в приведенной выше формуле. Для данной выборки среднее значение , вычисленное по этой формуле, бу­дет равно:

В психодиагностике и в экспериментальных психолого-пе­дагогических исследованиях среднее, как правило, не вычисля­ется с точностью, превышающей один знак после запятой, т.е. с большей, чем десятые доли единицы. В психодиагностических обследованиях большая точность расчетов не требуется и не име­ет смысла, если принять во внимание приблизительность тех оце­нок, которые в них получаются, и достаточность таких оценок для производства сравнительно точных расчетов.

Дисперсия как статистическая величина характеризует, на­сколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения

¹ В дальнейшем, как это и принято в математической статистике, с целью сокращения текста мы будем опускать слова «выборочное» и «арифметичес­кое» и просто говорить о «среднем» или «среднем значении».

NataHaus.ru – знание без границ

_____ Часть II. Введение в научное психологическое исследование

или разброс данных. Прежде чем представлять формулу для рас­четов дисперсии, рассмотрим пример. Воспользуемся теми пер­вичными данными, которые были приведены ранее и на основе которых вычислялась в предыдущем примере средняя величи­на. Мы видим, что все они разные и отличаются не только друг от друга, но и от средней величины. Меру их общего отличия от средней величины и характеризует дисперсия. Ее определяют для того, чтобы можно было отличать друг от друга величины, име­ющие одинаковую среднюю, но разный разброс. Представим се­бе другую, отличную от предыдущей выборку первичных значе­ний, например такую: 5, 4, 5, 6, 5, 6, 5, 4, 5, 5. Легко убедиться в том, что ее средняя величина также равна 5,0. Но в данной вы­борке ее отдельные частные значения отличаются от средней го­раздо меньше, чем в первой выборке. Выразим степень этого отличия при помощи дисперсии, которая определяется по следую­щей формуле:

где S — выборочная дисперсия, или просто дисперсия;

выражение, означающее, что для всех х_к от перво­го до последнего в данной выборке необходимо вычислить раз­ности между частными и средними значениями, возвести эти раз­ности в квадрат и просуммировать;

п — количество испытуемых в выборке или первичных зна­чений, по которым вычисляется дисперсия.

Определим дисперсии для двух приведенных выше выборок частных значений, обозначив эти дисперсии соответственно ин­дексами 1 и 2:'

NataHaus.ru – знание без границ

_____ Глава 3, Статистический анализ экспериментальных данных

Мы видим, что дисперсия по второй выборке (0,4) значитель­но меньше дисперсии по первой выборке (3,0). Если бы не было дисперсии, то мы не в состоянии были бы различить данные вы­борки.

Иногда вместо дисперсии для выявления разброса частных дан­ных относительно средней используют производную от дисперсии величину, называемую выборочное отклонение. Оно равно квадрат­ному корню, извлекаемому из дисперсии, и обозначается тем же

самым знаком, что и дисперсия, только без квадрата— S:

Медианой называется значение изучаемого признака, кото­рое делит выборку, упорядоченную по величине данного призна­ка, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков. Например, для выборки 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 7, 9 медианой будет значение 5, так как слева и справа от него остается по четыре показателя. Если ряд включает в себя четное число признаков, то медианой будет сред­нее, взятое как полусумма величин двух центральных значений ряда. Для следующего ряда 0, 1,1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 медиана будет равна 3,5.

Знание медианы полезно для того, чтобы установить, явля­ется ли распределение частных значений изученного признака симметричным и приближающимся к так называемому нормаль­ному распределению. Средняя и медиана для нормального рас­пределения обычно совпадают или очень мало отличаются друг от друга. Если выборочное распределение признаков нормаль­но, то к нему можно применять методы вторичных статистичес­ких расчетов, основанные на нормальном распределении данных. В противном случае этого делать нельзя, так как в расчеты могут вкрасться серьезные ошибки.

Если в книге по математической статистике, где Описывает­ся тот или иной метод статистической обработки, имеются ука­зания на то, что его можно применять только к нормальному или близкому к нему распределению признаков, то необходимо не-563

NataHaus.ru – знание без границ

_____ Часть II. Введение в научное психологическое исследование

укоснительно следовать этому правилу и полученное эмпиричес­кое распределение признаков проверять на нормальность. Если такого указания нет, то статистика применима к любому распре­делению признаков. Приблизительно судить о том, является или не является полученное распределение близким к нормальному, можно, построив график распределения данных, похожий на те, которые представлены на рис. 72. Если график оказывается бо­лее или менее симметричным, значит, к анализу данных можно применять статистики, предназначенные для нормального рас­пределения. Во всяком случае, допустимая ошибка в расчетах в данном случае будет относительно небольшой.

Приблизительные картины симметричного и несимметрич­ного распределений признаков показаны на рис. 72, где точками m_i и т₂ на горизонтальной оси графика обозначены те величины

признаков, которые соответствуют медианам, а х\ и Х2 — те, ко­торые соответствуют средним значениям.

Мода еще одна элементар­
ная математическая статистика
и характеристика распределе­
ния опытных данных. Модой
называют количественное зна­
чение исследуемого признака,
наиболее часто встречающееся в
выборке. На графиках, пред­
ставленных на рис. 72, моде со­
ответствуют самые верхние
Рис. 72. Графики симметричного и не- точки кривых, вернее, те значе-
симметричного распределения при- ния этих точек, которые распола-
знаков: I — симметричное распределе-гаются на горизонтальной оси.
ние (все относящиеся к нему элемен-Для симметричных распреде-
тарные статистики обозначены с по-
лений признаков,' в том числе
мощью индекса 1); II — несимметрич­
ное распределение (его первичные ста- для нормального распределе-
тистики отмечены на графике индек-ния, значение моды совпадает
^{сом 2).} со значениями среднего и меди-

аны. Для других типов распределений, несимметричных, это не характерно. К примеру, в последовательности значений признаков 1,2, 5,2,4, 2,6,7,2 модой

NataHaus.ru – знание без границ

Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

является значение 2, так как оно встречается чаще других значе­ний — четыре раза.

Иногда исходных частных первичных данных, которые под­лежат статистической обработке, бывает довольно много, и они требуют проведения огромного количества элементарных ариф­метических операций. Для того чтобы сократить их число и вмес­те с тем сохранить нужную точность расчетов, иногда прибегают к замене исходной выборки частных эмпирических данных на интервалы. Интервалом называется группа упорядоченных по ве­личине значений признака, заменяемая в процессе расчетов сред­ним значением.

Пример.Представим следующий ряд частных признаков: О, 1,1,2,2,3,3,3,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8,8,8,9,9,9,10,10,11,11, 11. Этот ряд включает в себя 30 значений. Разобьем представленный ряд на шесть подгрупп по пять признаков в каждом. Первая подгруппа включит в себя первые пять цифр, вторая — сле­дующие пять и т.д. Вычислим средние значения для каждой из пяти образованных подгрупп чисел. Они соответственно будут равны 1,2; 3,4; 5,2; 6,8; 8,6; 10,6. Таким образом, нам удалось свести исходный ряд, включающий тридцать значений, к ряду, содер­жащему всего шесть значений и представленному средними ве­личинами. Это и будет интервальный ряд, а проведенная проце­дура — разделением исходного ряда на интервалы. Теперь все статистические расчеты мы можем производить не с исходным рядом признаков, а с полученным интервальным рядом, и ре­зультаты в равной степени будут относиться к исходному ряду. Однако число производимых в ходе расчетов элементарных арифметических операций будет гораздо меньше, чем количест­во тех операций, которые с этой же целью пришлось бы проде­лать в отношении исходного ряда признаков. На практике, со­ставляя интервальный ряд, рекомендуется руководствоваться следующим правилом: если в исходном ряду признаков больше чем тридцать, то этот ряд целесообразно разделить на пять-шесть интервалов и в дальнейшем работать только с ними.

Для проверки сказанного проведем пробное вычисление сред­него значения по приведенному выше ряду, составляющему трид­цать чисел, и по ряду, включающему только интервальные сред-565

NataHaus.ru – знание без границ

Часть II. Введение в научное психологическое исследование

ние значения. Полученные цифры с точностью до двух знаков после запятой будут соответственно равны 5,97 и 5,97, т.е. явля­ются одинаковыми.