Математические следствия короллария об истолковании

Исчисление вероятностей основано на понятии повторяемых событии. И конечно, статистика придумана для того, чтобы оценивать предсказуемость последующих повторений событий такого типа. Два фактора, учитываемые при построении предсказаний, - это число у наблюденных повторений и глубина сходства, которое может быть абстрагировано на множестве этих повторений. Второй фактор связан с некоторыми сложными проблемами логики - например, с проблемой репрезентативной выборки, - и, на практике, именно фактор глуби сходства повторений обычно заставляет предсказания отклоняться истины. Поскольку абстрактное суждение о том, что представляют бой повторяемые события, выступает основой для измерения глуби сходства, мы считаем, что задача формирования понятия, предшествующая статистическому манипулированию данными, является основной для любых выводов, получаемых при помощи математической логики.

Здесь уместно вспомнить старую математическую поговорку «Не надо складывать коров с лошадьми». Событие является повторением другого события, только если мы готовы признать абстрагированное сходство этих двух событий. Поэтому тот, кто владеет одной коровой и одной лошадью, может сказать, что владеет двумя домашними животными, - если он готов принять абстракцию 'тоже животное' применительно к каждому члену этой пары.

На более сложном уровне кто-то может усреднить результат выполнения двух тестов одним и тем же человеком, опять же, при условии, что готов признать абстракцию сходства в отношении каждого из тестов. Например, один из них может быть тестом действия, а другой - вербальным тестом. Если кто-то усредняет результаты этим тестам, тогда то, что он получает, есть выражение свойства, лежащего в основе обоих тестов. Если же он использует взвешеннное среднее, то получит выражение, которое является более конкретной (= реальной) репрезентацией более весомой тестовой оценки.

Можно представить себе это следующим образом. Все мате­матические выражения при применении к реальным событиям являются - в лучшем случае - аппроксимациями. Всегда можно усомниться в правомерности использования такого статистического критерия, как хи-квадрат, независимо от ситуации. События, к которым применяется эта непараметрическая статистика, должны, по предположению, быть повторениями друг друга. Мы вправе запол­нять клетки таблицы для вычисления хи-квадрата 'коровами' и 'лошадями', но когда мы это делаем, у коров должна исчезать 'коровость', у лошадей - 'лошадость', но только 'животности' тех и других позволено остаться. Таким образом, всякий раз, когда кто-то пользуется статистикой хи-квадрат, он должен сознавать абстрактные предпосылки в своих данных. Вывод, к которому он мог бы прийти в результате вычисления критерия хи-квадрат по таблице, куда заносились и 'коровы', и 'лошади', сводится к следующему: в том смысле, в каком коровы и лошади являются повторяемыми событиями то-то и то-то верно для тех и других.

Мы говорили о математическом выражении хи-квадрат. То же самое можно было бы сказать и простом пересчете. Мы показываем на каждый предмет в ряду и считаем: один, два, три... Пересчет име­ет смысл, если предметы отличимы друг от друга, но считать их имеет смысл, только принимая во внимание их сходство между собой. (Прежде чем начинать считать предметы, мы должны истолковать их конкретное отличие друг от друга, их абстрактное сходство друг с другом и их абстрактное отличие от других предметов, которые мы не собираемся считать. Нам необходимо уметь истолковывать, где заканчивается одна вещь и начинается другая, и какая из них достаточно похожа на другие, чтобы ее учесть, а какая является инородной. То, что мы считаем, зависит от того, что мы абстрагируем для подсчета. Таким образом, любое математическое выражение опирается на задачу формирования понятия, которая ему предшествует. Математическая обработка не превращает данные в нечто конкретное, хотя она часто обеспечивает удобный способ проверки адекватности наших концептуализаций. Речь идет о том, что в тех случаях, когда кто-то антиципирует события путем истолкования их повторений, он закладывает основу для математического рассуждения. Всякое математическое рассуж­дение полностью зависит от доматематического процесса истолкова­ния, который предоставляет материал для исчисления. Нам представ­ляется это важным.