Определение ускорения земного поля

Тяготения с помощью маятников

Цель работы: определить ускорение земного поля тяготения (ускорение свободного падения или ускорение силы тяжести) методом математического и оборотного маятников, сравнить полученные результаты и убедиться в правильности этих методов.

Приборы и принадлежности: универсальный маятник FРМ-04, секундомер.

Теоретическое ведение

1.

Рис.1.

Математическим маятником называется тяжелая материальная точка, подвешенная на нерастяжимой, невесомой нити, совершающая колебательные движения в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Таким маятником можно, например, считать небольшой тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара (рис.1). Когда нить висит вертикально, сила тяжести , действующая на шарик уравновешивается натяжением нити. Отклоним маятник от положения равновесия на угол , разложим силу тяжести по правилу параллелограмма на силу , направленную по продолжению нити, и , перпендикулярную к ней. Видно, что натяжение нити уравновешивается теперь только составляющей силой , а другая сила будет двигать шарик обратно к положению равновесия. Из рисунка видно, что

, (1)

знак минус обусловлен тем, что направление силы и угла отклонения всегда противоположны. При малых углах отклонения (j=<5⁰>) , а смещение центра тяжести маятника по дуге АС равно смещению по горизонтальной хорде АД.

Из или . Теперь соотношение (1) с учетом второго закона Ньютона записывается в виде

Обозначив , получим решение этого дифференциального уравнения движения в виде:

,

где А–амплитуда, –фаза колебания, -начальная фаза или фаза в момент t =0, - круговая (циклическая) частота гармонических колебаний.

Гармонические колебания - такие колебания, при которых смещение колеблющейся системы изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Следовательно, при малых углах отклонения математический маятник совершает гармонические колебания с периодом

(2)

Из формулы (2) вытекает, что период колебаний математического маятника не зависит от его массы и амплитуды. Зная T и l можно, пользуясь уравнением (2) определить ускорение силы тяжести g в данном пункте земного шара

. (3)

2.Рассмотрим механическую колебательную систему физического маятника. Физическим маятником называется твердое тело произвольной формы, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр массы тела. (рис.2.)

При небольших углах отклонения физический маятник так же совершает гармонические колебания с периодом (4) Здесь J- момент инерции маятника относительно оси качаний ( точки подвеса), m- его масса, l - расстояние от центра тяжести до оси качаний. – приведенная длина физического маятника.

Рис. 2.

Теперь, через l₀ формула (4) записывается в виде

,

отсюда

. (5)

Приведенная длина физического маятника –это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (точка О на рис.2) . Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качения О приведенная длина, а значит, и период колебаний будут тем же, что и вначале.

Следовательно, точки подвеса и центр качания обладают свойством взаимности. При переносе точки подвеса и центра качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания. На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника.

Оборотным называется такой маятник, у которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы (ножи), за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и закрепляться на его теле тяжелые грузы (ролики). Перемещением грузов добиваются того, что при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призмы будет равно l₀. Определив период T колебаний маятника и измерив l₀ , по формуле (5) вычисляют ускорение свободного падения g.

Краткое описание прибора

Общий вид универсального мятника FRM-04 представлен на рис.3.

	Рис. 3.

Основание 1 оснащено регулирующими ножками 2, которыми выравнивается прибор. В основании закреплена колонка 3, на которой зафиксированы верхний 4 и нижний кронштейны 5.

После отвинчивания воротка 11 верхний кронштейн можно поворачивать вокруг колонки. Затяжение воротка 11 фиксирует кронштейн в любом произвольно выбранном положении.

С одной стороны кронштейна 4 находится математический маятник 7, с другой, на вмонтированных вкладышах, оборотный маятник 8. Длину математического маятника можно регулировать при помощи воротка 9, а его величину определить при помощи шкалы на колонке 3.

Оборотный маятник выполнен в виде стального стержня, на котором зафиксированы два повернутых друг к другу лезвиями ножа (призмы) 12 и две ролики (грузы) 13. На стержне через 10мм выполнены кольцевые нарезки, служащие для точного определения длины оборотного маятника (расстояния между ножами). Ножи и ролики можно перемещать вдоль стержня и фиксировать в любом положении. Эти элементы выполнены таким образом, что их размер вдоль стрежня является кратным 10мм, а фиксирующие воротки размещены таким образом, чтобы при помощи кольцевых нарезок можно было их наглухо блокировать.