Абсолютные и относительные погрешности
Лекция 2.
Оформление эксперимента
Автор: Черников Юрий Александрович, главный тренер по подготовке к экспериментальному туру олимпиад сборной команды школьников по физике, преподаватель Школы №1329 и СУНЦ МГУ
Аннотация: в лекции рассмотрены принципы оценки погрешностей, правила построения графиков, примеры линеаризации функций, советы по выполнению олимпиадного эксперимента, а также основные правила и пример оформления решения экспериментальной задачи.
Оценка погрешностей
Участникам школьных физических олимпиад высокого уровня (например, третьего или чётвертого этапа всероссийской олимпиады школьников по физике) приходится решать не только теоретические, но и практические задачи. При подготовке к экспериментальному туру олимпиады полезно повторить правила оценки погрешностей измерений, округления и записи конечного результата, потому что на уроках физики этим темам обычно уделяется недостаточно внимания.
Абсолютные и относительные погрешности
Любая физическая величина может быть измерена лишь с конечной точностью. Насколько бы ни был точным измерительный прибор, результат измерения 
зачастую не будет совпадать с истинным значением измеряемой величины 
. Поэтому экспериментатор должен не только провести измерение, но и оценить разность 
, а также при возможности принять меры по уменьшению этой разницы. Напомним, что разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины называется абсолютной погрешностью измерения:
Поскольку истинное значение величины обычно заранее неизвестно (иначе зачем проводить измерение?), то и точное значение абсолютной погрешности нельзя определить, а можно лишь оценить. То есть запись в отчёте о проделанном эксперименте: «Длина нити 
, погрешность 
», по сути гласит: «С большой вероятностью истинное значение длины нити лежит в интервале от 36,5 см до 37,5 см.».
Обычно при записи результата измерения с абсолютной погрешностью используют знак « 
» и пишут кратко:
.
Помимо абсолютной погрешности вводят понятие относительной погрешности, как отношение абсолютной погрешности к результату измерения:
Относительная погрешность величины наиболее наглядно характеризует точность ее измерения.
Правила округления
При обработке результатов измерений часто приходится производить округление. При этом нужно следить, чтобы ошибка, возникающая при округлении, была хотя бы на порядок меньше остальных погрешностей. Однако оставлять слишком много значащих цифр [1]тоже неправильно, поскольку влечёт за собой потерю драгоценного времени. В большинстве случаев бывает достаточно погрешность округлить до двух значащих цифр, а результат до того же порядка, что и погрешность. При записи же конечного ответа принято оставлять в погрешности только одну значащую цифру, за исключением случая, когда эта цифра единица, тогда нужно оставить две значащих цифры в погрешности. Также часто порядок числа выносится за скобку, таким образом, чтобы первая значащая цифра числа осталась либо в порядке единиц, либо в порядке десятых.
Например, пусть были проведены измерения модуля Юнга стали и Алюминия и были получены следующие значения (до округления):
, 
, 
, 
.
Правильно записанный конечный ответ тогда будет иметь вид:
Построение графиков
Во многих задачах, предлагаемых на физических олимпиадах школьников, требуется снять зависимость одной физической величины от другой, а затем проанализировать эту зависимость (сравнить экспериментальную зависимость с теоретической, определить неизвестные параметры теоретической зависимости). График является наиболее удобным и наглядным способом представления данных и их дальнейшего анализа. Поэтому в критериях оценивания большинства экспериментальных задач присутствуют баллы за график, даже если построение графика не требуется явно в условии. Таким образом, если при решении задачи Вы сомневаетесь нужно ли в данной задаче построение графика или нет — сделайте выбор в пользу графика.
Правила построения графика
1. График строится на миллиметровой бумаге. Если на экспериментальном туре олимпиады миллиметровая бумага не была предоставлена сразу, нужно попросить её у организаторов.
2. График нужно подписать в верхней части, чтобы всегда можно было установить, какой участник строил этот график. В работе следует указать, что был построен соответствующий график, на случай если график будет потерян во время проверки.
3. Ориентация миллиметровой бумаги может быть как альбомная, так и книжная.
4. На графике обязательно должны присутствовать координатные оси. Вертикальная ось проводится в левой части графика, а горизонтальная ось в нижней части.
5. Вертикальная ось должна соответствовать значениям функции, а горизонтальная – значениям аргумента.
6. Оси на графике рисуются с отступом 1-2см от края миллиметровой бумаги.
7. Каждая ось должна быть подписана, то есть должна быть указана физическая величина, отложенная вдоль этой оси, и (через запятую) единица её измерения. Записи вида « 
», « 
» и « 
» эквивалентны, но первые два варианта предпочтительнее. Горизонтальная ось подписывается слева у верхнего конца, а вертикальная снизу у правого конца.
8. Оси не обязательно должны пересекаться в точке (0,0).
9. Масштаб графика и положение начала отсчёта на координатных осях выбираются так, чтобы наносимые точки располагались по возможности на всей площади листа. При этом нули координатных осей могут вообще не попадать на график.
10. Линии, проведённые на миллиметровой бумаге через сантиметр, должны попадать на круглые значения величин. С графиком удобно работать, если 1 см на миллиметровой бумаги соответствуют 1, 2, 4, 5 *10n единиц измерения по данной оси. Часть делений на оси нужно подписать. Подписанные деления должны находится на равном расстоянии друг от друга. Подписанных делений на оси должно быть не менее 4х и не более 10ти.
11. Точки на график нужно наносить так, чтобы они были чётко и ясно видны. Для того чтобы показать, что величина наносимая на график имеет погрешность, из каждой точки проводятся отрезки вверх и вниз, вправо и влево. Длина горизонтальных отрезков соответствует погрешности величины, отложенной по горизонтальной оси, длина вертикальных отрезков — погрешности величины, отложенной по вертикальной. Таким образом, обозначаются области определения экспериментальной точки, называемые крестами ошибок. Кресты ошибок обязательны к нанесению на графике, за исключением случаев: в условии задачи дано непосредственное указание не оценивать погрешности, погрешность составляет меньше 1 мм в масштабе соответствующей оси. В последнем случае необходимо указать, что погрешность значений слишком мала для нанесения по этой оси. В таких случаях считается, что размер точки соответствует ошибке измерения.
12. Стремитесь к тому, чтобы ваш график был удобен, понятен и аккуратен. Стройте его карандашом, чтобы можно было исправить ошибки. Не подписывайте рядом с точкой соответствующее ей значение — это загромождает график. Если на одном графике показано сразу несколько зависимостей, используйте разные символы или цвета для точек. Для определения, какой тип экспериментальных точек, какой зависимости соответствует, используйте легенду графика[2]. На графике допускаются зачёркивания (если подвёл ластик или под рукой не оказалось хорошего карандаша), но делать их нужно аккуратно. Не стоит использовать штрих-корректор — это выглядит некрасиво.
Примечание: все вышеперечисленные правила происходят исключительно из соображений удобства работы с графиком. Однако, при проверке работ на олимпиадах жюри пользуются этими правилами как формальными критериями: плохо выбран масштаб — минус полбалла. Поэтому на олимпиаде следует неукоснительно придерживаться этих правил.
Пример:
Справа приведен график, построенный не по критериям, а слева, построенный по указанным выше правилам.
Линеаризация
Более сложным является случай, когда исследуемая зависимость не линейна. Действительно, на глаз невозможно отличить кубическую параболу от квадратичной! Для того, чтобы проверить подобную зависимость, нужно провести линеаризацию, то есть отложить по осям такие величины, зависимость между которыми линейна.
Пусть теоретическая зависимость 
имеет вид
и из эксперимента нужно определить соответствуют ли экспериментальные точки данной зависимости, и, если соответствуют, найти величины 
и 
. Для этого по вертикальной оси нужно отложить величину 
, а по горизонтальной — 
. В новых координатах зависимость будет линейной:
Если экспериментальные точки в новых координатах графика ложатся на прямую, то можно утверждать, что экспериментальные точки отвечают теоретической зависимости. По наклону прямой определяется (угловой коэффициент графика будет составлять 
), а по смещению (смещение будет составлять 
) и известному значению рассчитывается . Наиболее частые зависимости в школьном курсе физики и их линеаризация приведены в таблице:
| Зависимость | 1ая новая перемен. | 2ая новая перем. | Линеаризованная зависимость | Угловой коэфф. | Смещен. |
     |  |  |  |  |  |
 не |  |  |  |  |  |
  не | |  |  |  | |
Оформление решения экспериментальной задачи
Всероссийская олимпиада школьников по физике состоит из четырех этапов. На третьем (региональном) и четвёртом (заключительном) помимо теоретического тура имеется экспериментальный, на котором учащимся предлагается решить две практических задачи. Поскольку практическая задача на олимпиаде принципиально отличается от лабораторной работы в школе (в первую очередь тем, что школьнику часто необходимо самому придумать метод решения), то правила оформления отчёта по экспериментальной олимпиадной задаче имеют свои особенности. Неправильное оформление экспериментальной задачи на олимпиаде может привести к потере баллов и, как следствие, шансов на успех. Далее будут изложены советы и рекомендации по оформлению работы на экспериментальном туре олимпиады. Предполагается, что читатель знаком с рекомендациями по расчёту погрешностей измерений и построению графиков, о которых подробно написано в соответствующих документах.
Структура работы
Структура решения по экспериментальной работе на олимпиаде должна состоять из нескольких обязательных пунктов:
1. Описание метода измерений и экспериментальной установки
2. Теоретическое обоснование эксперимента
3. Измеренные величины
4. Оценка погрешностей
5. Представление результатов и ответы на поставленные вопросы
Порядок пунктов может быть любым. Важно, чтобы любое измерение в задаче было рассмотрено с позиции этих пунктов.
В отличие от лабораторной работы, не требуется приводить цель работы и список используемого оборудования. Цель любой работы на экспериментальном туре олимпиады одна — ответить на поставленный в условии вопрос, по возможности проведя измерения с наибольшей точностью. Список оборудования, которое должно быть предоставлено учащемуся и может быть использовано при решении задачи, всегда указывается в условии, и жюри с ним знакомо не хуже школьника. Написав эти вещи в своей работе, участник лишь потеряет драгоценное время, не получив за это баллов.
Использование черновика часто бывает неоправданным, так как перенос записей из него в «чистовик» занимает много времени. В «черновике» участник делает пометки для себя, а всё то, что хочется донести до жюри, нужно оформлять сразу в «чистовике».
Теоретическое обоснование
В теоретическом обосновании эксперимента необходимо пояснить, каким образом из прямых измерений, можно получить ответ на поставленный в задаче вопрос. Теоретическое обоснование, зачастую состоит из формульных выкладок. Основные законы необходимо подписать, также как в теоретической задаче. Расчетные окончательные формулы необходимо выделить, так чтобы их было не тяжело найти при проверке решения.
Измеренные величины
Результаты всех прямых[5] измерений должны присутствовать в работе. Проводить измерения нужно при решении любой экспериментальной задачи и поэтому в критериях оценивания почти любой экспериментальной задачи предусмотрены баллы за результаты измерений. Если в работе есть только конечный ответ и не присутствует результаты промежуточных измерений, то конечный ответ принимается необоснованным и не оценивается. Результаты измерений в отчёте необходимо поместить на видное место, например, на отдельную строку или выделить отдельным блоком. Таким образом, участник упростит жюри проверку, а себе апелляцию.
Если проводится серия из нескольких измерений, результаты необходимо заносить в таблицу. При оформлении таблицы важно не забыть подписать каждый столбец (или строку, если таблица горизонтальная), то есть указать измеряемую физическую величину и единицу измерения. При построении таблицы не обязательно чертить все границы, так как на это уйдёт много времени. Вполне достаточно отделить столбцы друг от друга вертикальными линиями, а подписи от данных горизонтальными линиями. Столбцы желательно сделать широкими, чтобы при необходимости была возможность внести исправления.
Косвенные измерения также необходимо вносить в таблицу отдельным столбцом, если они имеют повторяющийся характер.
Часто для обработки серий измерений необходимо воспользоваться графической обработкой результатов. График должен быть построен аккуратно и в соответствии с правилами построения. Если экспериментальные точки предполагается аппроксимировать теоретической зависимостью, коэффициенты зависимости должны быть найдены.
Оценка погрешностей
Так как никогда в физическом эксперименте невозможно получить абсолютно точный ответ, необходима оценка погрешностей полученных результатов. Для этого необходимо оценить погрешности всех прямых измерений и указать, каким образом они повлияют погрешность конечного результата. В оценке погрешностей прямых измерений должны быть указаны источники погрешностей и метод оценки погрешности, вносимый каждым из них. В оценке погрешностей косвенных измерений необходимо привести расчетные формулы погрешностей. Пренебрежение погрешностями, создаваемыми отдельными источниками погрешности, необходимо обосновать как для прямых, так и для косвенных измерений.
Если погрешность измерений неодинакова для каждого измерения, она должна быть занесена в таблицу измерений отдельным столбцом.
Представление результатов и ответы на поставленные вопросы
Результатом экспериментальной работы на олимпиаде может быть: график, коэффициенты математической зависимости, описывающие экспериментальные точки, числовые значения измеренных величин, о которых спрашивалось в задаче, ответы на вопросы, поставленные в задаче.
Числовые значения должны быть записаны в соответствии с записью экспериментальных чисел. График необходимо оформить в соответствии с правилами оформления графиков. Ответы на все поставленные вопросы, должны быть записаны в решении.
Для того, чтобы стало понятно, как эти советы применяются на практике, предлагаю Вам ознакомиться с решением экспериментальной задачи, которая была предложена девятиклассникам на заключительном этапе всероссийской олимпиады по физике в 2014 году.
Пример экспериментальной задачи и ее правильно-оформленного решения
Условие
|
Лекция 2.
Оформление эксперимента
Автор: Черников Юрий Александрович, главный тренер по подготовке к экспериментальному туру олимпиад сборной команды школьников по физике, преподаватель Школы №1329 и СУНЦ МГУ
Аннотация: в лекции рассмотрены принципы оценки погрешностей, правила построения графиков, примеры линеаризации функций, советы по выполнению олимпиадного эксперимента, а также основные правила и пример оформления решения экспериментальной задачи.
Оценка погрешностей
Участникам школьных физических олимпиад высокого уровня (например, третьего или чётвертого этапа всероссийской олимпиады школьников по физике) приходится решать не только теоретические, но и практические задачи. При подготовке к экспериментальному туру олимпиады полезно повторить правила оценки погрешностей измерений, округления и записи конечного результата, потому что на уроках физики этим темам обычно уделяется недостаточно внимания.
Абсолютные и относительные погрешности
Любая физическая величина может быть измерена лишь с конечной точностью. Насколько бы ни был точным измерительный прибор, результат измерения зачастую не будет совпадать с истинным значением измеряемой величины . Поэтому экспериментатор должен не только провести измерение, но и оценить разность , а также при возможности принять меры по уменьшению этой разницы. Напомним, что разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины называется абсолютной погрешностью измерения:
Поскольку истинное значение величины обычно заранее неизвестно (иначе зачем проводить измерение?), то и точное значение абсолютной погрешности нельзя определить, а можно лишь оценить. То есть запись в отчёте о проделанном эксперименте: «Длина нити , погрешность », по сути гласит: «С большой вероятностью истинное значение длины нити лежит в интервале от 36,5 см до 37,5 см.».
Обычно при записи результата измерения с абсолютной погрешностью используют знак « » и пишут кратко:
.
Помимо абсолютной погрешности вводят понятие относительной погрешности, как отношение абсолютной погрешности к результату измерения:
Относительная погрешность величины наиболее наглядно характеризует точность ее измерения.