Обработка геодезических измерений

План

5.1 Принципы обработки измерений

5.2 Начальные сведения из теории ошибок

5.3 Элементы техники вычислений

5.3.1 Точные и приближенные числа

5.3.2 Система единиц для измерения углов

5.1 Принципы обработки измерений

Измерения являются важной составной частью геодезических работ, именно из измерений получают качественную информацию о различных объектах, подлежащих изучению. Геодезистам приходится изучать длины линий, горизонтальные и вертикальные углы, превышения между точками местности, температуру воздуха, ускорение свободного падения, интервалы времени и многое другое. Результаты измерений могут использоваться как непосредственно, так и как промежуточные величины для вычисления таких характеристик объекта, которые либо вообще нельзя измерить, либо их измерение требует слишком больших затрат времени и средств.

С точки зрения теории обработки измерений все измерения нужно разделить на необходимые и избыточные. Если количество неизвестных величин равно t, а количество измерений равно n, причем n>t, то t – является необходимым, а (n - t) – избыточным.

Все измерения сопровождаются ошибками и главная задача обработки измерений – устранение противоречий между результатами измерений, содержащими ошибки, и математической моделью, включающей численные значения измеряемых величин.

5.2 Начальные сведения из теории ошибок

По своей природе ошибки бывают грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки являются результатом промахов и просчетов. Их можно избежать при внимательном и аккуратном отношении к работе и организации надежного полевого контроля измерений. В теории ошибок грубые ошибки не изучаются.

Систематические ошибки имеют определенный источник, направление и величину. Если источник систематической ошибки обнаружен и изучен, то можно получить формулу влияния этой ошибки на результат измерения и затем ввести в него поправку; это исключит влияние систематической ошибки. Пока источник систематической ошибки не найден, приходится считать ее случайной, ухудшающей качество измерений.

Случайные ошибки измерений обусловлены точностью способа измерений, точностью измерительного прибора, квалификацией исполнителя и влиянием внешних условий.

Теория ошибок занимается в основном изучением случайных ошибок.

Случайная истинная ошибка измерения D - это разность между измеренным значением величины l и ее истинным значением х:

D = l – х. (5.1)

Свойства случайных ошибок:

а) при данных условиях измерений абсолютные значения случайных ошибок не превосходят некоторого предела; если какая-либо ошибка выходит за этот предел, то считается грубой;

б) положительные и отрицательные ошибки равновозможны;

в) среднее арифметическое случайных ошибок стремится к нулю при неограниченном возрастании числа измерений:

(5.2)

г) малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие.

Средняя квадратичная ошибка одного измерения - СКО

Обозначается буквой m и вычисляется по формуле Гаусса:

, (5.3)

где , n – количество измерений одной величины.

СКО очень чувствительна к большим по абсолютной величине ошибкам, т.к. каждая ошибка возводится в квадрат.

Доказано, что уже при n = 8, значение m получается достаточно надежным.

Предельная ошибка ряда измерений обозначается D_пред.; она обычно принимается равной 3m. Считается, что из тысячи измерений только 3 ошибки могут достичь или немного превосходить значение D_пред = 3m.

Отношение m_x/x называется средней квадратичной относительной ошибкой; для некоторых видов измерений относительная ошибка более наглядна, чем m. Относительная ошибка выражается дробью с числителем, равным 1, например, .

Арифметическая середина

Пусть имеется n измерений одной величины х, то есть

(5.4)

Сложим эти равенства, суммарное уравнение разделим на n и получим:

. (5.5)

Величина называется арифметической серединой.

(5.6)

.

Это означает, что при неограниченном возрастании количества измерений простая арифметическая середина стремится к истинному значению измеряемой величины, а при ограниченном количестве измерений х_о является наиболее надежным и достоверным значением измеряемой величины.

, (5.7)

т.е. средняя квадратичная ошибка арифметической середины в корень из n раз меньше ошибки одного измерения.

Веса измерений

Измерения бывают равноточными и неравноточными. Например, один и тот же угол можно измерить точным или техническим теодолитом и результаты таких измерений будут неравноточными. Или один и тот же угол измерить разным количеством приемов, результаты тоже будут неравноточными. Понятно, что СКО неравноточных измерений будут неодинаковы. Из опыта известно, что измерение, выполненное с большей точностью (с меньшей ошибкой), заслуживает большего доверия.

Вес измерения – это условное число, характеризующее надежность измерения, степень его доверия, обозначается буквой р.

, (5.8)

где с – в общем случае произвольное положительное число.

В случае равноточных измерений, когда веса всех измерений одинаковы и равны единице,

. (5.9)

5.3 Элементы техники вычислений

5.3.1 Точные и приближенные числа

Точные числа получаются при счете отдельных предметов и понятий. (45 шагов, 27 шариков); масштабные коэффициенты (1м = 100см = 1000мм).

Приближенные числа в геодезии получают, как правило, из измерений; считается, что записанное приближенное число ошибочно не более чем на половину единицы последнего разряда: 2,145 ошибочно на 0,0005, 2145 ошибочно на 0,5 и т.д.

Округление приближенных чисел:

- если первая отбрасываемая цифра больше 5 или 5 с последующими цифрами не равными 0, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу (2,461»2,5, 2,4523»2,5);

- если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставляемая цифра не изменяется (2,441»2,4).

- если первая отбрасываемая цифра есть 5 и за ней либо нет цифры, либо есть одни нули, то последняя оставляемая цифра округляется до четной (2,55»2,6, 2,65000»2,6).

5.3.2 Системы единиц для измерения углов:

а) Градусная система. Градус – это 1/90 часть прямого угла; минута – 1/60 часть градуса; секунда – 1/60 часть минуты; 1° = 60' = 3600''.

б) Радианная система.

Радиан – это центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Полный угол в 360° содержит 2p радианов.

Переход от радианной системы к градусной и обратно:

в ° = b_рад×r°; b_рад = b°/r°;

в ' = b_рад×r'; b_рад = b'/r';

в '' = b_рад×r''; b_рад = b''/r'';

Значения переходного коэффициента r:

r°=57,29578°;

r'=3437,747';

r''=206264,8'';

в) Градовая система. Град – это 1/100 часть прямого угла;

сантиград – это 1/100 часть града;

сантисантиград – это 1/100 часть сантиграда;

1 град = 100 с. = 10000 сс.

Существуют еще часовая система измерения углов, система делений угломера и некоторые другие.

При нахождении тригонометрических функций угла нужно соблюдать соответствие между значением угла и количеством значащих цифр в значении функции:

- угол задан до целых минут - 4-5 значащих цифр;

- угол задан до десятых долей минуты - 5-6 значащих цифр;

- угол задан до целых секунд - 6 значащих цифр;

- угол задан до десятых долей секунды - 7 значащих цифр.

Лекция 6

Метод проекций

План

6.1 Центральная проекция

6.2 Ортогональная проекция

6.3 Горизонтальная проекция

6.4 Расчет искажений при замене участка сферы плоскостью

6. 4.1 Искажение расстояний

6. 4.2 Искажение высот точек

Чтобы изобразить объемный предмет на плоском чертеже, применяют метод проекций. К простейшим проекциям относятся центральная и ортогональная проекции.

6.1 Центральная проекция

При центральной проекции (рисунок 6.1, а) проектирование выполняют линиями, исходящими из одной точки, которая называется центром проекции. Пусть требуется получить центральную проекцию четырехугольника АВСD на плоскость проекции р; центр проекции – точка S.

а) б)

Рисунок 6.1 – Центральная и ортогональная проекции

Проведем линии проектирования до пересечения с плоскостью проекции, получим точки a, b, c, d, являющиеся проекциями точек A, B, C, D. Плоскость проекции и объект могут располагаться по разные стороны от центра проекции; так при фотографировании центром проекции является оптический центр объектива, а плоскость проекции – фотопластинка или фотопленка.

6.2 Ортогональная проекция

При ортогональной проекции линии проектирования перпендикулярны плоскости проекции. Проведем через точки A, B, C, D линии, перпендикулярные плоскости проекции р; в пересечении их с плоскостью р получим ортогональные проекции a, b, с, d соответствующих точек (рисунок 6.1, б).

6.3 Горизонтальная проекция

Чтобы изобразить на бумаге участок земной поверхности, нужно выполнить две операции: сначала спроектировать все точки участка на поверхность относимости (на поверхность эллипсоида вращения или на поверхность сферы) и затем изобразить поверхность относимости на плоскости. Если участок местности небольшой, то соответствующий ему

участок сферы или поверхности эллипсоида можно заменить плоскостью и считать, что проектирование выполняется сразу на плоскость.

При проектировании отдельных точек и целых участков земной поверхности на поверхность относимости применяется горизонтальная проекция, в которой проектирование выполняют отвесными линиями.

Рисунок 6.2 – Горизонтальная проекция

Пусть точки А, В, С находятся на поверхности Земли (рисунок 6.2). Спроектируем их на поверхность относимости и получим их горизонтальные проекции – точки a, b, c.

Линия ab называется горизонтальной проекцией или горизонтальным проложением линии местности АВ и обозначается буквой S. Угол между линией АВ и ее горизонтальной проекцией АВ` называется углом наклона и обозначается ν.

Расстояния Аа, Вb, Cc от точек местности до их горизонтальных проекций называются высотами или альтитудами точек и обозначается Н (Н_А, Н_В, Н_с); отметка точки – это численное значение ее высоты. Разность отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h:

h_AB = H_B - H_A (6.1)

6.4 Расчет искажений при замене участка сферы плоскостью

6.4.1 Искажение расстояний

Небольшой участок сферической поверхности при определенных условиях можно принять за плоскость.

Применение модели плоской поверхности при решении геодезических задач возможно лишь для небольших участков поверхности Земли, когда искажения, вызванные заменой поверхности сферы или эллипсоида плоскостью, невелики и могут быть вычислены по простым формулам. Небольшую часть сферы (эллипсоида), отличающуюся от плоскости на величину, меньшую ошибок измерений, можно считать плоской.

Рассчитаем, какое искажение получит дуга окружности, если заменить ее отрезком касательной к этой дуге (рисунок 6.3).

О – центр окружности, дуга АВС радиусом R стягивает центральный угол .

Проведем касательную через середину дуги в точке В и, продолжив радиусы ОА и ОС до пересечения с касательной, получим точки А` и С`.

Пусть дуга АВС имеет длину D, а отрезок касательной А`С` – длину S. Известно, что для окружности D = R , причем угол должен быть выражен в

радианах.

Рисунок 6.3 – Замена сферы плоскостью

Из имеем

(6.2)

Разность обозначим через и напишем:

(6.3)

- разложение в ряд

(6.4)

, но

. (6.5)

Отношение называется относительным искажением длины дуги при замене её отрезком касательной, оно будет равно

. (6.6)

Подсчитаем конкретные значения относительного искажения для разных длин дуги D (R = 6400 км):

D = 20 км, ΔD/D = 1/ 1 218000,

D = 30 км, ΔD/D = 1/ 541 000, и т.д.

Достигнутая точность измерения расстояний пока не превышает 1/1000000, поэтому при геодезических работах любой точности участок сферы 20х20 км можно считать плоским. При работах пониженной точности размеры участка сферы, принимаемого за плоскость, можно увеличить.

6.4.2 Искажение высот точек

Если заменить небольшой участок сферы касательной плоскостью, то будут искажены не только длины линий, но и отметки точек. Изменения отметок точек симметричны относительно точки В и зависят от удаления от этой точки.

Обозначим отрезок ВС`, равный половине отрезка А`С`, через S. Отметка точки С`, находящейся на плоскости, отличается от отметки точки С, лежащей на сфере, на величину отрезка СС` = р.

Из треугольника ОВС` следует:

, откуда получаем

, (6.7)

р намного меньше величины 2R, поэтому отбросив ее, мы допустим несущественную ошибку. Таким образом,

. (6.8)

Влияние кривизны Земли на отметки точек нужно учитывать при любых расстояниях между точками; например, при S = 10 км р = 7,8 м и при S = 100 м р = 0,8 мм.

Лекция 7

Линейно-угловой ход

План

7.1 Классификация линейно-угловых ходов

7.2 Вычисление координат пунктов разомкнутого теодолитного хода

7.3 Вычисление координат пунктов замкнутого теодолитного хода

7.4 Привязка линейно-угловых ходов

7.1 Классификация линейно-угловых ходов

Для определения координат нескольких точек можно применить различные способы; наиболее распространенными из них являются линейно-угловой ход, система линейно-угловых ходов, триангуляция, трилатерация и некоторые др.

Линейно-угловой ход представляет собой последовательность полярных засечек, в которой измеряются горизонтальные углы и расстояния между соседними точками (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 - Схема линейно-угловых ходов

Исходными данными в линейно-угловом ходе являются координаты X_A, Y_A пункта А и дирекционный угол линии ВА, который называется начальным исходным дирекционным углом; этот угол может задаваться неявно через координаты пункта В.

Измеряемые величины – это горизонтальные углы b₁, b₂, b₃,…,b_k и расстояния s₁, s₂, s₃,…, s_k. Известны также ошибки измерения углов m_β и относительная ошибка измерения расстояний m_s / S = 1/ Т.

Дирекционные углы сторон хода вычисляют последовательно по формулам передачи дирекционного угла через угол поворота:

для левых углов , (7.1)

для правых углов . (7.2)

Для хода на рисунке имеем:

α 1-2 = αВА + β1 - 180° (7.3)

α 2-3 = α1-2 + β2 - 180° (7.4)

и т.д.

Координаты пунктов хода получают из решения прямой геодезической задачи сначала от пункта А к пункту 2, затем от пункта 2 к пункту 3 и т.д., до конца хода.

На практике применяют ходы, в которых предусматривается контроль измерений.

Линейно-угловые ходы подразделяют на следующие виды:

- разомкнутый ход: исходные пункты с известными координатами и исходные дирекционные углы есть в начале и конце хода.

- замкнутый линейно-угловой ход – начальный и конечный пункты хода совмещены; один пункт хода называется исходным пунктом и имеет известные координаты; на этом пункте должно быть исходное направление с известным дирекционным углом, и измеряется угол между этим направлением и направлением на второй пункт хода.

- висячий линейно-угловой ход имеет исходный пункт с известными координатами и исходный дирекционный угол только в начале хода.

- свободный линейно-угловой ход не имеет исходных пунктов и исходных дирекционных углов ни в начале хода, ни в конце хода.

По точности измерения горизонтальных углов и расстояний линейно-угловые ходы делятся на 2 большие группы: теодолитные ходы и полигонометрические ходы.

В теодолитных ходах горизонтальные углы измеряют с ошибкой не более 30¢¢; относительная ошибка измерений расстояний m_s / S колеблется от 1/1000 до 1/3000.

В полигонометрических ходах горизонтальные углы измеряют с ошибкой от 0,4″ до 10¢¢, а относительная ошибка измерения расстояний m_s / S бывает от 1/5000 до 1/300000.

7.2 Вычисление координат пунктов разомкнутого теодолитного угла

Каждый определяемый пункт линейно-углового хода имеет две координаты X и Y, которые являются неизвестными и которые нужно найти. В разомкнутом линейно-угловом ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Условие дирекционных углов. Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:

α_1-2 = α_нач. + β₁ – 180^о;

α_2-3 = α_{1 -2} + β₂ –180°;

………………… (7.5)

α_n-1 = α_n-2 + β_n-2 – 180^о

α_кон.= α_n-1 + β_n - 180^о.

Сложим эти равенства и получим теоретические суммы углов:

α_кон. = α_нач. + ∑β – 180^о ·n, (7.6)

∑β_теор. = α_кон. – α_нач. + 180^о·n - для левых углов, (7.7)

∑β_теор. = α_нач – α_кон. + 180^о ·n - для правых углов. (7.8)

Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую f_β:

f_β = ∑β_изм.- ∑β_теор. (7.9)

Допустимое значение угловой невязки можно рассматривать как предельную ошибку суммы измеренных углов:

f_βдоп. = 2·m_β·√n. (7.10)

Для теодолитных ходов m_β = 30″, поэтому:

f_{βдоп. =} 1´√n. (7.11)

Одним из этапов уравнивания является введение поправок в измеренные величины с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол V_b и запишем условие:

(7.12)

, (7.13)

т.е. поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком.

; (7.14)

Это означает, что угловая невязка f_β распределяется с обратным знаком поровну во все измеренные углы.

Исправленные значения углов вычисляются по формуле:

β_ί = β_ί(изм.) + V_βί . (7.15)

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем правильности обработки угловых измерений.

Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода DX_ί, DY_ί, координаты пунктов хода получим по формулам:

; ;

;

………………………………………………………..

; ;

; . (7.16)

Сложим эти равенства и получим

(7.17)

, (7.18)

, (7.19)

. (7.20)

- эти два условия называются координатными.

Суммы приращений координат называются теоретическими. Возникают координатные невязки хода:

; (7.21)

. (7.22)

Вычисляют абсолютную невязку хода:

, (7.23)

а затем относительную невязку хода:

1/N = f_S/ Σ(S_i), (7.24)

где - Σ (S_i) – сумма длин сторон хода.

Уравнивание приращений выполняют следующим образом. Сначала записывают суммы исправленных приращений:

;

;

и приравнивают к их теоретическим суммам:

откуда следует, что

;

; (7.25)

На практике поправки в приращения координат вычисляют по формулам:

Vx_ί = -f_χ × S_ί / ∑S;

Vy_i = -f_y × S_ί / ∑S, (7.26)

которые соответствуют условию – «поправки в приращения координат пропорциональны длинам сторон».

Рассмотренный способ обработки измерений в линейно-угловом ходе можно назвать способом последовательного распределения невязок; строгое уравнивание линейно-углового хода выполняется по методу наименьших квадратов.

После уравнивания одиночного линейно-углового хода ошибки положения его пунктов неодинаковы; они возрастают от начала и конца хода к его середине, и наибольшую ошибку положения имеет пункт в середине хода. В случае приближенного уравнивания эта ошибка оценивается половиной невязки хода f_S. При строгом уравнивании хода производится сплошная оценка точности, то есть вычисляются ошибки положения каждого пункта хода, ошибки дирекционных углов всех сторон хода, а также ошибки уравненных значений углов и сторон хода.

7.3 Вычисление координат пунктов замкнутого теодолитного хода

Вычисление координат выполняется в том же порядке, что и в разомкнутом ходе; отличие состоит в вычислении теоретических сумм углов и приращений координат. Если в замкнутом ходе измерялись внутренние углы, то

; (7.27)

если внешние, то

; (7.28)

∑(∆χ_ί) = 0; (7.29)

. (7.30)

7.4 Привязка линейно-угловых ходов

Под привязкой разомкнутого линейно-углового хода понимают включение в ход двух пунктов с известными координатами (это начальный и конечный исходные пункты хода) и измерение на этих пунктах углов между направлением с известным дирекционным углом (α_нач. и α_кон.) и первой (последней) стороной хода; эти углы называются примычными.

Привязка замкнутого линейно-углового хода – это включение в ход одного пункта с известными координатами и измерение на этом пункте примычного угла, то есть, угла между направлением с известным дирекционным углом и первой стороной хода.

Лекция 8