Статистические методы оценки погрешности измерений и характеристик двух сравниваемых приборов

Цель работы: научиться оценивать погрешность измерений двух приборов одного назначения и их метрологических характеристик на ПК в программе Excel.

Задание. 1. Проверить погрешность и оценить класс точности двух приборов.

2. Провести сравнительный анализ точности измерений двух приборов.

Основные сведения

При разработке нового оборудования устанавливают его метрологические характеристики: погрешность, точность и чувствительность. Для сопоставимости одноименных показателей характеристик свойств продукции и оценки точности и класса нового прибора и методик, проводят испытания на новом и известном оборудовании. Затем специалист осуществляет анализ данных, и даёт заключение о метрологических характеристиках нового оборудования и возможности его применения для оценки показателей качества продукции.

Для контроля качества очень важно, чтобы исследо-вательские приборы и оборудование давали максимально точные характеристики продукции.

Для этого необходимо сравнить работу двух измерительных приборов, прибор А, класс точности которого известен, например 3а и разработанного (нового) прибора В.

Из партии тканей была сделана случайная выборка проб п=10, и проведены испытания проб поочередно на приборе А, а затем на приборе В. Результаты измерений представлены в табл. 7.1. Сравнительный анализ точности приборов необходимо оценить при уровне значимости α=0,01.

Таблица 7.1. Результаты испытания ткани на приборах А и В

прибор А (хi)	56,1	56,2		56,04	56,1	56,08	56,18	56,03	56,15	56,08
прибор В ( yi)	56,2		56,25	56,02	56,18	56,06	56,04	56,24		56,12
di = yj-xj	0,1	-0,2	0,25	-0,02	0,08	-0,02	-0,14	0,21	-0,15	0,04

Таким образом, мы имеем две зависимые случайные выборки измерения одного и того же показателя на разных приборах. Другими словами надо определить значимо или незначимо различаются статистические оценки Х и У двух выборок.

Решение. Степень зависимости выборок оценим по величине коэффициента корреляции Пирсона r_xy по формуле:

Вычисляем разности выборочных значений d_i=y_j-x_j (табл. 7.1). Полученный ряд данных d_i считается выборкой объемом п.

Определяем среднее по d_i и дисперсию _d² полученных разностей по формулам:

и

Рассчитываем средние значения:

и

Расчетное (опытное) значение критерия Стьюдента определяют по формуле:

или для новой выборки

В нашем примере r_xy = -0,630; =0,02; _d²=0,02249; = 56,095; =56,11; t_B= -0,3141022. Число степеней свободы f = п-1= 10 - 1 = 9.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложения), при уровне значимости α=0,01 и f=9 определяем критическое значение Стьюдента t_кр = 3,25.

Если |t_B| < t_кр, нет оснований сомневаться в достоверности данных, так как показания приборов существенно не отличаются друг от друга, то есть приборы практически идентичны по точности измерения.

Если |t_B| > t_кр, то приборы существенно отличаются друг от друга по точности измерения.

Определяем вероятность значимости результатов, которая рассчитывается по опытному значению критерия Стьюдента |t_B| (в нашем примере |t_B|=0,422), с помощью таблиц распределения Стьюдента, по числу степеней свободы f=9 и при уровне значимости α и α/2, определяем вероятность значимости:

Р(|Т| < 0,422) = 0,683 — т.к. 0,683>0,422, то имеем двустороннюю вероятность значимости, то есть строят двустороннюю критическую область распределения Стьюдента; Р(|Т| < 0,422) = 0,342 т.к 0,342<0,422, то имеем одностороннюю вероятность значимости.

В программе Excel

В пакете Анализ данных инструмент Парный двухвыборочный t-тест для средних используется для проверки гипотезы о различии средних для двух выборок данных. В нем не предполагается равенство дисперсий генеральных совокупностей, из которых выбраны данные. Парный тест используется, когда имеется естественная парность наблюдений в выборках.

Рассмотрим работу пакета анализа для проверки гипотезы о различии между средними на нашем примере.

Алгоритм действий следующий. Формируем таблицу исходных данных, располагая в ряд 1 в ячейку А1 записываем прибор А, а в ячейки В1:К1 данные испытаний на приборе А.

В ряд 2 в ячейку А2 пишем прибор В, а в ячейки В2:К2 данные испытаний на приборе В.

Для Excel-2003 выполнить командыСервис/Анализ данных/ Парный двухвыборочный t -тест для средних - ОК.

Для Excel-2007 выполнить командыДанные / Анализ / Анализ данных / Парный двухвыборочный t-тест для средних - ОК.

В диалоговое окно внести данные:

Интервал переменной 1: $А$ 1 :$К$ 1.

Интервал переменной 2: $А$2:$К$2.

Гипотетическая средняя разность: 0 (значение по умолчанию).

Альфа: 0,01.

Выходной интервал: $А$6. ОК.

Excel представит результаты решения в виде (табл. 7.2).

Таблица 7.2. Результаты решения примера 2 с помощью инструмента Excel-2007 «Парный двухвыборочный t -тест для средних»

	А	B	C	D	E	G	F	H	I	J	K
	прибор А	56,1	56,2		56,0	56,1	56,0	56,1	56,0	56,1	56,0
	прибор В	56,2		56,25	56,0	56,1	56,0	56,0	56,2		56,1
	Парный двухвыборочный t-тест для средних
		прибор А	прибор В
	Среднее	56,096	56,111
	Дисперсия	0,004226	0,00992
	Наблюдения
	Корреляция Пирсона	-0,668493
	Гипотетическая разность средних
	df
	t-статистика	-0,314102
	P(T<=t) одностороннее	0,380301
	t критическое одностороннее	2,821437
	P(T<=t) двухстороннее	0,760602
	t критическое двухстороннее	3,249835

В таблице 7.2 значения определены по формулам:

· - среднее -

· дисперсия —

· наблюдения —п=10;

· корреляция Пирсона r_xy по формуле;

· Гипотетическая разность средних ∆ принимаем равной нулю;

· df - число степеней свободы — к=п-1=9;

· t-статистика = t_B – расчетное значение критерия Стьюдента;

· P(T<=t) одностороннее – односторонняя вероятность значимости;

· t критическое одностороннее – t_кр – критическое значение критерия Стьюдента;

· P(T<=t) двухстороннее - двухсторонняя вероятность значимости;

· t критическое двухстороннее - t_кр – двухстороннее критическое значение критерия Стьюдента.

Выводы:

Так как |t_B|=0,3141022<t_{кр табл}=3,25, то можно сказать, что показания приборов существенно не отличаются друг от друга, то есть приборы практически идентичны по точности измерения.

Сравнивая значения критерием Стьюдента, видно, что значение |t_B| меньше двухстороннего и одностороннего критического значения критерия Стьюдента, следовательно, полученные результаты значимы, достоверны и сомнений не вызывают.

Задание для самостоятельной работы №7.1.

Провести анализработы двух измерительных приборов, прибор А, класс точности которого известен, и прибора В – точность измерения которого предстоит выяснить. Для этого из партии обуви была сделана случайная выборка проб п=10, и проведены испытания этих проб на двух приборах А и В, при одинаковых условиях и режимах испытания.

Результаты измерений представлены в табл. 7.3. Сравнительный анализ точности приборов оценить при уровне значимости α=0,01.

Таблица 7.3. Результаты испытания обуви на приборе А и В

прибор А (хi)	132,0	132,14	132,23	132,15	132,11	132,28	132,3	132,12	132,25	132,18
прибор В ( yi)	132,2	132,22	132,11	132,05	132,0	132,12	132,2	132,14	132,04	132,23

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора В.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №7, задание 7.1.

Задание для самостоятельной работы №7.2.

Провести анализработы двух измерительных приборов по оценке показателя воздухопроницаемости текстильных материалов. Прибор ВП-1, класс точности которого известен, и прибора ВП-Н – точность измерения которого предстоит выяснить. Для этого из партии пальтовых тканей была сделана случайная выборка проб п=10, и проведены испытания этих проб на двух приборах ВП-1 и ВП-Н. Результаты измерений представлены в табл. 7.4. Сравнительный анализ точности приборов оценить при уровне значимости α=0,01.

Таблица 7.4. Результаты испытания пальтовых тканей на приборах ВП-1 и ВП-Н

прибор ВП-1 (хi)	92,0	92, 4	92,8	93,4	93,6	94,0	94,5	95,2	96,0	95,7
прибор ВП-Н ( yi)	93,1	94,2	93,8	94,6	92,1	92,6	93,8	95,6	95,8	96,0

Сделать вывод о достоверности оценки показателей свойств испытываемых материалов и о точности прибора ВП-Н.

Перенести данные в документ Word, оформите результаты как лабораторную работу №7, задание 7.2.

Список рекомендуемой литературы

1. Гришин В.Н. Информационные технологии в профессиональной деятельности: учебник / В.Н. Гришин, Е.Е. Панфилов. – М. : ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2012. – 416 с.

2. Гай Харт-Дэйвис. Excel 2007. Полное руководство / Перевод с англ. Акимова Т.Б. и др. – М.: НТ Пресс, 2008. – 560 с.

3. Айзек М.П. Вычисления, графики и анализ данных в Excel 2010 / М.П. Айзек, В.В. Серогодский, М.В. Финков и др. – СПб.: Наука и техника, 2013. – 352 с.

4. Кокс Джойс. Microsoft Power Point 2010. Русская версия. Серия шаг за шагом. / Дж. Кокс, Дж. Ламберт; пер. с англ. – М. : ЭКОМ Паблишера, 2012. – 544 с.

5. Глушаков С.В., ЛомотъкоД.В. Базы данных.— М.: ACT, 2000.

6. Грабер Мартин. SQL.— M.: Лори, — 2001.

7. Колчин А.Ф., Овсянников М.В., Стрекалов А.Ф., Сумароков С.В. Управление жизненным циклом продукции. – М.: Анахарсис, 2002. – 304 с.

8. Интеграция данных об изделии на основе ИПИ/CALS-технологий. Часть 1. Лекции 1-5, - М.: “Европейский центр по качеству”, 2002. – 174 с.

9. Интеграция данных об изделии на основе ИПИ/CALS-технологий. Часть 2. Лекции 6-9, - М.: “Европейский центр по качеству”, 2002. – 224 с.

Приложение 1

Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия) для различной доверительной вероятности p и числа степеней свободы f:

f	p
0.80	0.90	0.95	0.98	0.99	0.995	0.998	0.999
	3.0770	6.3130	12.7060	31.820	63.656	127.656	318.306	636.619
	1.8850	2.9200	4.3020	6.964	9.924	14.089	22.327	31.599
	1.6377	2.35340	3.182	4.540	5.840	7.458	10.214	12.924
	1.5332	2.13180	2.776	3.746	4.604	5.597	7.173	8.610
	1.4759	2.01500	2.570	3.649	4.0321	4.773	5.893	6.863
	1.4390	1.943	2.4460	3.1420	3.7070	4.316	5.2070	5.958
	1.4149	1.8946	2.3646	2.998	3.4995	4.2293	4.785	5.4079
	1.3968	1.8596	2.3060	2.8965	3.3554	3.832	4.5008	5.0413
	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214	3.2498	3.6897	4.2968	4.780
	1.3720	1.8125	2.2281	2.7638	3.1693	3.5814	4.1437	4.5869
	1.363	1.795	2.201	2.718	3.105	3.496	4.024	4.437
	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810	3.0845	3.4284	3.929	4.178
	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503	3.1123	3.3725	3.852	4.220
	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245	2.976	3.3257	3.787	4.140
	1.3406	1.7530	2.1314	2.6025	2.9467	3.2860	3.732	4.072
	1.3360	1.7450	2.1190	2.5830	2.9200	3.2520	3.6860	4.0150
	1.3334	1.7396	2.1098	2.5668	2.8982	3.2224	3.6458	3.965
	1.3304	1.7341	2.1009	2.5514	2.8784	3.1966	3.6105	3.9216
	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395	2.8609	3.1737	3.5794	3.8834
	1.3253	1.7247	2.08600	2.5280	2.8453	3.1534	3.5518	3.8495
	1.3230	1.7200	2.2.0790	2.5170	2.8310	3.1350	3.5270	3.8190
	1.3212	1.7117	2.0739	2.5083	2.8188	3.1188	3.5050	3.7921
	1.3195	1.7139	2.0687	2.4999	2.8073	3.1040	3.4850	3.7676
	1.3178	1.7109	2.0639	2.4922	2.7969	3.0905	3.4668	3.7454
	1.3163	1.7081	2.0595	2.4851	2.7874	3.0782	3.4502	3.7251
	1.315	1.705	2.059	2.478	2.778	3.0660	3.4360	3.7060
	1.3137	1.7033	2.0518	2.4727	2.7707	3.0565	3.4210	3.6896
	1.3125	1.7011	2.0484	2.4671	2.7633	3.0469	3.4082	3.6739
	1.3114	1.6991	2.0452	2.4620	2.7564	3.0360	3.3962	3.8494
	1.3104	1.6973	2.0423	2.4573	2.7500	3.0298	3.3852	3.6460
	1.3080	1.6930	2.0360	2.4480	2.7380	3.0140	3.3650	3.6210
	1.3070	1.6909	2.0322	2.4411	2.7284	3.9520	3.3479	3.6007
	1.3050	1.6883	2.0281	2.4345	2.7195	9.490	3.3326	3.5821
Окончание таблицы приложения 1
f	f
0.80	0.90	0.95	0.98	0.99	0.995	0.998	0.999
	1.3042	1.6860	2.0244	2.4286	2.7116	3.9808	3.3190	3.5657
	1.303	1.6839	2.0211	2.4233	2.7045	3.9712	3.3069	3.5510
	1.320	1.682	2.018	2.418	2.6980	2.6930	3.2960	3.5370
	1.301	1.6802	2.0154	2.4141	2.6923	3.9555	3.2861	3.5258
	1.300	1.6767	2.0129	2.4102	2.6870	3.9488	3.2771	3.5150
	1.299	1.6772	2.0106	2.4056	2.6822	3.9426	3.2689	3.5051
	1.298	1.6759	2.0086	2.4033	2.6778	3.9370	3.2614	3.4060
	1.2997	1.673	2.0040	2.3960	2.6680	2.9240	3.2560	3.4760
	1.2958	1.6706	2.0003	2.3901	2.6603	3.9146	3.2317	3.4602
	1.2947	1.6686	1.997	2.3851	2.6536	3.9060	3.2204	3.4466
	1.2938	1.6689	1.9944	2.3808	2.6479	3.8987	3.2108	3.4350
	1.2820	1.6640	1.9900	2.3730	2.6380	2.8870	3.1950	3.4160
	1.2910	1.6620	1.9867	2.3885	2.6316	2.8779	3.1833	3.4019
	1.2901	1.6602	1.9840	2.3642	2.6259	2.8707	3.1737	3.3905
	1.2888	1.6577	1.9719	2.3578	2.6174	2.8598	3.1595	3.3735
	1.2872	1.6551	1.9759	2.3515	2.6090	2.8482	3.1455	3.3566
	1.2858	1.6525	1.9719	2.3451	2.6006	2.8385	3.1315	3.3398
	1.2849	1.6510	1.9695	2.3414	2.5966	2.8222	3.1232	3.3299
	1.2844	1.6499	1.9679	2.3388	2.5923	2.8279	3.1176	3.3233
	1.2837	1.6487	1.9659	2.3357	2.5882	2.8227	3.1107	3.3150

Приложение 2

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости α=0,05

f₁ - число степеней свободы большей дисперсии,

f₂ - число степеней свободы меньшей дисперсии

	f1
f2
	161.45	199.50	215.71	224.58	230.16	233.99	236.77	238.88	240.54	241.88	245.95
	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.35	19.37	19.38	19.40	19.43
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.89	8.85	8.81	8.79	8.70
	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.09	6.04	6.00	5.96	5.86
	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.74	4.62
	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.21	4.15	4.10	4.06	3.94
	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.73	3.68	3.64	3.51
	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.50	3.44	3.39	3.35	3.22
	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.01
	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.14	3.07	3.02	2.98	2.85
	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.72
	4.75	3.89	3.49	3.26	3.11	3.00	2.91	2.85	2.80	2.75	2.62
	4.67	3.81	3.41	3.18	3.03	2.92	2.83	2.77	2.71	2.67	2.53
	4.60	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.76	2.70	2.65	2.60	2.46
	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.40
	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.66	2.59	2.54	2.49	2.35
	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.31
	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.58	2.51	2.46	2.41	2.27
	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.54	2.48	2.42	2.38	2.23
	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.51	2.45	2.39	2.35	2.20

Учебная литература

Бесшапошникова Валентина Иосифовна

док. техн. наук, профессор