Определение погрешности косвенных измерений

Рассмотрим косвенно определяемую величину U=U(x,y,z), являющуюся функцией непосредственно определяемых величин x, y, z, которые описываются классическим распределением вероятности. Если x₀, y₀, z₀ – истинные значения величин x, y, z, то истинное значение U₀ определяется выражением

(3.1)

Анализ работ практикума показывает, что все косвенные измерения по поведению истинных значений можно разделить на 3 класса (табл. 1).

Таблица 1

Класс косвенной величины	Характер истинного значения косвенного измерения	Поведение истинных значений прямых измерений
I	U0=const	x0, y0, z0=const
II	U0=const	x0, y0, z0≠const
III	U0≠const	x0, y0, z0≠const

К первому классу косвенных величин относятся величины, при определении которых их истинное значение U₀ и истинные значения x₀, y₀, z₀ прямых измерений остаются неизменными. Если методика измерений такова, что хотя бы одна из величин x₀, y₀, z₀ изменяется, а истинное значение косвенного измерения постоянно, то такие измерения относятся к измерениям второго класса. У косвенных измерений третьего класса изменяются истинные значения не только прямых, но и косвенных измерений.

Примером первого класса может служить объем твердого тела правильной геометрической формы, определяемый в неизменных условиях с помощью линейных измерений. Сопротивление, вычисляемое из закона Ома I=Δφ/R, если напряжение и ток меняются, относится ко второму классу. Представителем третьего класса косвенных величин является индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником, определяемая при различных токах в обмотке.

Данная классификация косвенных измерений методически целесообразна. При обработке каждого класса свой подход, свои возможные варианты.

Рассмотрим косвенные измерения I класса.

Можно показать [3,5], что абсолютные погрешности Δx, Δy, Δz прямых измерений x, y, z связаны с абсолютной погрешностью косвенных измерений ΔU соотношением

(3.2)

где .

………………………..

– значение частной производной функции U по х, рассчитан

ное при средних значениях прямых измерений.

………………………..

При определении частной производной д/дх все переменные, кроме х, считаются постоянными величинами. Аналогично определяются частные производные по другим переменным. Например, для функции f=x+y дf/дx=1, дf/дy=1; для функции с=х-у дс/дх=1, дс/ду=-1. Учтя эти значения, согласно соотношению (3.2) имеем , , т.е. Δf=Δc. Это значит, что при наложении двух последовательностей погрешностей результирующая погрешность равна , что и объясняет соотношение (2.8). По этой же причине

(3.3)

Если в формуле (3.2) заменить Δx, Δy … на Δх_сл, Δу_сл,…, получим ΔU_сл, вклад случайных погрешностей в погрешность косвенного измерения. При замене Δx, Δy … на Δх_пр, Δу_пр,…, соотношение (3.2) будет определять ΔU_пр, приборную погрешность косвенных измерений. Случайную погрешность ΔU_сл можно определить не только с помощью уравнения (3.2), но и с помощью соотношения (3.4):

(3.4)

Для равноточных косвенных измерений I класса среднее значениеU_ср можно рассчитать двумя способами:

(3.5) и (3.6)

Рекомендуют, как правило, второй способ, требующий меньше вычислений.

Относительная погрешность косвенного измерения U может быть рассчитана по определяющей формуле

(3.7)

или по формуле

, (3.8)

которая получена из соотношения (3.7) после подстановки в него уравнения (3.2).

На основании выражения (3.8) можно предложить правило определения формулы относительной погрешности (правило 1):

«Чтобы определить формулу относительной погрешности косвенно определяемой величины, нужно выражение, определяющее ее, прологарифмировать, продифференцировать, знак дифференциала d заменить знаком абсолютной погрешности Δ, возвести каждый член полученного выражения в правой части в квадрат и из суммы квадратов этих членов извлечь квадратный корень».

Для формулы объема цилиндра применение правила 1 дает следующее: ; (3.9)

; (3.10)

; (3.11)

; (3.12)

. (3.13)

Следует отметить, что табличные значения и универсальные постоянные (π, γ, с…), как и любые экспериментально определенные величины, задаются доверительным интервалом, внутри которого они непрерывны и дифференцируемы.

Для величины, определяемой произведением или отношением других величин, проще определять формулу относительной, а не абсолютной погрешности.

Изобразим возможные варианты определения абсолютной погрешности косвенных измерений в виде граф-схемы:

(3.2) (3.4)

(3.2) Δх→Δх_сл

I кл. ΔU (3.3) ΔU_сл→(3.2) Δх→Δх_сл ΔU_пр ………...

(3.7) ………..

(3.7) (3.7) ..………

III кл.

ε по правилу 1 Δх→(2.8)

интуиция

…………….

Рис.1

Возможные варианты обработки результатов измерений очерчены рамкой. За ее пределами отмечены особенности определения отдельных величин. Как видим из граф-схемы, абсолютную погрешность косвенных измерений I класса можно определить с помощью выражений (3.2), (3.2), (3.7). Последний вариант предполагает знание относительной погрешности ε, расчетную формулу которой рекомендуется получать по правилу I. Последний способ определения абсолютной погрешности ΔU предпочтительнее из-за меньшего объема вычислений. Абсолютные погрешности прямых измерений в расчетной формуле величины ε определяются соотношениями вида (2.8) или, при несовершенной методике, интуитивно.

Для косвенных измерений II класса среднее арифметическое значений прямых измерений теряет смысл. Поэтому пути, определяемые формулами (3.2) и (3.7) (см. рис. 1), не могут быть использованы. В результате для косвенных измерений II класса имеем одну возможность определения абсолютной погрешности ΔU на основании соотношения (3.3).

ΔU_сл→(3.4)

II кл. – – – → ΔU → (3.3) – – – – (3.2) х_ср→х_к

…….

ΔU_пр Δх_пр

(3.7) Δх

интуиция

…………………

Рис. 2

Приборную погрешность косвенного измерения ΔU_пр предлагается оценивать с помощью формул (3.2) или (3.7) по результатам одной серии прямых измерений x_к, у_к, z_к. Очевидно, чтобы не уменьшить надежность доверительного интервала (U_cp+ΔU), нужно брать такую серию измерений, для которой ΔU_np имеет наибольшее значение. Среднее значение косвенных измерений II класса можно определить только по формуле (3.5).

Для косвенных измерений III класса теряет смысл понятие среднего арифметического значения и для косвенных измерений. Поэтому в этом случае можно определить только вклад приборных погрешностей для каждого измерения. Возможные варианты их определения обозначены на рис. 1 скобкой |____|.

ПРИБОРЫ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ

В процессе измерения истинная погрешность приборов неизвестна. Для оценки таких неисключаемых систематических погрешностей используют статистические методы. Приборная погрешность, определяемая по классу точности прибора или по таблицам ГОСТа, – это статистическая оценка истинных неисключаемых ошибок приборов.

Существуют различные представления класса точности прибора:

а) в процентах от конечного значения шкалы;

б) в процентах или в относительных значениях от показаний приборов;

в) в процентах от суммы конечных значений рабочей части шкалы (для приборов с двусторонней шкалой)

г) в процентах от разности конечного и начального значения рабочей части шкалы (для приборов с безнулевой шкалой) и т.д.

У мостов постоянного и переменного тока задается относительная погрешность результата измерений, т.е. реализуется случай б. У амперметров, вольтметров и ваттметров реализуется случай а.

Отношение приборной погрешности Δх_пр к конечному значению шкалы x_max называется приведенной погрешностью ε_п. Класс точности прибора – это приведенная погрешность в процентах:

(4.1), . (4.2)

Из уравнения (4.2) имеем формулу для расчета приборной погрешности

. (4.3)

Если вольтметр на 200 В имеет класс точности 1,5, то его приборная погрешность имеет значение

. (4.4)

В случае многопредельных приборов под х_тах в уравнении (4.3) подразумевается тот предел измерений, на котором проводились измерения.

ГОСТом рекомендовано 7 классов точности: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 4,0. Заводы-изготовители приборов иногда вводят дополнительные классы точности 2,5; 3,0. На шкале электроизмерительного прибора, кроме класса точности, наносятся обозначения:

а) вида прибора: А (амперметр), V (вольтметр), W (ваттметр), Ω (омметр);

б) вида тока, которым питается прибор: – (постоянный ток)

­~ (переменный ток)

 (постоянный и переменный ток);

в) принципа действия: – магнитоэлектрическая система,

– электромагнитная система,

– электродинамическая система,

, – магнитная защита,

, – электростатическая защита измерительного

механизма;

г) расположения прибора: ^, ↑ – вертикальное,

_|–––_|, → – горизонтальное,

/60⁰ – под углом 60⁰;

д) об испытании изоляции: – проводка изолирована от корпуса,

испытана на напряжение 2 кВ,

– пробивное напряжение изоляции 2кВ;

е) эксплуатационных условий: А – закрытые, сухие, отапливаемые

помещения; температура +10¸+35 ⁰С,

Б – закрытые, неотапливаемые помещения;

температура -30¸+40 ⁰С,

В – полевые или морские условия,

В₁ – температура -40¸+50 ⁰С,

В₂ – температура -50¸+60 ⁰С,

В₃ – температура -50¸+80 ⁰С.

В условиях А, Б, В определенные требования налагаются и на относительную влажность.

Цена деления прибора – это значение наименьшего деления шкалы прибора. На каждом пределе измерений своя цена деления. Поэтому, если прибор многопредельный, перед измерением на каждом пределе необходимо определять цену деления шкалы.

На хороших измерительных приборах цена деления шкалы согласована с классом данного прибора. В таком случае нецелесообразно пытаться на глаз оценить малые доли деления, если они не отмечены на шкале. Однако это правило при изготовлении приборов не всегда выполняется, и иногда есть смысл оценивать по шкале четверть или даже одну десятую деления, но не следует особо полагаться на такую оценку. При оценке на глаз 0,1 деления разные наблюдатели делают различную систематическую погрешность, доходящую до 0,2 деления [3].

Если деления небольшие и условия деления неблагоприятные, то для оценки точности измерений за погрешность прибора берут не 0,2 деления, а значительно больше. Иногда эта величина равна половине деления шкалы прибора, но вряд ли целесообразно всюду (как это предлагается в некоторых физических практикумах) погрешность прибора считать равной половине деления шкалы прибора. Более того, это последнее соглашение часто не соответствует приборным погрешностям, определяемым ГОСТом. Так, погрешность ртутных лабораторных термометров и штангенциркулей не меньше цены деления.

Рассмотрим некоторые особенности процесса измерения расстояния, времени, массы и оценки их точности.

При исследовании движения некоторых тел приходится сравнивать путь, пройденный ими, с расстоянием между метками на измерительной шкале. Если расстояние между метками можно измерять с точностью до 1 мм, то точность при определении пути, проходимого телом, за счет ошибки на реакцию и ошибки, обусловленной параллаксом, не меньше 5-10 мм. Так обстоит дело при изучении движения шарика в вязкой среде, при исследовании движения перегрузков, вращающих маховое колесо или маятник Обербека, если время движения определяется механическим секундомером.

Определение линейных размеров нужно производить в соответствии с точностью измерительных инструментов. Металлическая рулетка в 1 или 2 м на всей длине должна иметь погрешность не более 1 мм, на любом сантиметровом делении – не более 0,5 мм и на любом миллиметровом – не более 0,2 мм. Поэтому, например, измерять расстояние порядка 1 м рулеткой с точностью до десятых долей миллиметра нет смысла.

При измерении времени следует обратить внимание на погрешность времени, обусловленную инерциальностью измерительной системы. Если в измерении времени участвует наблюдатель, то следует учитывать, что вследствие различной реакции разные наблюдатели допускают при определении момента времени какого-либо события разные по величине (но не по знаку) погрешности, доходящие до 0,19 с. Очевидно, что при измерении промежутка времени между двумя однородными событиями погрешность времени из-за реакции наблюдателя значительно меньше. Причина в том, что ошибка на реакцию по своему характеру является более систематической погрешностью. Например, когда наблюдатель отмечает начало движения, пусть он запаздывает на 0,15 с, но он также примерно на 0,15 с будет запаздывать при фиксации окончания движения, т.е. погрешность, обусловленная наблюдателем, будет в таких случаях значительно меньше ошибки на реакцию. Поэтому при соответствующем прилежании и навыке можно достаточно точно измерить время и с помощью механического секундомера.

Массу тел чаще всего определяют на рычажных весах. В случае одинаковых результатов взвешивания либо в случае разового взвешивания точность в определении массы

(4.5)

где т₁, т₂, т₃ – массы гирь, можно определить выражением

, (4.6)

где Δт₁, Δт₂, … – погрешности гирь, определяемые по таблицам ГОСТа в соответствии с классом гирь.

Выражение (4.6) определяет приборную погрешность при взвешивании. Такая оценка точности определения массы пригодна в том случае, когда весы на класс точности выше равновесков. Использование равновесков и весов равного класса приводит к тому, что основную погрешность при взвешивании дают гири и весы вследствие неравноплечности. В таких случаях следует использовать более совершенные методы взвешивания: метод Гаусса, метод Бордо или метод Менделеева, либо взвешивать тело на обеих чашечках весов, обрабатывая результаты измерений как результаты, подверженные случайным погрешностям.

Проблемой является оценка абсолютной погрешности табличных значений. Табличные значения являются округленными значениями более точных, экспериментально определенных величин. Например, известно, что плотность ртути ρ=13,955 г/см³. В таблице, как правило, приводят значение 13,6 г/см³. Предельным отброшенным при округлении числом является число, равное половине последнего разряда. Это число и принято считать погрешностью табличного значения, если о его точности нет информации. Например, теплоемкость алюминия 0,83 кДж/кг×К. Последний разряд сотый, половина его – 0,005, следовательно, погрешность теплоемкости Δс=0,005 кДж/кг*К. Если табличное значение известно с высокой степенью точности и при вычислении используются не все его значащие цифры, то за погрешность принимают разность между табличным и округленным значением, неиспользованным в расчетах. Например, в расчетах мы используем значение π=3,14, а табличное значение его 3,14159… За погрешность величины π принимают

(4.7)