Классификация измерений и их ошибок

КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ОШИБОК

Активное изучение природы человеком началось с того момента, как он научился измерять. Измерить физическую величину – значит сравнить ее с однородной физической величиной, условно принятой за единицу измерения. В зависимости от способа получения значений физической величины различают прямые и косвенные измерения.

Прямые измерения – это измерения (с помощью мер или приборов), результат которых получается непосредственно; а косвенные – после ряда математических операций. Например, для определения скорости движения тела мы измеряем путь измерительной лентой, время – секундомером. Значения пути S и времени t – результат прямых измерений, значение скорости v=S/t – косвенное измерение. Но скорость мы можем измерить прибором, спидометром. В этом случае скорость будет также прямым измерением. Таким образом, понятия косвенного и прямого измерения относительны.

Результаты измерений сопровождаются ошибками. Ошибкой измерения называется разность между результатом измерения x и истинным значением величины x₀.

(1.1)

В зависимости от возникновения погрешностей измерения можно разделить на равноточные и неравноточные. Равноточные измерения – это измерения одной и той же величины, проведенные в одинаковых условиях, по одинаковой методике, одним наблюдателем и тем же самым прибором.

Основными источниками ошибок измерений являются объект измерения, наблюдатель, инструмент и внешняя среда. По характеру действия и свойствам различают ошибки грубые, систематические и случайные.

Грубыми называются погрешности, выходящие за пределы точности, присущие данным условиям измерений. Они появляются вследствие промаха (просчета) исполнителя или резкого изменения внешних условий.

Систематические погрешности – это погрешности, вызванные влиянием односторонне действующих факторов, систематически искажающих результаты измерений. Источниками систематических ошибок могут быть, например, секундомер, ось стрелки которого и шкала не отцентрованы; 5-граммовая гиря меньше или больше 5 г; термо-э.д.с., существующая в цепи электроизмерительного прибора; потери тепла в калориметрических измерениях и т.д. Систематические погрешности имеют один и тот же знак при каждом измерении и не уменьшаются при увеличении числа измерений данной величины.

Следует отметить, что никакие поправки, никакие методики измерений, направленные на исключение систематических погрешностей, не дают возможностей полностью их исключить из результатов измерений, т.е. измерения содержат остаточные, не исключаемые систематические ошибки. Такой неисключаемой систематической погрешностью является, например, погрешность прибора. Введение поправок и использование соответствующих методик может лишь уменьшить систематические погрешности. Для выявления и определения систематических ошибок разработано эвристическое предписание.

Случайной называется погрешность, значение которой зависит от случая и заранее неизвестно. При измерениях она изменяется и может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффект действия которых столь незначителен, что их нельзя выделить и учесть в отдельности. При взвешивании источником случайных ошибок может быть, например, колебание воздуха, воздействовавшее неодинаковым образом на чашки весов, пылинка, осевшая на одну из чашек, нагревание одной половины коромысла от приближения руки взвешивающего, резкое трение в правом и левом подвесах чашек и множество других причин, которые практически невозможно учесть. Случайные ошибки подчиняются статистическим закономерностям. Их возможные значения могут быть вычислены по теории вероятностей.

ВЕРОЯТНОСТЬ. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ.

ПРИБОРЫ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ

В процессе измерения истинная погрешность приборов неизвестна. Для оценки таких неисключаемых систематических погрешностей используют статистические методы. Приборная погрешность, определяемая по классу точности прибора или по таблицам ГОСТа, – это статистическая оценка истинных неисключаемых ошибок приборов.

Существуют различные представления класса точности прибора:

а) в процентах от конечного значения шкалы;

б) в процентах или в относительных значениях от показаний приборов;

в) в процентах от суммы конечных значений рабочей части шкалы (для приборов с двусторонней шкалой)

г) в процентах от разности конечного и начального значения рабочей части шкалы (для приборов с безнулевой шкалой) и т.д.

У мостов постоянного и переменного тока задается относительная погрешность результата измерений, т.е. реализуется случай б. У амперметров, вольтметров и ваттметров реализуется случай а.

Отношение приборной погрешности Δх_пр к конечному значению шкалы x_max называется приведенной погрешностью ε_п. Класс точности прибора – это приведенная погрешность в процентах:

(4.1), . (4.2)

Из уравнения (4.2) имеем формулу для расчета приборной погрешности

. (4.3)

Если вольтметр на 200 В имеет класс точности 1,5, то его приборная погрешность имеет значение

. (4.4)

В случае многопредельных приборов под х_тах в уравнении (4.3) подразумевается тот предел измерений, на котором проводились измерения.

ГОСТом рекомендовано 7 классов точности: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 4,0. Заводы-изготовители приборов иногда вводят дополнительные классы точности 2,5; 3,0. На шкале электроизмерительного прибора, кроме класса точности, наносятся обозначения:

а) вида прибора: А (амперметр), V (вольтметр), W (ваттметр), Ω (омметр);

б) вида тока, которым питается прибор: – (постоянный ток)

­~ (переменный ток)

 (постоянный и переменный ток);

в) принципа действия: – магнитоэлектрическая система,

– электромагнитная система,

– электродинамическая система,

, – магнитная защита,

, – электростатическая защита измерительного

механизма;

г) расположения прибора: ^, ↑ – вертикальное,

_|–––_|, → – горизонтальное,

/60⁰ – под углом 60⁰;

д) об испытании изоляции: – проводка изолирована от корпуса,

испытана на напряжение 2 кВ,

– пробивное напряжение изоляции 2кВ;

е) эксплуатационных условий: А – закрытые, сухие, отапливаемые

помещения; температура +10¸+35 ⁰С,

Б – закрытые, неотапливаемые помещения;

температура -30¸+40 ⁰С,

В – полевые или морские условия,

В₁ – температура -40¸+50 ⁰С,

В₂ – температура -50¸+60 ⁰С,

В₃ – температура -50¸+80 ⁰С.

В условиях А, Б, В определенные требования налагаются и на относительную влажность.

Цена деления прибора – это значение наименьшего деления шкалы прибора. На каждом пределе измерений своя цена деления. Поэтому, если прибор многопредельный, перед измерением на каждом пределе необходимо определять цену деления шкалы.

На хороших измерительных приборах цена деления шкалы согласована с классом данного прибора. В таком случае нецелесообразно пытаться на глаз оценить малые доли деления, если они не отмечены на шкале. Однако это правило при изготовлении приборов не всегда выполняется, и иногда есть смысл оценивать по шкале четверть или даже одну десятую деления, но не следует особо полагаться на такую оценку. При оценке на глаз 0,1 деления разные наблюдатели делают различную систематическую погрешность, доходящую до 0,2 деления [3].

Если деления небольшие и условия деления неблагоприятные, то для оценки точности измерений за погрешность прибора берут не 0,2 деления, а значительно больше. Иногда эта величина равна половине деления шкалы прибора, но вряд ли целесообразно всюду (как это предлагается в некоторых физических практикумах) погрешность прибора считать равной половине деления шкалы прибора. Более того, это последнее соглашение часто не соответствует приборным погрешностям, определяемым ГОСТом. Так, погрешность ртутных лабораторных термометров и штангенциркулей не меньше цены деления.

Рассмотрим некоторые особенности процесса измерения расстояния, времени, массы и оценки их точности.

При исследовании движения некоторых тел приходится сравнивать путь, пройденный ими, с расстоянием между метками на измерительной шкале. Если расстояние между метками можно измерять с точностью до 1 мм, то точность при определении пути, проходимого телом, за счет ошибки на реакцию и ошибки, обусловленной параллаксом, не меньше 5-10 мм. Так обстоит дело при изучении движения шарика в вязкой среде, при исследовании движения перегрузков, вращающих маховое колесо или маятник Обербека, если время движения определяется механическим секундомером.

Определение линейных размеров нужно производить в соответствии с точностью измерительных инструментов. Металлическая рулетка в 1 или 2 м на всей длине должна иметь погрешность не более 1 мм, на любом сантиметровом делении – не более 0,5 мм и на любом миллиметровом – не более 0,2 мм. Поэтому, например, измерять расстояние порядка 1 м рулеткой с точностью до десятых долей миллиметра нет смысла.

При измерении времени следует обратить внимание на погрешность времени, обусловленную инерциальностью измерительной системы. Если в измерении времени участвует наблюдатель, то следует учитывать, что вследствие различной реакции разные наблюдатели допускают при определении момента времени какого-либо события разные по величине (но не по знаку) погрешности, доходящие до 0,19 с. Очевидно, что при измерении промежутка времени между двумя однородными событиями погрешность времени из-за реакции наблюдателя значительно меньше. Причина в том, что ошибка на реакцию по своему характеру является более систематической погрешностью. Например, когда наблюдатель отмечает начало движения, пусть он запаздывает на 0,15 с, но он также примерно на 0,15 с будет запаздывать при фиксации окончания движения, т.е. погрешность, обусловленная наблюдателем, будет в таких случаях значительно меньше ошибки на реакцию. Поэтому при соответствующем прилежании и навыке можно достаточно точно измерить время и с помощью механического секундомера.

Массу тел чаще всего определяют на рычажных весах. В случае одинаковых результатов взвешивания либо в случае разового взвешивания точность в определении массы

(4.5)

где т₁, т₂, т₃ – массы гирь, можно определить выражением

, (4.6)

где Δт₁, Δт₂, … – погрешности гирь, определяемые по таблицам ГОСТа в соответствии с классом гирь.

Выражение (4.6) определяет приборную погрешность при взвешивании. Такая оценка точности определения массы пригодна в том случае, когда весы на класс точности выше равновесков. Использование равновесков и весов равного класса приводит к тому, что основную погрешность при взвешивании дают гири и весы вследствие неравноплечности. В таких случаях следует использовать более совершенные методы взвешивания: метод Гаусса, метод Бордо или метод Менделеева, либо взвешивать тело на обеих чашечках весов, обрабатывая результаты измерений как результаты, подверженные случайным погрешностям.

Проблемой является оценка абсолютной погрешности табличных значений. Табличные значения являются округленными значениями более точных, экспериментально определенных величин. Например, известно, что плотность ртути ρ=13,955 г/см³. В таблице, как правило, приводят значение 13,6 г/см³. Предельным отброшенным при округлении числом является число, равное половине последнего разряда. Это число и принято считать погрешностью табличного значения, если о его точности нет информации. Например, теплоемкость алюминия 0,83 кДж/кг×К. Последний разряд сотый, половина его – 0,005, следовательно, погрешность теплоемкости Δс=0,005 кДж/кг*К. Если табличное значение известно с высокой степенью точности и при вычислении используются не все его значащие цифры, то за погрешность принимают разность между табличным и округленным значением, неиспользованным в расчетах. Например, в расчетах мы используем значение π=3,14, а табличное значение его 3,14159… За погрешность величины π принимают

(4.7)

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ

Оценка истинного значения как прямых, так и косвенных измерений начинается с анализа систематических погрешностей. Для его проведения рекомендуется правило 2 (см. 5).

Определив исключаемую систематическую погрешность, вносят соответствующую поправку в результат измерений или вычислений. Оценка неисключенной систематической погрешности прямых измерений позволяет решить вопрос о числе измерений. Если эта погрешность существенно (на 30% или более) превосходит приборную, то она оценивается «на глазок», на основании интуиции и опыта. Измерения проводятся дважды. Второе измерение только для контроля. Если неисключаемая систематическая погрешность определяется приборной погрешностью, то измерения проводятся многократно и их результаты рекомендуется записывать в таблицу (см. 9).

Среднее арифметическое значение – это точечная и наиболее вероятная оценка истинного значения равноточных измерений. Вероятностная природа результатов измерений и их ошибок требует определения истинного значения с помощью доверительного интервала (х_ср+Δх), значение которого бессмысленно без указания надежности оценки, доверительной вероятности. В лабораторном практикуме рекомендуется надежность, равная 0,95.

Рассчитав по формуле (2.8) абсолютную погрешность Δх, конечный результат прямых измерений записывают в виде (2.10). В аналогичной форме записываются и косвенные измерения. Для вычисления абсолютной погрешности ΔU косвенных измерений определяется их класс и с помощью граф-схемы (рис. 1; 2) выбирается вариант расчета. Косвенные измерения I класса в большинстве случаев рекомендуется обрабатывать по третьему варианту, через относительную погрешность, вывод расчетной формулы которой облегчается, если использовать правило 1.

Оценка истинного значения измеряемой величины будет завершенной, если вы убедитесь в достоверности полученных результатов. Это можно осуществить путем:

а) сопоставления с результатами других авторов, например, с данными справочников;

б) сопоставления расчетных и экспериментальных значений или путем проверки выполнения законов сохранения (энергии, массы) для опытных данных;

в) сопоставления результатов, полученных исследователем по различным методикам. Так, объем цилиндра, рассчитанный по значениям диаметра и высоты, можно определить с помощью мензурки по «увеличению» объема жидкости при погружении в нее цилиндра. Объем цилиндра можно определить и по уменьшению его веса в воде. Число, определяющее уменьшение веса тела в граммах, есть объем тела в кубических сантиметрах.

В выводах по результатам измерений в лабораторной работе дайте анализ точности измерений, укажите, какие величины вносят наибольший вклад в погрешность косвенных измерений, предложите рекомендации по увеличению точности измерений.

Таким образом, оценить истинное значение величины – это значит:

1. Выявить систематические погрешности и учесть их.

2. Задавшись определенной надежностью, рассчитать доверительный интервал.

3. Определить относительную погрешность.

4. Убедиться в достоверности полученного результата.

ГРАФИКИ

В лабораторных работах для наглядности или для дальнейших вычислений часто требуется иметь график зависимости одной физической величины от другой. На графиках по горизонтальной оси принято откладывать независимую переменную, т.е. величину, значения которой задает экспериментатор, а по вертикальной оси – функцию этой величины. На осях координат указывают название или символ величины, наименование единиц измерения и основные деления.

Если в работе требуется экстраполяция графика, то отсчет на осях координат следует начинать не с нуля, а таких значений, чтобы была возможность отметить все экспериментальные значения. Это позволит взять больший масштаб на том же самом листе бумаги и яснее раскрыть физическую сущность явления.

В тех областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений. В области максимумов, минимумов и точек перегибов следует проводить измерения значительно чаще.

Масштаб должен быть простым и таким, чтобы при нанесении точек на график не приходилось делать сложные подсчеты. Половина значения его наименьшего деления должна быть не менее абсолютной погрешности данной величины. Это дает возможность указать на графике ошибку в экспериментальном значении, что делается с помощью знаков или , где половина отрезка соответствует абсолютной погрешности соответствующей физической величины.

Указав подобным образом области значений, где возможны истинные значения исследуемой величины, мы можем провести «наилучшую» плавную кривую или прямую. График должен проходить через все области и так, чтобы примерно половина экспериментальных точек оказалась по одну сторону, а другая половина – по другую сторону графика (см. рис. 5).

Рис. 5

Существуют строгие методы, позволяющие по данным экспериментальным точкам провести линию, которая в пределах ошибок измерений будет соответствовать истинному графику. Таким наиболее распространенным методом является метод наименьших квадратов. Но в случае малых выборок метод наименьших квадратов столь же некорректен, как и классическая теория ошибок [1].

ВЫЧИСЛЕНИЯ

Точность вычислений должна быть согласована с точностью самих измерений. При относительной погрешности измерений порядка 1+10% расчеты можно производить, пользуясь тремя значащими цифрами, при относительной погрешности измерений порядка 0,1+1% можно пользоваться четырехзначными цифрами и т.д.

Следует различать понятия «значащие цифры» и верные знаки числа. Значащие цифры – это все цифры числа, кроме нулей, стоящих в начале. Число 0,0247 имеет три значащие цифры (2, 4, 7). Количество верных знаков числа отсчитывается от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной ошибки: например, если для числа а=0,0247 абсолютная ошибка Δа=0,0032, то число а имеет один верный знак (2), остальные знаки сомнительные.

Чтобы уменьшить накопление ошибок округления при вычислениях, во всех данных для расчета следует сохранять не только верные знаки, но и несколько сомнительных. Количество сохраняемых сомнительных знаков зависит от объема расчетов: если количество выполняемых действий измеряется десятками, надо сохранять один-два сомнительных знака, если количество действий измеряется сотнями, надо сохранять два-три сомнительных знака [6].

Использование этих рекомендаций и правил приближенных действий приводит к тому, что погрешность вычислений как минимум на порядок (т.е. в 10 раз) меньше погрешности результата косвенных измерений. Поэтому арифметические операции не могут существенно исказить результаты измерений.

В лабораторном практикуме измерения одной и той же величины повторяют обычно не более 10 раз. Погрешность абсолютной погрешности при 10 и меньшем числе измерений более 30%. Поэтому случайную погрешность нет смысла определять с точностью более двух значащих цифр. Если у погрешности первая значащая цифра , и более, то в конечной записи можно оставить только одну значащую цифру. Таким образом, вычисление абсолютной и относительной погрешности прямых и косвенных измерений целесообразно производить не боле чем с двузначными цифрами. В записи окончательного результата косвенных измерений следует сохранять один сомнительный знак. Примеры записи окончательных результатов измерений:

;

.

ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Пример 1. Определение объема цилиндра с помощью штангенциркуля.

Предваряющий измерения анализ систематических погрешностей проведен в разд. 5. Измерение диаметра D и высоты h цилиндра проведем в разных местах и различных положениях цилиндра. Результаты измерений и вычислений занесем в табл. 2 и 3, где ΔD_i=D_cp-D_i и Δh_i=h_cp-h_i – разности между средним и измеренным значением.

Таблица 2

№	Di, мм	ΔDi , мм	ΔDi2, мм2		Р и t
	21,2	0,1	0,01	= =0,045	P=0,95 t=2,8
	21,4	0,1	0,01
	21,3	0,0	0,00
	21,2	0,1	0,01
	21,4	0,1	0,01
Dср=21,3	ΔDпр=0,1 мм	ΔDcл=0,13 мм

D=(21,3+0,16) мм

ε=0,7% (9.1)

Р=0,95

где абсолютная погрешность ΔD=0,16 мм определяется соотношением .

Таблица 3

№	hi, мм	Δhi , мм	(Δhi)2, мм2		Р и t
	62,1	0,1	0,01	0,065	P=0,95 t=2,8
	62,3	0,2	0,04
	62,1	0,0	0,00
	61,9	0,2	0,04
	62,1	0,0	0,00
hср=62,1мм	Δhпр=0,1 мм	Δhсл=0,18 мм

h=(62.1+0,21) мм

ε=0,34% (9.2)

Р=0,95

Вычисляем среднее значение объема цилиндра:

(9.3)

и относительную погрешность (см. формулу 3.13):

; (9.4)

. (9.5)

Первые два слагаемых подкоренного выражения меньше последнего более чем в 5 раз. Ими при вычислении можно пренебречь. Вычисляем абсолютную погрешность объема:

→ ; (9.6)

. (9.7)

Записываем окончательный результат:

V=(221+3,3)*10² мм³;

ε=1,5%; (9.8)

Р=0,95.

Убедимся в достоверности полученного значения объема цилиндра. Для этого его погрузим в мензурку с водой. Увеличение «объема воды» составило 22 мл, что в пределах погрешности измерений соответствует рассчитанному значению объема цилиндра.

Пример 2. Определение индуктивности катушки.

Индуктивность катушки определим из соотношения

, (9.9)

где Z – полное сопротивление катушки;

R – ее омическое сопротивление;

ω – циклическая частота переменного тока.

Полное сопротивление Z определим из закона Ома I_эф=U_эф/Z. (9.10)

Проведем измерения силы тока I_эф в электрической цепи (рис. 6) при различных напряжениях.

Результаты измерений и вычислений внесем в таблицу. Отметим полное сопротивление Z – косвенное измерение II класса

Рис. 6 Таблица 4

№	Uэф, В	Iэф, А	Zi, Ом	ΔZi	ΔZi2	Р и t
		0,58				0,95 4,3
		0,70
		0,95	99,0
Zср=101	ΔZсл=5,2

Чтобы найти абсолютную погрешность ΔZ, необходимо рассчитать и ΔZ_пр, т.е. вклад приборных погрешностей и ΔZ. Из (9.10) на основании правила I имеем, что

. (9.11)

Для вольтметра на 150 В класса точности 0,5 ΔU_np=0.005*150В=0,75В, для амперметра на 1 А класса точности 1,5 ΔI_np=0,015*1А=0,015А. Учтя это, можно записать:

. (9.12)

Отсюда

. (9.13)

Так как , (9.14)

то в нашем случае

. (9.15)

Таким образом, имеем

Z=(101+5,5) Ом;

ε=5%; (9.16)

Р=0,95.

R – определяем с помощью моста постоянного тока. Учитывая, что погрешность моста 0,1%, окончательный результат можно записать в виде

R=(41,4+0,4) Ом;

ε=0,10%; (9.17)

Р=0,95.

Для сетевого переменного тока

ω=2πν, (9.18)

где ν=(50+0,1) Гц.

Зная R, Z, ω, легко рассчитать из уравнения (9.9) индуктивность L:

. (9.19)

Для определения точности L выведем формулу относительной погрешности. В соответствии с правилом определения относительной погрешности (правило 1) из формулы (9.9) имеем:

, (9.20)

, (9.21)

. (9.22)

Подставив значения, получим:

. (9.23)

Легко заметить, что последними тремя членами подкоренного выражения можно пренебречь. Вычисление ε и ΔL производится устно. В результате наших измерений и вычислений мы получим, что

L=(0,29+0,018) Гн;

ε=6%; (9.24)

Р=0,95.

Более детальный анализ методики измерений показывает, что мы допускаем систематическую погрешность при определении Z. В самом деле, мы определили Z как отношение показаний вольтметра U_эф к показаниям амперметра I_эф. Но из закона Ома

Z=U_эф/I_эф’, (9.25)

где I_эф’ – сила тока, идущего через катушку. Очевидно, что I_эф’ I_эф. Нетрудно показать, что если пренебречь индуктивным сопротивлением вольтметра в схеме (рис. 6), то

, (9.26)

где I_эф – показания амперметра;

U_эф – показания вольтметра;

R_V – сопротивление вольтметра.

При R_V →¥ Z=U_эф/I_эф. В нашем примере для U_эф=94В, I_эф=0,95А, Z=99,2Ом. Сравнивая с данными табл. 4, видим, что систематическая погрешность ΔZ_сист=0,2 Ом. Эта систематическая погрешность значительно меньше случайной и ей можно пренебречь. Более того, взяв различные напряжения, мы эту систематическую погрешность частично обратили в случайную, частично учли.

Вставив в катушку сердечник, мы получили I_эф=0,4А, U_эф=240В. Вольтметр стоял на пределе 300В, R_V=40кОм. Если вычислить по формуле (9.9), получим Z=609Ом, т.е. погрешность первоначальной методики 9Ом или 1,5%, что сравнимо с ошибкой величины Z (9.16). Следует помнить слова Менделеева Д. И. о том, что достойны внимания и обработки только те данные, где все влияния описаны, или, несомненно, приняты во внимание, т.е. вот почему, прежде чем измерять, необходимо тщательно проанализировать методику измерений, выявить и учесть систематические погрешности.

Для доказательства достоверности значений индуктивности катушки определите ее другим методом, например, с помощью моста Максвелла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков.– 2-е изд. – М: Наука, 1972. –172с.

2. Касандрова О.Н, Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. – М.: Наука, 1970. – 104с.

3. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин. –Л.:Наука, 1974. –108с.

4. Сквайрс Дж. Практическая физика/ Пер. с англ. под ред. Е.М. Лейкина. –М.: Мир, 1971. –246с.

5. Сурикова Е.И. Погрешности приборов и измерений. –Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. –160с.

6. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. –М.: Наука, 1971. –192с.

7. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. –Л.: Энергия, 1978. –262с.

8. Соловьев В.А., Яхонтова В.Е. Элементарные методы обработки результатов измерений. –Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1977. –72с.

9. Кортнев А.В. и др. Практикум по физике. –М.: Высшая школа, 1963. –516с.

10. Лабораторный практикум по физике: Учебное пособие для студентов втузов./Под ред. А.С. Ахматова. –М.: Высшая школа, 1980. –360с.

СОДЕРЖАНИЕ.

1. Классификация измерений и их ошибок 1

2. Вероятность. Плотность вероятности. Доверительный

интервал и доверительная вероятность 2

3. Определение погрешности косвенных измерений 5

4. Приборы и их погрешности 9

5. Выявление, оценка и учет систематических погрешностей 14

6. Оценка истинного значения величины и достоверность

результатов измерений 17

7. Графики 18

8. Вычисления 20

9. Примеры обработки результатов измерений 21

Литература 26

КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ОШИБОК

Активное изучение природы человеком началось с того момента, как он научился измерять. Измерить физическую величину – значит сравнить ее с однородной физической величиной, условно принятой за единицу измерения. В зависимости от способа получения значений физической величины различают прямые и косвенные измерения.

Прямые измерения – это измерения (с помощью мер или приборов), результат которых получается непосредственно; а косвенные – после ряда математических операций. Например, для определения скорости движения тела мы измеряем путь измерительной лентой, время – секундомером. Значения пути S и времени t – результат прямых измерений, значение скорости v=S/t – косвенное измерение. Но скорость мы можем измерить прибором, спидометром. В этом случае скорость будет также прямым измерением. Таким образом, понятия косвенного и прямого измерения относительны.

Результаты измерений сопровождаются ошибками. Ошибкой измерения называется разность между результатом измерения x и истинным значением величины x₀.

(1.1)

В зависимости от возникновения погрешностей измерения можно разделить на равноточные и неравноточные. Равноточные измерения – это измерения одной и той же величины, проведенные в одинаковых условиях, по одинаковой методике, одним наблюдателем и тем же самым прибором.

Основными источниками ошибок измерений являются объект измерения, наблюдатель, инструмент и внешняя среда. По характеру действия и свойствам различают ошибки грубые, систематические и случайные.

Грубыми называются погрешности, выходящие за пределы точности, присущие данным условиям измерений. Они появляются вследствие промаха (просчета) исполнителя или резкого изменения внешних условий.

Систематические погрешности – это погрешности, вызванные влиянием односторонне действующих факторов, систематически искажающих результаты измерений. Источниками систематических ошибок могут быть, например, секундомер, ось стрелки которого и шкала не отцентрованы; 5-граммовая гиря меньше или больше 5 г; термо-э.д.с., существующая в цепи электроизмерительного прибора; потери тепла в калориметрических измерениях и т.д. Систематические погрешности имеют один и тот же знак при каждом измерении и не уменьшаются при увеличении числа измерений данной величины.

Следует отметить, что никакие поправки, никакие методики измерений, направленные на исключение систематических погрешностей, не дают возможностей полностью их исключить из результатов измерений, т.е. измерения содержат остаточные, не исключаемые систематические ошибки. Такой неисключаемой систематической погрешностью является, например, погрешность прибора. Введение поправок и использование соответствующих методик может лишь уменьшить систематические погрешности. Для выявления и определения систематических ошибок разработано эвристическое предписание.

Случайной называется погрешность, значение которой зависит от случая и заранее неизвестно. При измерениях она изменяется и может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффект действия которых столь незначителен, что их нельзя выделить и учесть в отдельности. При взвешивании источником случайных ошибок может быть, например, колебание воздуха, воздействовавшее неодинаковым образом на чашки весов, пылинка, осевшая на одну из чашек, нагревание одной половины коромысла от приближения руки взвешивающего, резкое трение в правом и левом подвесах чашек и множество других причин, которые практически невозможно учесть. Случайные ошибки подчиняются статистическим закономерностям. Их возможные значения могут быть вычислены по теории вероятностей.