Математическое описание случайных погрешностей.

Измеряемая величина, содержащая случайную погрешность, должна рассматриваться как случайная величина. Из теории вероятностей известно, что наиболее полно случайные величины характеризуются законами распределения вероятностей.
Плотность распределения вероятностей

, (1.13)

где F(x)– вероятность значений случайной величины х в интервале dx.

Наряду с плотностью распределения вероятностей используется функция распределения вероятностей случайной величины

, (1.14)

которая выражает собой вероятность того, что случайная величина находится в интервале от -¥ до x₁ . Функция распределения любой случайной величины является неубывающей функцией, определенной так, что F(-¥)=0, а F(+¥) = 1 . Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале между x₁ и x₂ , равна

(1.15)

В разнообразных измерительных устройствах законы распределе­ния вероятностей различны. Преимущественно встречаются нормальные и равномерные распределения. Случайная величина X распределена нормально, если её плотность вероятностей имеет вид

(1.16).

где s - среднее квадратическое отклонение, m=M[Х];

m - математическое ожидание.
Математическое ожидание M[X] случайной величины X является постоянной величиной и характеризует её среднее значение. Величина является случайной погрешностью. Если систематичес­кая погрешность отсутствует, то математическое ожидание равно истинному значению величины X.

На рис. I.I, а показана дифференциальная функция нормального распределения f(x). Рассеяние результатов вокруг M[х] уменьшаетcя с уменьшением s. При расчетах пользуются нормированным нормаль­ным распределением, когда нормируется случайная величина:

(1.17)

где нормированная случайная величина. Интеграл

(1.18)

Рис.1.1,а

выражает вероятность попадания случайной погрешности в интервал 0–t₁ и носит название функции Лапласа. Значения f(t) и Р(t₁) приводятся в табл. I и 2 приложения. Из табл. 2 приложения можно найти, что вероятность появления случайной погрешности в интерва­лах ±t₁ = = ± 1 ; ±2 ; ± 3 c учетом симметричности распреде­ления равна соответственно 0,683, 0,954, 0,997. Эти цифры характе­ризуют вероятность появления случайной погрешности в интервалах ±s'; ±2s;'±3s. Если случайные погрешности определяются по резуль­татам измерений, то в большинстве случаев они имеют нормальное распределение.

при

x

x

x

,

>

>

ì

Равномерное распределение, показанное на рис. 1.1,б, записы­вается в виде:

x

x

î

(1.19)

P

x

x

x

при

x

x

x

при

x

x

=

-

£

£

>

í

î

ï

ï

)

(

Вероятность появления погрешности в интервале x₄-x₃ равна

Равномерное распределение имеет погрешность квантования из­меряемой величины по уровню в цифровых измерительных приборах.

Если закон распределения неизвестен, то всегда принимают равномерное распределение.

В измерительной практике встречаются и другие законы распределения, которыми в [6] рекомендуется аппроксимировать реальные законы распределений: треугольный, трапециевидный, антимодальные I и II, Рэлея.

Для решения многих задач не требуется знание функции и плотности распределения вероятностей, а вполне достаточными ха­рактеристиками случайных погрешностей служат их числовые характеристики: математическое ожидание (первый начальный момент)

(I.20)
и дисперсия (второй центральный момент)

(1.21)

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, есть среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Математическое ожидание является центром группирования случайной величины, а дисперсия характеризует мощность рассеяния.

Нормальное распределение полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией.

Равномерное распределение (рис I.I,б) тоже определяется дву­мя параметрами M[x]и x_т .

Дисперсия равномерного распределения

(1.22)

а среднее квадратическое отклонение

Вероятность появления случайной погрешности в интервале ±s составляет р=s/x_m=0.578 .

Числовые вероятностные характеристики погрешностей, представ­ляющие собой неслучайные величины, теоретически определяются при бесконечном числе наблюдений. Практически число наблюдений n всегда ограничено. Поэтому реально пользуются статистическими числовыми характеристиками, которые принимают за искомые вероятностные характеристики и называют оценками характеристик. Чтобы под­черкнуть различие между формулами вероятностных характеристик и их оценок, последние отмечают знаком ~.

К оценкам случайной величины, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Оценка параметра Q считается состоятельной, если при увеличе­нии числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины :

Несмещенной она называется в том случае, если математическое ожидание её равно истинному значению оцениваемой величины: .

Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной ее назы­вают .

Обычно для симметричных распределений в качестве оценки ма­тематического ожидания ряда равноточных наблюдений принимают сред­нее арифметическое ряда наблюдений п:

(1.23)

где q_i - результат i наблюдения; п - число наблюдений.

Если отсутствует систематическая погрешность, то при .

Разность представляет собой случайную погрешность при i -м наблюдении. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

Среднее арифметическое, независимо от закона распределения, обладает следующими свойствами:

(I.24)

(1.25)

Первое свойство используется для проверки правильности вы­числения , а второе положено в основу метода наименьших квад­ратов.

В качестве оценки дисперсии берётся дисперсия отклонения ре­зультата наблюдения

, (1.26)

а оценки среднего квадратического отклонения

. (1.27)

Формула (1.27) характеризует среднее квадратическое отклонение отдельного наблюдения.

Для вычислений абсолютной погрешности требуется найти разность между результатом наблюдения Q_i и истинным значением из­меряемой величины Q_ист. Но Q_ист никогда неизвестно, поэтому, как уже отмечалось, на практике пользуются действительным значением измеряемой величины. При достаточно большом числе наблюдений, не искаженных систематической погрешностью, в качестве действитель­ного значения можно принять среднее арифметическое результатов наблюдений и принять его за результат измерения.

Среднее арифметическое зависит от числа наблюдений и является случайной величиной с некоторой дисперсией относительно истинного значения величины Q_ист , т.е. величину можно рас­сматривать как оценку Q_ист , т.е. .

В теории вероятностей показывается, что оценкой дисперсии среднего арифметического ряда наблюдений относительно истинного значения является

(1.28)

Величину называют средним квадратическим откло­нением результата измерений.

Следовательно, взяв за результат измерения , уменьшаем среднее квадратическое отклонение в раз по сравнению со слу­чаем, когда за результат измерения принимается любое одно из п наблюдений. Из полученных выражений видно, что многократные измерения с последующим усреднением результатов позволяют уменьшить случайную составляющую погрешности, а также оценить её.

Доверительный интервал.

Рассмотренные оценки результатов измерений называют точечными. Они указывают интервал значений измеряемой величины, внутри которого находится истинное значение , Поскольку и величины случайные, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности того, что абсолютное значение отклонения будет оставаться меньше некоторой величины

(1.29)

или

(1.30)

Величина e характеризует точность оценки, а вероятность р , называемая доверительной вероятностью и коэффициентом доверия, – надёжность оценки.

Зависимость (1.30) , записанная в виде

(1.31)

говорит о том, что случайный интервал J(p)=2e, находящийся в пределах от , с вероятностью р накрывает величину Q_ист (или неслучайная величина Q_ист с вероятностью p оказывается внутри этого интервала). Интервал J(р) называют доверитель­ным интервалом, а его границы доверительными.

Используя интервальную оценку результатов измерений, необхо­димо задавать доверительный интервал и доверительную вероятность. Если закон распределения вероятностей случайных погрешностей из­вестен, то выбор одной из указанных величин определяет вторую. Это видно из следующего. После подстановки в (1.29) нормированных ве­личин t = D/s и t_p=e/s можно записать известное из теории ве­роятностей равенство

(1.32)

Следовательно, (1.33) и при известной функции распределения F(t) конкретное значение р

определяет значение t_p и наоборот.

В случае нормального распределения и числа наблюдений п³20 t_p выбирается по таблице функций Лапласа (см. табл. 2 приложения), при этом значение вероятности умножается на 2, так как в таблице они приведены для половины симметричного интервала.

Если число наблюдений п £20, доверительный интервал случайной погрешности при заданных вероятности р и средним квадратическим отклонением результата измерения определяется по формуле Стьюдента

(1.34)

где t _{p ,n} - коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от заданной вероятности p и числа наблюдений п (табл.3 приложе­ния). При п>20 распределение Стьюдента приближается к нормальному и вместо t _{p ,n} можно использовать t _p для нормального распределе­ния.

При равномерном распределении обычно принимают (т.е. для p=1), поскольку доверительный интервал слабо зависит от доверительной вероятности.

Как правило, в практике измерений доверительную вероятность принимают р = 0.95. Если измерения нельзя повторить, то р=0.99. В особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с созданием новых эталонов или от них зависит здоровье людей, то p= 0.997 и выше.

При нормальном законе распределений погрешностей доверитель­ная вероятность р=0.68 соответствует доверительному интервалу

При оценке погрешностей, как уже указывалось, очень важно знать их закон распределения. Из теории вероятностей известно, если имеется большое число наблюдений (п³30 ), то оказывается возможным проверить гипотезу относительно закона распределения. Гипотеза может быть высказана на основе построения гистограммы. Для проверки соответствия гипотезы экспериментальному распреде­лению существует ряд критериев. Наиболее распространенным является критерий Пирсона, или критерий c²(«хи - квадрат»), который позволяет проверить соответствие экспериментальных данных любому распределению, а не только нормальному.

Схема обработки результатов измерения с многократными наблю­дениями приведена на рис.1.2.