Экспериментальных наблюдений

Методическое пособие

По обработке результатов

Экспериментальных наблюдений

(в помощь студентам младших курсов МГТУ)

Введение

Обработка результатов измерений является важнейшей частью любого физического эксперимента. Студенты и курсанты МГТУ впервые сталкиваются с ней на первом курсе обучения при выполнении лабораторных работ на кафедре физики. Вместе с тем, полноценное понимание того, как это делать правильно, возможно только после усвоения учащимися соответствующих глав математического анализа и теории вероятности, которые, если и предусмотрены учебной программой, излагаются позднее. Данное руководство призвано устранить возникающее противоречие и помочь учащимся на первых этапах обучения.

При проведении физических измерений приходится отвечать на вопросы, имеющие решающее значение при интерпретации полученных данных. Например: насколько достоверны результаты эксперимента?; согласуется ли с ними теоретическая модель изучаемого явления?; насколько статистически надёжен метод измерения?; не происходило ли сбоев в работе приборов? и т.п. Знание истинного значения измеряемой физической величины позволило бы легко ответить на эти и иные важные вопросы. Однако неизбежный статистический разброс фиксируемых измерений в совокупности с погрешностью приборов приводит к тому, что оно оказывается нам недоступным. Поэтому на практике используют среднее значение измеряемой физической величины с указанием интервала (пределов) в котором лежит её истинное значение. Их вычисление важнейшая задача, возникающая в ходе физического практикума.

Изучение правил обработки экспериментальных данных необходимо начать с изучения видов измерений и их возможных погрешностей (ошибок). Мы будем различать два вида измерений: прямые равноточные и косвенные.

Под прямым измерением понимают непосредственное измерение прибором искомой величины (амперметром – силу тока, вольтметром – напряжения, линейкой – длину и т.д.). Равноточными называются измерения, выполненные в одинаковых условиях:неизменными должны оставаться объекты исследования, используемые приборы, условия и время проведения эксперимента. Их обработка довольно проста и осваивается всеми без исключения студентами. Однако, «счастливые» случаи прямых измерений редко встречаются в лабораториях физики, чаще всего приходится измерять сопутствующие величины, подставлять полученные значения в формулу и вычислять искомую физическую величину. Такие измеренияназываются косвенными.

Независимо от вида измерений различают следующие погрешности: 1) случайные; 2) систематические; 3) грубые промахи.

Случайные погрешности – это ошибки, которые имеют вероятностный характер, их величину и знак предсказать заранее и контролировать невозможно. Именно случайностью их появления определяется разброс данных около некоторого среднего значения измеряемой величины. Избавиться от этого вида погрешностей нельзя. На практике во многих случаях бывает достаточно обработать только эти ошибки, что позволяет существенно облегчить расчёты.

Систематические ошибки – это погрешности, которые проявляются от измерения к измерению одинаковым образом. Например, при измерении ускорения свободного падения g с помощью математического маятника не учитывают силу трения. Её влиянием действительно можно пренебречь, если подвешенное на нити тело достаточно мало и при этом обладает значительной массой. При использовании тел с малым весом пренебрежение работой силы трения приведёт к систематическому завышению каждого измеренного периода колебаний и, как следствие, занижению среднего значения g. От систематических ошибок следует избавляться, устраняя причину их появления или корректируя расчетную формулу, если причина неустранима. Одним из важнейших видов систематической ошибки является инструментальная погрешность - следствие неточности изготовления измерительных приборов. Эту ошибку можно исключить, превратив в случайную, просто производя каждое новое измерение идентичными, но разными инструментами (что не всегда возможно по экономическим причинам). Под инструментальной ошибкой понимают максимально возможную неточность исправного прибора, которая определяется классом точности указанным на циферблате предприятием изготовителем измерительных инструментов. Класс точности большинства приборов равен максимально возможной относительной погрешности прибора, выраженной в процентах от величины верхнего предела шкалы (класс точности, обведённый в кружок, показывает относительную погрешность прибора в процентах от измеренного значения). Его значение маркируется в виде числа в нижней части шкалы прибора. Гостом установлены следующие классы точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 .

Обозначим класс точности . Исходя из определения,

,

где - максимально возможная абсолютная приборная погрешность измерения, - величина верхнего предела шкалы измерительного прибора.

,

а максимальная относительная приборная погрешность i-го измерения вычисляется по формуле

(%) .

Так, например, у вольтметра класса точности 0,2, предназначенного для измерения напряжения до = 300В, максимальная относительная приборная погрешность у верхнего предела измерений равна 0,2%, что соответствует абсолютной ошибке = 0,6В. При измерении меньшего напряжения = 5В максимальная относительная погрешность возрастаетдо величины 12% [(0,6В / 5В) * 100% = 12%] (абсолютная ошибка не меняется). Следовательно, измерения в начальной части шкалы нежелательны.

Если класс точности не указан, то за инструментальную погрешность принимают половину цены деления прибора (у приборов оснащённых нониусом за инструментальную погрешность принимают цену деления - штангенцуркуль, микрометр). [Совет – если вы не разобрались, что такое класс точности и зачем он нужен, не паникуйте!!! Примите за инструментальную погрешность цену деления прибора.]

Грубыми промахами называются ошибки, связанные с нарушением методики проведения эксперимента. Иначе говоря, это результаты измерений не имеющие отношения к проводимому эксперименту («любимый» студентами вид ошибок). Причина их возникновения, как правило, «человеческий фактор» (неправильно записали измеренное число, недостаточно изучили технологию проведения измерений и т.д.). Такие данные необходимо исключать из рассмотрения как будто их никогда не было. Но при этом возникает вопрос: А как определить является ли подозрительное измерение(я) грубым промахом? В общем случае ответ на этот вопрос требует проведения анализа полученных результатов и вызывает затруднения у студентов. Простое правило позволяет избежать многих неприятностей. Возникли сомнения - проведите повторное измерение!

Пример 1: при измерении в одинаковых условиях времени падения шарика в вязкой среде были получены следующие результаты: 5,13с.; 5,17с.; 5,23с.; 5,09с.; 5,24с.; 7,01с. Легко заметить, что последняя запись резко выделяется из общего ряда. Скорее всего, это промах. Необходимо вычеркнуть его и провести повторное измерение. Существует строгий математический способ определения ошибок подобного рода. Если подозрительное значение отличается от среднего более чем на ( - среднеквадратическое отклонение среднего, смысл этой величины и способ вычисления даны ниже), то считаем его грубой ошибкой и вычеркиваем.

§1

Правильно Неправильно

2. При выборе масштаба необходимо помнить, что масштабы откладываемые по координатным осям должны определятся с учётом погрешностей измерений. Обычное требование - точность построения графика должна быть не ниже точности измерений.

3. На осях координат откладываются равноотстоящие друг от друга деления масштаба так, чтобы было удобно работать с графиком. Значения, полученные в эксперименте, не указываются.

Неправильно

Неудачно

Правильно

4. В конце координатных осей обязательно указываются условные обозначения откладываемых величин и, через запятую, их единицы измерения.

5. Экспериментальные значения величин (точки) отчетливо наносятся вместе с погрешностями - отрезками длиной в доверительный интервал, расположенными параллельно соответствующей оси, в виде: ┼ , │ , ─ , ˥ .

Если при построении кривой в выбранном масштабе доверительные интервалы не видны вдоль обеих осей координат, экспериментальные точки проставляются в виде маленьких кружочков (треугольников и т.д.) с центром в точке, соответствующей экспериментальным данным.

6. Экспериментальная кривая проводится плавно через доверительные интервалы всех или большинства экспериментальных точек так, чтобы экспериментальные точки наиболее близко и равномерно располагались с разных сторон кривой.

Правильно Неправильно

7. Если на графике изображается теоретическая кривая, то указывается формула, по которой она рассчитывается.

8. При изображении нескольких кривых на одном поле графика каждая из них нумеруется или выделяется каким-то другим способом. В свободной части поля даются соответствующие пояснения.

9. График должен содержать надпись, из которой было бы ясно физическое содержание представленной закономерности.

Требования по оформлению отчета

К лабораторной работе

Оформление отчёта по практикуму важнейший этап лабораторной работы, предшествующий её защите. При оформлении необходимо помнить, что проверяющий не осведомлён о вашем богатом внутреннем мире и не подозревает о том, сколько ума, терпения, сил и находчивости вы приложили. Его задача по возможности быстро выяснить насколько правильно вы выполнили задание, а мнение об этом формируется на основании увиденного. Поэтому отчет необходимо оформлять с предельной аккуратностью. Результаты экспериментальных измерений должны быть занесены в таблицу и подписаны преподавателем. Исправления подписанных значений (даже корректором) недопустимы.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

1. Название работы.

2. Краткое изложение цели работы.

3. Перечень приборов и оборудования.

4. Схему установки.

5. Краткое изложение теории метода с выводами рабочих формул.

6. Записи результатов экспериментальных измерений и вычислений, представленные в виде таблиц и графиков (в соответствии с заданием, определенном в методической разработке к лабораторной работе) с указанием единиц измерения и погрешностей.

7. Вывод, содержащий значение измеряемой физический величины записанное в общепринятой форме ( , (%)) и краткие итоги анализа результатов эксперимента (как минимум необходимо оценить достоверность полученных результатов – сравнить с табличными данными, с теорией, с данными других экспериментов, и т.п.).

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

А) Прямые измерения.

1) Несколько раз измерить физическую величину .

2) Сосчитать .

3) Вычислить .

4) Определить и .

5) Найти инструментальную погрешность .

6) Определить полную ошибку .

7) Определить относительную погрешность .

8) Записать ответ: , (%).

Б) Косвенные измерения .

1) Вычислить .

2) Найти .

3) Определить по методике прямых измерений полные и относительные ошибки для каждой из величин, входящих в формулу .

4) Определить относительную погрешность .

5) Сосчитать полную погрешность .

6) Записать ответ: , (%).

В) Обработка косвенных измерений по методике прямых

(применяется если достоверно известно, что доверительный интервал хотя бы одной измеряемой величины в процентном отношении значительно превышает любые инструментальные погрешности)

1) Несколько раз расчитатьфизическую величину .

2) Определить .

3) Вычислить .

4) Определить и .

5) Определить относительную погрешность .

6) Записать ответ: , (%).

Методическое пособие

По обработке результатов

экспериментальных наблюдений

(в помощь студентам младших курсов МГТУ)

Введение

Обработка результатов измерений является важнейшей частью любого физического эксперимента. Студенты и курсанты МГТУ впервые сталкиваются с ней на первом курсе обучения при выполнении лабораторных работ на кафедре физики. Вместе с тем, полноценное понимание того, как это делать правильно, возможно только после усвоения учащимися соответствующих глав математического анализа и теории вероятности, которые, если и предусмотрены учебной программой, излагаются позднее. Данное руководство призвано устранить возникающее противоречие и помочь учащимся на первых этапах обучения.

При проведении физических измерений приходится отвечать на вопросы, имеющие решающее значение при интерпретации полученных данных. Например: насколько достоверны результаты эксперимента?; согласуется ли с ними теоретическая модель изучаемого явления?; насколько статистически надёжен метод измерения?; не происходило ли сбоев в работе приборов? и т.п. Знание истинного значения измеряемой физической величины позволило бы легко ответить на эти и иные важные вопросы. Однако неизбежный статистический разброс фиксируемых измерений в совокупности с погрешностью приборов приводит к тому, что оно оказывается нам недоступным. Поэтому на практике используют среднее значение измеряемой физической величины с указанием интервала (пределов) в котором лежит её истинное значение. Их вычисление важнейшая задача, возникающая в ходе физического практикума.

Изучение правил обработки экспериментальных данных необходимо начать с изучения видов измерений и их возможных погрешностей (ошибок). Мы будем различать два вида измерений: прямые равноточные и косвенные.

Под прямым измерением понимают непосредственное измерение прибором искомой величины (амперметром – силу тока, вольтметром – напряжения, линейкой – длину и т.д.). Равноточными называются измерения, выполненные в одинаковых условиях:неизменными должны оставаться объекты исследования, используемые приборы, условия и время проведения эксперимента. Их обработка довольно проста и осваивается всеми без исключения студентами. Однако, «счастливые» случаи прямых измерений редко встречаются в лабораториях физики, чаще всего приходится измерять сопутствующие величины, подставлять полученные значения в формулу и вычислять искомую физическую величину. Такие измеренияназываются косвенными.

Независимо от вида измерений различают следующие погрешности: 1) случайные; 2) систематические; 3) грубые промахи.

Случайные погрешности – это ошибки, которые имеют вероятностный характер, их величину и знак предсказать заранее и контролировать невозможно. Именно случайностью их появления определяется разброс данных около некоторого среднего значения измеряемой величины. Избавиться от этого вида погрешностей нельзя. На практике во многих случаях бывает достаточно обработать только эти ошибки, что позволяет существенно облегчить расчёты.

Систематические ошибки – это погрешности, которые проявляются от измерения к измерению одинаковым образом. Например, при измерении ускорения свободного падения g с помощью математического маятника не учитывают силу трения. Её влиянием действительно можно пренебречь, если подвешенное на нити тело достаточно мало и при этом обладает значительной массой. При использовании тел с малым весом пренебрежение работой силы трения приведёт к систематическому завышению каждого измеренного периода колебаний и, как следствие, занижению среднего значения g. От систематических ошибок следует избавляться, устраняя причину их появления или корректируя расчетную формулу, если причина неустранима. Одним из важнейших видов систематической ошибки является инструментальная погрешность - следствие неточности изготовления измерительных приборов. Эту ошибку можно исключить, превратив в случайную, просто производя каждое новое измерение идентичными, но разными инструментами (что не всегда возможно по экономическим причинам). Под инструментальной ошибкой понимают максимально возможную неточность исправного прибора, которая определяется классом точности указанным на циферблате предприятием изготовителем измерительных инструментов. Класс точности большинства приборов равен максимально возможной относительной погрешности прибора, выраженной в процентах от величины верхнего предела шкалы (класс точности, обведённый в кружок, показывает относительную погрешность прибора в процентах от измеренного значения). Его значение маркируется в виде числа в нижней части шкалы прибора. Гостом установлены следующие классы точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 .

Обозначим класс точности . Исходя из определения,

,

где - максимально возможная абсолютная приборная погрешность измерения, - величина верхнего предела шкалы измерительного прибора.

,

а максимальная относительная приборная погрешность i-го измерения вычисляется по формуле

(%) .

Так, например, у вольтметра класса точности 0,2, предназначенного для измерения напряжения до = 300В, максимальная относительная приборная погрешность у верхнего предела измерений равна 0,2%, что соответствует абсолютной ошибке = 0,6В. При измерении меньшего напряжения = 5В максимальная относительная погрешность возрастаетдо величины 12% [(0,6В / 5В) * 100% = 12%] (абсолютная ошибка не меняется). Следовательно, измерения в начальной части шкалы нежелательны.

Если класс точности не указан, то за инструментальную погрешность принимают половину цены деления прибора (у приборов оснащённых нониусом за инструментальную погрешность принимают цену деления - штангенцуркуль, микрометр). [Совет – если вы не разобрались, что такое класс точности и зачем он нужен, не паникуйте!!! Примите за инструментальную погрешность цену деления прибора.]

Грубыми промахами называются ошибки, связанные с нарушением методики проведения эксперимента. Иначе говоря, это результаты измерений не имеющие отношения к проводимому эксперименту («любимый» студентами вид ошибок). Причина их возникновения, как правило, «человеческий фактор» (неправильно записали измеренное число, недостаточно изучили технологию проведения измерений и т.д.). Такие данные необходимо исключать из рассмотрения как будто их никогда не было. Но при этом возникает вопрос: А как определить является ли подозрительное измерение(я) грубым промахом? В общем случае ответ на этот вопрос требует проведения анализа полученных результатов и вызывает затруднения у студентов. Простое правило позволяет избежать многих неприятностей. Возникли сомнения - проведите повторное измерение!

Пример 1: при измерении в одинаковых условиях времени падения шарика в вязкой среде были получены следующие результаты: 5,13с.; 5,17с.; 5,23с.; 5,09с.; 5,24с.; 7,01с. Легко заметить, что последняя запись резко выделяется из общего ряда. Скорее всего, это промах. Необходимо вычеркнуть его и провести повторное измерение. Существует строгий математический способ определения ошибок подобного рода. Если подозрительное значение отличается от среднего более чем на ( - среднеквадратическое отклонение среднего, смысл этой величины и способ вычисления даны ниже), то считаем его грубой ошибкой и вычеркиваем.

§1