Закон сохранения импульса и энергии

МЕХАНИЧЕСКИЕ УДАРЫ

АБСОЛЮТНО УПРУГИЙ И НЕУПРУГИЙ УДАРЫ

Механическим ударом называется кратковременное взаимодействие тел, происходящее при столкновениях, в результате которого скорости тел изменяются на конечные величины.

Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их соприкосновения называется линией удара (рис.1).

Рис.1

Если до удара скорости центров масс соударяющихся сил были параллельны линии удара, то удар называется прямым.

Удар называется центральным, если центры масс соударяющихся тел лежат на линии удара (точка С – центр масс первого тела, точка Д центр масс второго тела, рис.1).

При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Существует два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические виды энергии. При таком ударе в течение кратковременного соприкосновения тел происходит их упругая деформация. Кинетическая энергия соударяющихся тел переходит в энергию упругой деформации. При этом возникают упругие силы, возрастающие с увеличением деформации. В момент наибольшего сжатия тел упругие силы максимальны. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями – сохранением полной механической энергии и сохранением полного импульса соударяющихся тел. Время соударения зависит от упругих констант

констант материала тел, их относительной скорости в момент начала удара и от их массы.

Идеально упругих ударов в природе не существует, т.к. всегда часть энергии затрачивается на необратимую деформацию тел и увеличение их внутренней энергии. Однако для некоторых тел, например, стальных шаров, потерями механической энергии можно пренебречь.

Абсолютно неупругим ударом называется такой удар, после которого тела движутся как одно целое, т.е. с одной и той же скоростью. При таком ударе не возникает потенциальной энергии деформации, а кинетическая энергия соударяющихся тел полностью или частично превращаются в их внутреннюю энергию и тела либо покоятся, либо движутся с общей скоростью. Эту скорость можно определить из закона сохранения импульса. При неупругом ударе происходит уменьшение суммарной кинетической энергии соударяющихся тел, т.к. часть её переходит в другие механические формы энергии (внутреннюю, энергию пластических деформаций и т.д.).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УПРУГИЙ И НЕУПРУГИЙ

УДАРЫ ШАРОВ

Цель работы: проверка закона сохранения импульса при упругом и неупругом ударах шаров.

Приборы и принадлежности: прибор для удара шаров, набор стальных и пластилиновых шаров.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Общий вид прибора для изучения столкновения шаров представлен на рис.2. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2 для выравнивания прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплён нижний кронштейн 4 и верхний кронштейн 5. На верхнем кронштейне прикреплены кронштейны 6 и вороток 7, служащий для установки расстояния между шарами. На стержнях 6 помещены передвигаемые держатели 8 с втулками 9, фиксированные при помощи болта 10 и приспособленные к прикреплению подвесов 11. Через подвесы 11 проведены провода 12, подводящие напряжение к подвесам 11, 13, а через них к шарам 14.

Рис.2

На нижнем кронштейне закреплены угольники со шкалами 15, 16, а на специальных направляющих электромагнит 17. После отвинчивания болтов 18,19 электромагнит можно передвигать вдоль правой шкалы и фиксировать высоту его установки. Силу электромагнита можно регулировать воротком 23. Угольники со шкалами также могут передвигаться вдоль нижнего кронштейна. Для измерения их положения отпустить гайки 2, подобрать положение угольников, а затем довинтить гайки. К основанию прибора привинчен микросекундомер 21 (FRM-16), передающий через разъём 22 напряжение к шарам и электромагниту.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Один из шаров выводится из положения равновесия на угол α и отпускается. Происходит удар, шары отскакивают друг от друга (упругий удар). Импульс шаров до столкновения определяется соотношением

, (1)

где - масса ударяющего шара 1;

- его скорость.

По закону сохранения энергии имеем

, (2)

откуда скорость шара 1 к моменту удара о шар 2

(3)

Из рис.2 (4)

где - угол отклонения 1-го шара.

Подставляя это значение в формулу (3) получим

, (5)

где l- длина подвеса;

R- радиус шара.

Импульс шаров после столкновения определяется по формуле

, (6)

где m₂- масса ударяемого шара 2;

- скорость первого шара после удара;

- скорость второго шара после удара.

Скорости и определяются по формуле

; , (7)

где - угол отклонения первого шара после удара;

- угол отклонения второго шара после удара.

На основании второго закона Ньютона применительно к удару имеем

, (8)

где - средняя сила удара;

- время удара, т.е. время соприкосновения ударяющихся тел;

m - масса одного из соударяющихся тел (другое считаем неподвижным);

- изменение скорости, возникшее в результате удар.

Если ударяющий шар 1 после соударения остаётся в покое ( =0), то = - . Тогда формулу (8) можно переписать в виде

,

где τ= - время удара. Отсюда

. (9)

При известной массе шаров среднюю силу удара можно вычислить, зная скорость шара в момент, непосредственно предшествующий соударению, и время соударения τ.

При неупругом столкновении импульс шаров после удара определяется по формуле

. (10)

Общая скорость шаров после неупругого удара определяется формулой

, (11)

где - угол отклонения шаров после удара.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. Проверка закона сохранения импульса при упругом ударе шаров и определение средней силы их соударения.

1. Произвести корректировку осевой установки шаров регулировочными винтами 10 и винтами подвесов 11. Привести шары в соприкосновение, вращая вороток 7.

2. Включить установку и нажать клавишу «Сеть».

3. Отвести на угол правый шар в сторону электромагнита, удерживая его в этом положении отжатием клавиши «Пуск».

4. Нажать клавишу «Сброс».

5. Отключить электромагнит нажатием клавиши «Пуск», измерить углы отклонения шаров и после первого столкновения.

6. Записать время соударения шаров, зафиксированное на табло.

7. Измерения углов и времени произвести не менее 5 раз, результаты занести в табл.1.

8. Измерить радиус шара ( ) см, l₀- задана.

9. Масса шаров дана ( ) г.

10. По формулам (5), (7) определить средние значения скорости шаров до и после удара.

11. По формуле (9) рассчитать среднюю силу соударения шаров.

12. Вывести формулы для абсолютной и относительной погрешностей определяемых величин.

13. Вычислить эти погрешности.

14. Окончательный результат представить в виде

, м/с

, м/с

, м/с

, Н

15. Сравнить импульсы значения шаров до и после удара по формулам (1), (6) и сделать выводы.

Таблица 1

Номер по п/п	, град	, град	, град	, см	, см/с	, см/с	, см/с	, см/с	, см/с	, см/с	τ, с
1.
2.
3.
4.
5.
Сред. знач.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое упругий и неупругий удары?

2. Сформулировать закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

3. Почему к явлению удара можно применить закон сохранения импульса и механической энергии?

4. Какие законы справедливы для упругого и неупругого ударов шаров? Напишите.

5. По какой формуле определяются скорости шаров при упругом и неупругом ударах?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТРЕНИЯ-КАЧЕНИЯ

Цель работы: используя закон сохранения энергии, определить коэффициент трения-качения

Приборы и принадлежности: наклонная плоскость, электросекундомер, измерительная линейка, штангенциркуль, цилиндры

ВВЕДЕНИЕ

Качение является важным видом движения в современных механизмах, поскольку, например, в подшипниках качения оно позволяет заменить трение скольжения много меньшим трением качения. Поэтому представляет интерес изучение качения и потерь механической энергии в этом виде движения.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При качении цилиндра без скольжения всегда имеет место переход механической энергии в тепловую. Цилиндр, катящийся по ровной горизонтальной плоскости без скольжения, постепенно останавливается. При качении цилиндра плоскость деформируются под действием силы, прижимающей цилиндр к плоскости (рис. 1а). Если эти деформации упруги, то силы взаимодействия между цилиндром и плоскостью будут симметричны относительно вертикальной плоскости аb, проходящей через ось цилиндра; каждой силе f соответствует равная сила f ‘ на симметрично расположенном участке поверхности соприкосновения.

Результирующая всех сил упругой деформации поверхности качения будет вертикальная и момент этих сил относительно оси цилиндра будет равен нулю.

Поэтому силы упругих деформаций цилиндра и плоскости при качении не скажутся на скорости качения, и движение будет происходить так, как будто никаких деформаций не было.

Следовательно, для объяснения трения-качения следует считать деформации цилиндра и плоскости качения неупругими, что, конечно, фактически всегда имеет место. Для окончательного суждения не важно, что деформируется - цилиндр или плоскость, или то и другое вместе. Поэтому для простоты рассуждений будем предполагать, что цилиндр не деформируется, а только поверхность качения имеет некоторые остаточные деформации Очевидно, что силы, действующие на цилиндр со стороны плоскости качения, уже не будут симметричны относительно плоскости ab (рис. 1б). Поэтому равнодействующая этих сил имеет горизонтальную составляющую, момент равнодействующей этих сил относительно оси цилиндра также не равен нулю, причем он противодействует вращению. Горизонтальная составляющая является частью полной силы сцепления (силы трения покоя) цилиндра с плоскостью. Сила сцепления по своей природе аналогична силе трения-

скольжения: при отсутствии проскальзывания цилиндра она может принимать любое направление и величину и достигает максимального значения, пропорционального реакции опоры.

Рис. 1.

Чтобы получить момент, направленный против вращения цилиндра, точка приложения вертикальной составляющей силы должна быть смещена по направлению движения цилиндра на некоторое расстояние k от вертикальной плоскости аb ( рис. 2). Тогда момент силы относительно оси цилиндра будет равен:

М = k × N (1)

где N – нормальная реакция опоры.

и направлен против вращения. Величину k называют коэффициентом трения-качения. В системе СИ k измеряется в метрах. Опыт показывает, что величина k в известных пределах не зависит от скорости качения и радиуса цилиндра, а определяется свойствами материала цилиндра и плоскости.

Рис. 2

Вычислим работу сил и при движении цилиндра без проскальзывания В отличие от материальной точки для протяженных тел работа силы складывается из ее работы по перемещению центра масс и работы момента этой силы по закручиванию тела относительно оси, проходящей через центр масс. Работа постоянного момента силы М равна:

(2)

где - угол поворота тела. Знак "плюс" или "минус" выбирается в зависимости от того совпадает или нет направление силы с направлением вращения, т.к. , то полная работа силы N равна работе ее момента М = k × N:

(3)

Угол поворота ,

где S - путь, пройденный цилиндром;

R - радиус цилиндра.

Т.к. момент силы сцепления равен (рис. 2):

(4)

то ее работа

(5)

Таким образом, сила сцепления не совершает работы. Момент силы N совершает работу, равную

,

которая расходуется на свершение не упругих деформаций и в конечном счете превращается в тепло. Эта работа называется работой трения-качения.

При скатывании цилиндра по наклонной плоскости его потенциальная энергия (см. рис.3) переходит в кинетическую и частично идет на выполнение работы трения-качения. На основании закона сохранения энергии имеем:

(6)

где - работа трения-качения:

- кинетическая энергия цилиндра в

конце движения по наклонной плоскости, складывающаяся из энергии движения его центра масс и энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс

где - угловая скорость вращения,

I- момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс.

Так как цилиндр катится без проскальзывания, то , при движении по наклонной плоскости N = mgcos . Подставляя полученные выражения в закон сохранения энергии (6), после некоторых преобразований получим:

(7)

Поскольку цилиндр движется с постоянным ускорением а, то из уравнений равноускоренного движения и находим, что , где t - время движения цилиндра.

Подставляя полученнoе выражение для скорости в уравнение (7), и выражая из него значение k , окончательно получим:

(8)

Момент инерции цилиндра вычисляется по формулам:

1. Для сплошного однородного цилиндра

1. Для тонкостенного цилиндра

1. Для толстостенного цилиндра

Подставив любое значение I в формулу (8) видим, что k

определяется выражением, в котором масса цилиндра отсутствует,

остальные величины легко определяются экспериментально.

Для измерения времени в работе используется автоматическая система (см. рис. 4). Пуск цилиндра осуществляется с помощью защелки 3₁, которая одновременно с пуском замыкает ключ К₁, если ключ К₂ включен, электросекундомер (Э.С.) начинает отсчитывать время. При ударе о нижнюю планку К₂ размыкается, отсчет времени прекращается.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить действия автоматической системы определения времени.

2. Установить наклонную плоскость так, чтобы начальная высота цилиндра была равной 20 - 30 см.

3. Измерить начальную высоту h₁, т.е. высоту перед пуском, и конечную высоту h₂ цилиндра относительно стола, т.е. высоту в момент остановки, и определить высоту опускания h = h₁ - h₂. Произвести измерения h₁ и h₂ дважды. Второй раз для контроля, а не для обработки результатов.

Результат записать в виде

Р = 0,95

где - интуитивно определенная погрешность.

4. Аналогично оценить расстояние l , т. е. путь, пройденный цилиндром.

5. Измерить не менее 5 раз время скатывания цилиндра t. Результаты обработать и оформить в виде таблицы 1.

6. Подставляя в выражение (8) формулу для момента инерции соответствующего цилиндра рассчитывают значение k.

№	ti	ti	( ti)2		Надежность Р и коэффициент Стьюдента t
	tср =	tпр =

7. Относительную погрешность коэффициента трения-качения можно вычислить по готовой формуле (см. стенд в лаборатории).

8. Вычислить абсолютную погрешность коэффициента трения-качения.

9. Записать окончательный результат:

Р = 0,95

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое кинетическая и потенциальная энергия?

2. Как определяется работа при вращательном и поступательном движении твердого тела?

3. В чем заключается физический смысл механической работы?

4. Какие системы тел называются консервативными и диссипативными?

5. Запишите закон сохранения энергии при некотором перемещении

тела в диссипативной и консервативной системе.

6. Каковы границы применимости закона сохранения механической энергии?

7. Какие виды трения Вы знаете?

8. Какова их природа?

9. Что такое явление застоя?

10. Укажите силы, действующие на тело при движении его по наклонной плоскости.

11. Выведите расчетную формулу для коэффициента трения-качения.

ЗАКОНЫ КИНЕМАТИКИ