Ведущий специалист издательства Е.М.Сякерская

МЕХАНИКА

Практикум по физике

Учебное пособие

Издательство

Иркутского государственного технического университета

УДК 53 (076.5)

Рецензенты:

кафедра общей физики физического факультета Иркутского государственного университета (зав. кафедрой д-р. ф-м. н., профессор А.Д.Афанасьев);

профессор Иркутского института инженеров транспорта, д-р. ф-м. н., член-корр. РМА Н.Н.Климов

Ведущий специалист издательства Е.М.Сякерская

Коновалов Н.П., Филатова Л.С., Васильев М.Б., Рябцева Г.Г.,

Николаева М.З., Созинова Т.В.

Практикум по физике. Механика: Учебное пособие. Издание второе исправленное. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010. - 136 с., ил.

Учебное пособие содержит общие положения по организации лабораторного практикума по курсу физики, руководство по математической обработке результатов эксперимента, сведения об основных понятиях, определениях, законах классической механики, описание методики и техники выполнения экспериментальных заданий. Предназначено для студентов технических вузов.

ISBN © Н.П. Коновалов, Л.С. Филатова,

М.Б. Васильев, Г.Г. Рябцева,

М.З. Николаева, Т.В. Созинова, 2001

© Иркутский государственный

технический университет, 2010

Список обозначений

t - время; r - радиус-вектор; x, y, z - декартовы координаты; s - криволинейная координата, путь; v - вектор скорости; vx,vy,vz - составляющие вектора скорости; vx, vy, vz - проекции вектора скорости; a- вектор ускорения; ax, ay,az - составляющие вектора ускорения; ax, ay, az - проекции вектора ускорения; an, at,- нормальная и тангенциальная составляющие вектора ускорения; an, at, - модули нормального и тангенциального ускорений; j - угловая координата, угол поворота; N - число оборотов; w - псевдовектор угловой скорости; w - проекция угловой скорости на ось вращения; n - частота вращения; T - период вращения; e - псевдовектор углового ускорения; e - проекция углового ускорения на ось вращения, относительная погрешность; F - сила; M - момент силы; р - импульс;

L - момент импульса; Wk - кинетическая энергия; Wp - потенциальная энергия; W - полная механическая энергия; A - механическая работа; k - коэффициент упругой силы; m - коэффициент трения; G - гравитационная постоянная, модуль сдвига; Е - модуль Юнга D - модуль кручения; L, l - длина; a1, a2, a3 ... ai - измеряемые величины, а0 - истинное значение измеряемой величины; S - среднеквадратичная погрешность; Dа - абсолютная погрешность измеряемой величины; f(a) - плотность вероятности; Р - доверительная вероятность; sН - параметр функции распределения; N, n - число измерений; Dаси - абсолютная систематическая погрешность; Dасл - абсолютная случайная погрешность.

Обратите внимание, что полужирным шрифтом набраны векторы.
Оглавление

Общие положения по организации лабораторного практикума………..
1.	Задачи лабораторного практикума ..............................................……..
2.	Порядок проведения лабораторной работы ..................................…..
	2.1.	Подготовка к лабораторной работе............................................…
	2.2.	Порядок допуска к выполнению лабораторной работы...........….
	2.3.	Порядок выполнения лабораторной работы............................…...
	2.4.	Порядок отчетности по лабораторной работе..........................…...
3.	Инструкция по технике безопасности в лабораториях физики.....
Обработка результатов эксперимента..........................................................
1.	Измерения и погрешности измерений.............................................…
2.	Расчет погрешности прямых измерений........................................…
	2.1.	Элементы математической статистики.......................................…
	2.2.	Расчет и случайной погрешности ..............................................…
	2.3.	Учет систематических погрешностей......................................…...
3.	Обработка результатов косвенных измерений .............................…
	3.1.	Постановка задачи....................................................................…...
	3.2.	Метод приращения функции..........................................................
	3.3.	Метод частных производных....................................................…..
	3.4.	Метод логарифмирования функции.........................................…..
	3.5.	Сравнительная оценка погрешностей........................................….
4.	Общие рекомендации по оформлению лабораторных работ ........
	4.1.	Рекомендации по разработке формы таблиц измерений..............
	4.2.	Построение графиков..................................................................…
	4.3.	Форма представления результата...............................................…
	4.4.	Содержание отчета......................................................................…
	4.5.	Пример оформления отчета........................................................…
5.	Контрольные вопросы........................................................................
Теоретические сведения.............................................................................
1.	Кинематика...........................................................................................
	1.1.	Основные понятия раздела “Кинематика”.........................…......
	1.2.	Определения кинематических величин.................................…...
	1.2.1.	Положение и перемещение материальной точки.........................
	1.2.2.	Скорость...................................................................................…..
	1.2.3.	Ускорение.......................................................................................
	1.3.	Кинематика вращательного движения.....................................…
	1.3.1.	Положение точки при ее движении по окружности....................
	1.3.2.	Угловая скорость...........................................................................
	1.3.3.	Угловое ускорение.........................................................................
	1.3.4.	Связь между линейными и угловыми величинами.....................
2.	Законы динамики................................................................................
	2.1.	Основные определения..................................................................
	2.1.1.	Физические величины, характеризующие модели объектов......
	2.1.2.	Физические величины, характеризующие воздействие на объект.............................................................................................
	2.2.	Законы сил.....................................................................................
	2.2.1.	Силы тяготения..............................................................................
	2.2.2.	Силы упругости.............................................................................
	2.2.3.	Деформация растяжения и сжатия...............................................
	2.2.4.	Деформация сдвига.......................................................................
	2.2.5.	Деформация кручения...................................................................
	2.2.6.	Силы трения...................................................................................
	2.3.	Законы динамики..........................................................................
	2.3.1.	Законы Ньютона............................................................................
	2.3.2.	Уравнение движения центра масс................................................
	2.3.3.	Уравнение динамики вращательного движения.........................
	2.3.4.	Законы динамики в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции..........................................................................................
	2.3.5.	Земля как неинерциальная система отсчета. Сила тяжести........
3.	Законы сохранения............................................................................….
	3.1.	Основные понятия.........................................................................
	3.2.	Определения физических величин...............................................
	3.2.1.	Работа.............................................................................................
	3.2.2.	Работа при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси..
	3.2.3.	Энергия..........................................................................................
	3.2.4	Импульс и момент импульса.........................................................
	3.3.	Формулировки законов.................................................................
	3.3.1.	Теорема о кинетической энергии..................................................
	3.3.2.	Закон изменения механической энергии......................................
	3.3.3.	Закон сохранения механической энергии....................................
	3.3.4.	Закон изменения импульса...........................................................
	3.3.5.	Закон сохранения импульса..........................................................
	3.3.6.	Закон изменения момента импульса ...........................................
	3.3.7.	Закон сохранения момента импульса...........................................
	3.4.	Удар................................................................................................
	3.4.1.	Абсолютно упругий удар..............................................................
	3.4.2.	Абсолютно неупругий удар...........................................................
Лабораторные работы.....................................................................
1.	Изучение функции распределения случайных величин.........
	Лабораторная работа 1. Экспериментальное определение функции распределения плотности вероятности результатов измерений.........
2.	Законы динамики......................................................................……..
	Лабораторная работа 2-1,а. Проверка основного закона динамики вращательного движения............................................………………..
	Лабораторная работа 2-1,б. Проверка основного закона динамики вращательного движения...................................................……………
	Лабораторная работа 2-2. Определение момента инерции махового колеса динамическим методом....................................…….………….
	Лабораторная работа 2-3. Определение момента инерции маятника Максвелла......................................................................……………….
3.	Законы сохранения....................................................................……..
	Лабораторная работа 3-1. Определение момента инерции твердого тела методом колебаний....……………………............……………….
	Лабораторная работа 3-2. Определение скорости полета пули с помощью баллистического маятника.................................…......….
	Лабораторная работа 3-3. Определение скорости полета пули с помощью крутильного баллистического маятника....................…..
	Лабораторная работа 3-4. Изучение упругого и неупругого ударов..
4.	Гравитационное поле Земли. Ускорение свободного падения....
	Лабораторная работа 4-1. Определение ускорения свободного падения методом катающегося шарика......................................……..
	Лабораторная работа 4-2. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника........................…….
	Лабораторная работа 4-3. Определение ускорения свободного падения с помощью физического маятника...............................……..
5.	Изучение упругих свойств твердых тел..................................……
	Лабораторная работа 5-1. Определение модуля упругости из растяжения проволоки на приборе Лермантова....................………..
	Лабораторная работа 5-2. Определение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний.................................…………..
	Лабораторная работа 5-3. Определение модулей кручения и сдвига методом крутильных колебаний......................................…………….
Библиографический список..........................................................

Общие положения

Подготовка к лабораторной работе

Подготовка к лабораторной работе направлена на:

§ осознание цели выполнения работы;

§ изучение теоретических основ изучаемого явления, процесса, механизма, системы и т.д.;

§ изучение содержания метода или техники эксперимента.

До лабораторного практикума необходимо выполнить следующее:

1) узнать номер и название выполняемой лабораторной работы;

2) ознакомиться с методическими указаниями к лабораторной работе;

3) списать контрольные вопросы из методических указаний или со стенда;

4) подготовить письменно краткие ответы на контрольные вопросы с помощью рекомендуемой литературы;

5) сделать заготовку для отчета в соответствии с требованиями к его форме и содержанию. Форма отчета к началу занятия должна содержать титульный лист, цель работы, формулу для расчета искомой величины (с пояснением названий входящих в нее величин), схему установки, таблицу измерений и вычислений.

Студент приступает к выполнению лабораторной работы только после собеседования с преподавателем и предоставления отчета по предыдущей работе.

В лабораториях физики

Лаборатории физического практикума предназначены для проведения учебных лабораторных работ.

К работе в лаборатории допускаются студенты, прошедшие инструктаж по технике безопасности с обязательной росписью в журнале инструктажа.

Каждый студент, допущенный к работе, должен быть проинструктирован по конкретному виду работы.

До начала работы каждый студент обязан: получить задание, методическое руководство, инструктаж, ознакомиться с устройством и работой установки, проверить целостность электрической проводки и наличие заземления, доложить преподавателю или лаборанту; только после получения разрешения преподавателя или лаборанта приступать к выполнению лабораторной работы.

Во время работы: к работе на установке допускается не более двух человек; не допускать падения прибора на пол; работать только на той установке, которая предусмотрена данной лабораторной работой; соблюдать правила безопасной работы на электроустановках.

По окончании работы отключить токоприемники от электросети и убрать за собой рабочее место.

При несчастном случаенемедленно отключить установку; оказать первую помощь пострадавшим, пользуясь аптечкой; сообщить преподавателю или лаборанту; доставить пострадавшего в медпункт.

Коэффициенты Стьюдента

Число измерений N	Надежность Р
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99
	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7
	0,82	1,06	1,5	1,9	2,9	4,3
	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	12,9
	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	8,6
	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	6,9
	0,72	0,91	1,1	1,4	1,9	2,4	6,0
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	5,4
	0,71	0,89	1,1	1,4	1,9	2,3	5,0
	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	4,8

Таблица 2

По методу Стьюдента

№	ai		Dai	Dai2	s	P	tPN	Daсл

В колонке 1 указывается номер опыта по порядку (обычно проводится 3-7 измерений).

В колонке 2 записываются значенияизмеряемой величины.

В колонку 3 вносится среднее значение измеряемой величины, рассчитанное по формуле:

. (1)

В колонке 4 представлены отклонения каждогозначения измеряемой величины от среднего:

. (2)

Каждый результат, полученный по последней формуле, возводится в квадрат и заносится в колонку 5.

В колонке 6 следует расположить среднеквадратичную погрешностьs, рассчитанную по формуле:

. (3)

Она характеризует разброс средних значений измеряемой величины. Среднеквадратичная погрешность тем больше, чем сильнее измеренные величины отличаются друг от друга.

В колонку 7 заносится значение доверительной вероятности (или надежности) Обычно достаточно выбрать значение Р = 0,95 (или, что то же самое, 95%).

Коэффициент Стьюдента, учитывающий заданную доверительную вероятность и число измерений t_PN, находится по табл. 1 и располагается в колонке 8.

Случайная погрешность рассчитывается по формуле

Da_сл = t_PN× S (4)

и заносится в колонку 9.

Постановка задачи

Пусть в результате обработки результатов прямых измерений a, b, c получены их средние значения , а также их абсолютные погрешности Da, Db, Dc. Требуется найти наилучшее значение (наиболее близкое к истинному) величины А, связанной с измеряемыми величинами a, b, c функциональной зависимостью (расчетной формулой)

,

а также ее абсолютную и относительную погрешности.

Наиболее близкое к истинному значение величины А (его также называют средним значением) получается при подстановке в расчетную формулу средних значений измеряемой величины:

. (8)

На погрешность величины А влияют погрешности, связанные с измерением каждой из величин a, b, c. Обозначим через DА_а ,DА_b ,DA_c вклады в полную погрешность DА, связанные с погрешностями измерения величин a, b и c соответственно. Методы математической статистики дают следующую формулу для расчета абсолютной погрешности DА косвенно измеренной величины А:

. (9)

Расчет погрешности косвенных измерений можно осуществить различными способами.

Метод приращения функции

Если в расчетную формулу подставить не , а значение, измененное на величину абсолютной погрешности , оставляя прежними остальные величины , то мы получим новое значение величины А, отличающееся от на величину DА_а:

. (10)

Видно, что DА_а, представляет собой приращение функции при приращении аргумента а на величину Da.

Аналогично можно вычислить DА_b иDA_c:

,

.

Полученные значения подставляются в формулу (9).

Этот метод расчета особенно удобен при проведении расчета на компьютере с помощью программ типа Excel.

Пример

Лабораторная работа “Определение момента инерции маховика динамическим методом”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид

.

Измеряемыми величинами являются диаметр вала d, время опускания груза t и высота h. Погрешности в измерении диаметра вала и высоты определяются погрешностями средств измерения. Dd = Dd_п , Dh = Dh_п. Время опускания груза имеет статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся среднее значение и случайная погрешность Dt_сл. Как правило, , поэтому полная погрешность прямых измерений времени .

Прежде всего находится среднее значение момента инерции; в расчетную формулу подставляется среднее значение времени:

.

Затем по той же формуле проводятся вычисления момента инерции со значениями аргументов, измененными на величину погрешности, т.е.

,

,

.

Нахождение вкладов в абсолютную погрешность момента инерции за счет неточности определения диаметра вала, времени падения груза и высоты проводится по формулам

,

,

.

Полная погрешность косвенных измерений

.

Метод частных производных

Приращение функции всегда можно выразить через приращение аргумента, используя определение частной производной. Частной производной функции называют производную этой функции по соответствующему аргументу, когда остальные аргументы считаются фиксированными. В данном случае под функцией понимается рассчитываемая величина А, а под независимыми переменными - измеряемые величины a, b, c. Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости, выражение (10) можно переписать так:

; ; . (11)

Отметим, что производные , , рассчитываются при средних значениях .

Полная погрешность DА получается путем подстановки выражений (11) в формулу (9):

. (12)

Этот метод расчета применяется, если выражения производных значительно проще, чем сама функция (например, если расчетная формула представляет сумму слагаемых, являющихся громоздкими выражениями).

Пример

Лабораторная работа “Определение ускорения свободного падения методом катающегося шарика”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид:

.

Измеряемыми величинами являются время t числа N колебаний, высота h сферического сегмента, измеренная сферометром, расстояние l между ножками сферометра и диаметр шарика d, измеренный штангенциркулем или микрометром. Погрешности в измерении расстояния l и диаметра d определяются погрешностями средств измерения. Dl = Dl_си и Dd = Dd_си. Время колебаний шарика t и высота h имеют статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся средние значения и , а также их случайные погрешности Dt_сл и Dh_сл Как правило, и , поэтому полные погрешности прямых измерений определяются случайными погрешностями: и .

После обработки результатов прямых измерений рассчитывается наилучшее значение ускорения свободного падения; для этого в расчетную формулу подставляются средние значения времени и высоты:

.

Абсолютная погрешность в определении ускорения свободного падения рассчитывается по формуле

,

в которой вклады в полную погрешность находятся через частные производные:

,

,

,

.

Пример

Лабораторная работа “Определение динамического коэффициента вязкости жидкостей методом Стокса”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид

.

Измеряемыми величинами являются время падения шарика t и пройденное им расстояние l. Погрешность в измерении расстояния определяется погрешностью измерительного прибора - линейки:. Dl = Dl_си. Время падения шарика имеет статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находится среднее значение и случайная погрешность Dt_сл. Как правило, , поэтому полная погрешность прямых измерений времени .

После обработки результатов прямых измерений рассчитывается наилучшее значение динамического коэффициента вязкости; для этого в расчетную формулу подставляется среднее значение времени:

.

При применении метода логарифмирования функции вначале рассчитывается относительная погрешность

.

Для нахождения подкоренного выражения прологарифмируем расчетную формулу

и найдем частные производные:

, .

Тогда формула для относительной погрешности примет компактный вид:

.

После этого вычислим абсолютную погрешность

.

Рекомендации по разработке формы таблицы измерений

Результаты измерений обычно оформляются в виде таблицы. Для определения ее структуры следует выполнить следующие действия:

1) записать расчетные формулы;

2) определить число величин, входящих в эти формулы (часть из них измеряется при выполнении лабораторной работы, часть является параметрами установки или физическими постоянными);

3) определить, какие величины измеряются в процессе эксперимента;

4) предусмотреть для постоянной величины одну колонку в таблице, для измеряемой величины - две колонки (для самой величины и погрешности измерительного прибора):

5) в верхние ячейки колонок внести обозначения физических величин и единицы измерения;

6) данные в таблицы записывать в тех единицах, в которых они считываются с измерительных приборов;

7) не следует заполнять все ячейки таблицы: при однократном измерении результат записывается один раз;

8) внизу таблицы указать коэффициенты для перевода данных в систему СИ.

Пример

Расчетная формула в лабораторной работе “Определение момента инерции маховика динамическим методом” имеет вид

.

Измеряемыми величинами являются диаметр вала d, время опускания груза t и высота h, масса груза m не измеряется, ее значение указывается на каждом грузе, ускорение свободного падения g - постоянная величина. Всего следует предусмотреть 8 колонок.

Таблица измерений

m, г	d мм	Ddси мм	t, с	Dtси, с	h, см	Dhси, см	g м/с2
	34,0	0,1	5,41	0,01			9,81
			5,38
			5,45
			5,39
			5,50
10-3кг	10-3м	10-3м			10-2м	10-2м

Подпись преподавателя

Построение графиков

Как правило, графики следует строить на миллиметровой бумаге и затем вклеить или вложить в готовый отчет. Построение графиков нужно проводить в следующей последовательности:

1. Выбрать оси координат.По оси абсцисс откладывается независимая переменная, по оси ординат - зависимая.

2. Ввести обозначения осей координат. Каждая из осей имеет такое же буквенное обозначение, которое было ранее принято для рассматриваемой величины в таблице измерений. После буквенного обозначения через запятую обязательно указываются те единицы измерения, в которых физическая величина представлена на графике.

3. Выбрать масштаб.Выбор масштабов для каждой из осей определяется исключительно тем диапазоном значений переменных, который мы получили в эксперименте. Для каждой оси выбирается свой масштаб. Следите за тем, чтобы на готовом графике не было больших пустующих площадей.

4. Нанести экспериментальные точки. Сначала на график наносятся точки, соответствующие измеренным значениям. Если определена погрешность этих измерений, то она отражается на графике отрезками прямых, отходящих от построенных точек вверх и вниз, что указывает на возможный диапазон колебаний измеренной величины.

5. Построить искомую кривую.Когда все точки нанесены на график, необходимо построить плавную кривую, отражающую функциональную зависимость. Обратите внимание, что кривая строится не точно по точкам, а как некоторый усредненный результат. Поэтому количество точек, лежащих чуть выше кривой, приблизительно равно количеству точек, лежащих чуть ниже ее. Ни в коем случае не рисуйте ломаную линию!

6. Сделать подпись к графику. Подпись к графику может иметь вид “Зависимость величины, которая откладывается по оси ординат, от величины, которая откладывается по оси абсцисс” (например, “Зависимость длины стержня от растягивающей нагрузки”). Кроме того, приемлемы подписи типа “График градуировки монохроматора” или “Анодно-сеточные характеристики триода”.

Пример построения графика

Примеры

Е = ( 8,37 ± 0,05 ) × 10⁸ Н/м²

при доверительной вероятности Р = 0,95, числе измерений N = 3, относительной погрешности e= 1,5 % .

t = ( 10,14 ± 0,13 ) × 10^-6 c

при доверительной вероятности Р = 0,95, числе измерений N = 5, относительной погрешности e= 1,3 % .

Содержание отчета

Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие сведения:

§ фамилию, имя, отчество студента;

§ номер академической группы;

§ название и номер лабораторной работы;

§ цель работы;

§ приборы и принадлежности, используемые в работе;

§ схему установки;

§ расчетнуя формулу с описанием всех входящих в нее величин;

§ таблицу измерений, подписанную преподавателем;

§ обработку результатов прямых измерений;

§ применение расчетной формулы для вычисления среднего значения искомой величины;

§ расчет погрешностей косвенных измерений;

§ графики, если они необходимы;

§ выводы.

4.5. Пример оформления отчета

Титульный лист

Иркутский государственный технический университет

Кафедра физики

Отчет по лабораторной работе 3-2

Методом колебаний

Выполнил студент группы __________ ___________________________

Фамилия, И. О.

“___”______________ ____ г.

Дата выполнения

2. Основная часть

Цель работы: определение момента инерции твердого тела методом колебаний.

Приборы и принадлежности: маховое колесо на неподвижной горизонтальной оси, вспомогательный шарик, штангенциркуль, электрический секундомер, линейка.

Схема установки :

Расчетная формула:

,

где m - масса шарика,

g - ускорение свободного падения;

D - диаметр колеса;

d - диаметр шарика;

N - число колебаний;

t - время N колебаний;

Таблица измерений

m, г	g, м/с2	D см	DDси мм	d мм	Ddси мм	N	t, с	Dtси, с
	9,81	55,0		26,9