Элементы взаимного расположения точек в плоской системе координат. Прямая геодезическая задача.

На плоскости можно измерять углы и расстояния.

Угол фиксируется тремя точками: одна точка - это вершина угла, а две другие точки фиксируют направления 1-й и 2-й сторон угла. В простейшем случае хотя бы одна точка из трех не имеет координат, то-есть, является определяемой; в общем случае определяемыми могут быть одна точка, две точки или все три.

Расстояние фиксируется двумя точками, и в общем случае определяемыми могут быть одна точка или обе.

Рис.2.2

Дирекционный угол α направления AP получается по формуле

В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.

Прямая геодезическая задача - это вычисление координат X₂, Y₂ второго пункта, если известны координаты X₁, Y₁ первого пункта, дирекционный угол α и длина S линии, соединяющей эти пункты.

Для определения координат точки в прямой геодезической задаче обычно применяют формулы:

нахождения приращений:

нахождения координат:

Сущность прямой геодезической задачи по известным координатам точки А (XA,YA) линии A-B, дирекционному углу этой линии Aab и ее горизонтальному проложению Sab требуется определить координаты точки B (XB,YB)

Элементы взаимного расположения точек в плоской системе координат. Обратная геодезическая задача

См. 23.

Геодезическая задача – математического вида задача, связанная с определением взаимного положения точек земной поверхности и подразделяется на прямую и обратную задачу.

Обратная геодезическая задача состоит в том, что по известным координатам конечных пунктов линии АВ вычисляют дирекционный угол и горизонтальное проложение этой линии

Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла α и длины S линии, соединяющей два пункта с известными координатами X₁, Y₁ и X₂, Y₂ (рис.2.5).

В обратной геодезической задаче находят дирекционный угол и расстояние:

1) вычисляют румб по формуле:

2) находят дирекционный угол в зависимости от четверти угла:

четверти:	Первая четверть	Вторая четверть	Третья четверть	Четвертая четверть
знак приращения	+X, +Y	-X, +Y	-X, -Y	+X, -Y
диреционный угол	a = r	a = 180 - r	a = 180 + r	a = 360 - r

3) определяют расстояние между точками:

Геодезическая задача в том и другом виде возникает при обработке полигонометрии и триангуляции, а также во всех тех случаях, когда необходимо определить взаимное положение двух точек по длине и направлению соединяющей их линии или же расстояние и направление между этими точками по их геодезическим координатам.

25. Методы определения координат геодезических пунктов

Геодезический пункт - точка на земной поверхности, положение которой определено в известной системе координат и высот на основании геодезических измерений.

Координаты Г. п. определяют преимущественно методом триангуляции. В этом случае Г. п. называют пунктом триангуляции, или тригонометрическим пунктом.

Геодезическая сеть – это система закрепленных точек земной поверхности, положение которых определено в общей для них системе геодезических координат. Геодезическая сеть бывает 2-х видов: плановая и высотная.

Съемочная сеть является геодезическим обоснованием для производства топографических съемок, а также для выполнения различного рода инженерно-геодезических работ.

Плановые геодезические сети создаются методами триангуляции, полигонометрии и трилатерации.

§ При построении геодезической сети методом триангуляции на местности закрепляют ряд точек, которые в своей совокупности образуют систему треугольников. В треугольниках измеряются все углы и некоторые стороны, которые называются базисными.

§ Метод полигонометрии заключается в построении на местности ломанных линий, называется полигонометрическими ходами. Эти ходы прокладываются обычно между пунктами триангуляции. В полигонометрических ходах измеряются все углы поворота и длины всех сторон.

§ При построении сети методом трилатерации на местности также строится сеть треугольников, в которых при помощи свето- и радиодальномеров измеряются все стороны.

а) триангуляция

б)трилатерация

в)полигонометрия

Высотная геодезическая сеть строится методом геометрического или тригонометрического нивелирования.

Методы триангуляции и полигонометрии давно известны, часто используются для приведения в полевых условиях работ по геодезической съемке и гарантируют точное выполнение проекта строительства, плана или топографической карты. Они в полной мере содействуют в решении поставленных задач и могут применяться совместно для достижения высочайшей точности результата.

Триангуляция

2.3. Понятие о триангуляции.

Триангуляция представляет собой группу примыкающих один к другому треугольников, в которых измеряют все три угла; два или более пунктов имеют известные координаты, координаты остальных пунктов подлежат определению. Группа треугольников образует либо сплошную сеть, либо цепочку треугольников.

В первом треугольнике ABP (рис.2.24) известны координаты двух вершин (A и B) и его решение выполняют в следующем порядке:

Рис.2.24. Единичный треугольник триангуляции

Вычисляют сумму измеренных углов ,

Принимая во внимание, что в треугольнике Σβ = 180о, вычисляют угловую невязку:

Поскольку

то

Это уравнение содержит три неизвестных поправки β и решить его можно лишь при наличии двух дополнительных условий.

Эти условия имеют вид:

откуда следует, что

Вычисляют исправленные значения углов:

Решают обратную задачу между пунктами A и B вычисляют дирекционный угол αAB и длину S3 стороны AB.

По теореме синусов находят длины сторон AP и BP:

Вычисляют дирекционные углы сторон AP и BP:

Решают прямую геодезическую задачу из пункта A на пункт P и для контроля - из пункта B на пункт P; при этом оба решения должны совпасть.

В сплошных сетях триангуляции кроме углов в треугольниках измеряют длины отдельных сторон треугольников и дирекционные углы некоторых направлений; эти измерения выполняются с большей точностью и играют роль дополнительных исходных данных. При уравнивании сплошных сетей триангуляции в них могут возникнуть следующие условия:

· условия фигуры,

· условия суммы углов,

· условия горизонта,

· полюсные условия,

· базисные условия,

· условия дирекционных углов,

· координатные условия.

Формула для подсчета количества условий в произвольной сети триангуляции имеет вид:

где n - общее количество измеренных углов в треугольниках,

k - число пунктов в сети,

g - количество избыточных исходных данных.

Триангуляцию выполняют теодолитами – приборами, позволяющими измерять вертикальные углы. Если с точки А на точку В или с точки В на точку С измерить углы наклона ν и определить горизонтальное проложение d, превышения между этими точками можно вычислить по формуле

h = dtg ν +I – ν – f,

где i- высота теодолита над точкой, ν – высота наведения при измерении угла наклона, f – поправка за кривизну Земли и рефракцию, выбираемая из специальных таблиц. Поправку вводят при расстояниях между точками, больших 300м.

При положительном угле наклона (+ν) превышение будет иметь знак плюс, при отрицательном (-ν) – минус.

Полигонометрия.

Метод полигонометрии заключается в построении на местности ломанных линий, называется полигонометрическими ходами. Эти ходы прокладываются обычно между пунктами триангуляции. В полигонометрических ходах измеряются все углы поворота и длины всех сторон.

Полигонометрия (от греч. polýgonos – многоугольный) – один из методов определения взаимного положения точек земной поверхности для построения опорной геодезической сети служащей основой топографических съёмок, планировки и строительства городов, перенесения проектов инженерных сооружений в натуру и т.п.

Положения пунктов в принятой системе координат определяют методом полигонометрии путём измерения на местности длин линий, последовательно соединяющих эти пункты и образующих полигонометрический ход, и горизонтальных углов между ними. Так, выбрав на местности точки 1, 2, 3, …, n, n + 1измеряют длины s₁, s₂,..., s_n. линий между ними и углы b₂, b₃,..., b_n между этими линиями (см. рис.).

Как правило, начальную точку 1 полигонометрического хода совмещают с опорным пунктом Р_н, который уже имеет известные координаты х_н, у_н и в котором известен также исходный дирекционный угол a_н направления на какую-нибудь смежную точку Р'_н. В начальной точке полигонометрического хода, т. е. в пункте Р_н, измеряют также примычный угол b₁ между первой стороной хода и исходным направлением Р_нР’_н. Тогда дирекционный угол a_i стороны i и координаты x_i+1, y_i+1 пункта i + 1 полигонометрического хода могут быть вычислены по формулам:

a_i = a_н + åⁱ_r=1b_r - i 180°

x_i+1 = х_н + åⁱ_r=1s_rcosa_r

y_i+1 = у_н + åⁱ_r=1s_rsina_r.

Для контроля и оценки точности измерений в полигонометрическом ходе его конечную точку n + 1 совмещают с опорным же пунктом P_k, координаты x_k, y_k которого известны и в котором известен также дирекционный угол a_k направления на смежную точку P'_k. Это даёт возможность вычислить т. н. угловую и координатные невязки в полигонометрическом ходе, зависящие от погрешностей измерения длин линий и углов и выражающиеся формулами:

f_a = a_n+1 - a_k,

f_x = x_n+1 - x_k,

f_y = y_n+1 - y_k.

Эти невязки устраняют путём исправления измеренных углов и длин сторон поправками, которые определяют из уравнивания по методу наименьших квадратов.

При значительных размерах территории, на которой должна быть создана опорная геодезическая сеть, прокладываются взаимно пересекающиеся полигонометрические ходы, образующие полигонометрическую сеть (рис. 2).

Полигонометрическая сеть

Пункты полигонометрии закрепляются на местности закладкой подземных бетонных монолитов или металлических труб с якорями и установкой наземных знаков в виде деревянных или металлических пирамид.

Трилатерация

Трилатерация представляет собой сплошную сеть примыкающих один к другому треугольников, в которых измеряют длины всех сторон; два пункта, как минимум, должны иметь известные координаты (рис.2.25).

Решение первого треугольника трилатерации, в котором известны координаты двух пунктов и измерены две стороны, можно выполнить по формулам линейной засечки, причем нужно указывать справа или слева, от опорной линии AB располагается пункт 1. Во втором треугольнике также оказываются известными координаты двух пунктов и длины двух сторон; его решение тоже выполняется по формулам линейной засечки и так далее.

Рис.2.25. Схема сплошной сети трилатерации

Можно поступить и по-другому: сначала вычислить углы первого треугольника по теореме косинусов, затем, используя эти углы и дирекционный угол стороны AB, вычислить дирекционные углы сторон A₁ и B₁ и решить прямую геодезическую задачу от пункта A на пункт 1 и от пункта B на пункт 1.

Таким образом, в каждом отдельном треугольнике «чистой» трилатерации нет избыточных измерений и нет возможности выполнить контроль измерений, уравнивание и оценку точности; на практике кроме сторон треугольников приходится измерять некоторые дополнительные элементы и строить сеть так, чтобы в ней возникали геометрические условия.

29. Космические методы определения координат.

Космическая геодезия, являющаяся в настоящее время одной из основных составляющих геодезической науки, открыла принципиально новые возможности в развитии естествознания.

Запуск 4 октября 1957 г. первого искусственного спутника Земли и дальнейшее развитие ракетно-космической техники позволили решать задачи определения формы, размеров Земли и ее гравитационного поля в планетарном масштабе.

Технологическое развитие последних лет стало предпосылкой в создании высокоэффективных спутниковых систем для целей навигации и определения положения, которые можно использовать в геодезических целях.

Для решения геодезических задач, когда необходимо получать координаты точек с высокой точностью, используют относительные измерения, при которых дальности до спутников определяют фазовым методом, и по ним вычисляют приращения координат или вектора между станциями, на которых установлены спутниковые приемники.

Различают два основных способа относительных измерений: статический и кинематический.

При статическом позиционировании приемники работают одновременно на двух станциях — базовой с известными координатами и определяемой.

После окончания измерений выполняется совместная обработка информации, собранной двумя приемниками.

Кинематические измерения позволяют получать координаты точек земной поверхности за короткие промежутки времени. При этом вначале статическим способом определяют координаты первой точки, т. е. выполняют привязку подвижной станции к базовой, называемую инициализацией, а затем, не прерывая измерений, передвижной приемник устанавливают поочередно на вторую, третью и т. д. точки. Для контроля измерения завершают на первой точке либо на пункте с известными координатами, где выполняют статические наблюдения.

Космическая геодезия - раздел геодезии, в котором изучаются методы определения взаимного положения точек на земной поверхности, размеров и фигуры Земли,

Космическая геодезия рассматривает теорию и методы решения научных и практических задач на земной поверхности по наблюдениям небесных тел (Луна, Солнце, ИСЗ) и по наблюдениям Земли из космоса.

Космическая геодезия включаетв себя глобальные навигационные системы, являющиеся основой применяемых в настоящее время координатных систем, и системы космического дистанционного зондирования многоцелевого назначения, используемые для мониторинга поверхности Земли.

30. Спутниковые методы определения координат.

Наблюдения спутников с помощью специальных спутниковых фотографических камер из пунктов, расположенных далеко друг от друга, из разных странах и даже на разных материках, дают возможность вычислить расстояния между этими пунктами, определить их взаимное положение на земной поверхности.

Задачи спутниковой геодезии подразделяются на геометрические и динамические.

Геометрические задачи решаются на основе одновременных (синхронных) наблюдений спутников с двух или более станций.

В результате решения этих задач строятся сети космической триангуляции, подобные сетям триангуляции, создаваемым классическими (наземными) методами.

Наряду с фотографическими камерами в спутниковой геодезии все более широкое применение находят лазерные спутниковые дальномеры, позволяющие с высокой точностью измерять расстояния до спутников.

Научно-технический прорыв последних лет - спутниковые системы позиционирования, ССП (Global Positioning System, GPS, GPS-system) - технологические комплексы, предназначенные для позиционирования объектов на поверхности Земли. GPS-системы позволяют отслеживать координаты (и их изменение) даже быстродвижущихся объектов.