Критерии исключения грубых погрешностей

При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.

Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения х, не содержит грубой погрешности, т.е. является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погрешность и его исключают.

Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью q (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений.

Критерий "трех сигм" применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q < 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |х̅ -х_i| > 3S_x , где S_x — оценка СКО измерений. Величины х и S_x вычисляют без учета экстремальных значений x_i. Данный критерий надежен при числе измерений n > 20... 50.

Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение |(х̅ - x_i)/S_X| = b и сравнивается с критерием b_т, выбранным по табл. 7.1. Если b ³ b_т, то результат х_i считается промахом и отбрасывается.

Пример 7.1. При диагностировании топливной системы автомобиля результаты пяти измерений расхода топлива составили: 22, 24, 26, 28, 30 л на 100 км. Последний результат вызывает сомнение. Проверить по критерию Романовского, не является ли он промахом.

Найдем среднее арифметическое значение расхода топлива и его СКО без учета последнего результата, т.е. для четырех измерений. Они соответственно равны 25 и 2,6 л на 100 км.

Поскольку n < 20, то по критерию Романовского при уровне значимости 0,01 и n = 4 табличный коэффициент b_т = 1,73. Вычисленное для последнего, пятого измерения b = |(25 – 30)|/2,6 = 1,92 > 1,73 .

Критерий Романовского свидетельствует о необходимости отбрасывания последнего результата измерения.

Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n> 20). Тогда по теореме Бернулли [56] число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину К_ШS_x, будет n[l - Ф(К_Ш)], где Ф(К_Ш) — значение нормированной функции Лапласа для X = К_Ш. Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то n[1-Ф(К_ш)] = 1. Отсюда Ф(К_Ш) = (n -1)/n.

Значения критерия Шарлье приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.1

Значения критерия Романовского

q	n =4	n = 6	n = 8	n = 10	n = 12	n = 15	n = 20
0,01	1,73	2,16	2,43	2,62	22,75	2,90	3,08
0,02	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
0,05	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
0,10	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

Таблица 7.2

Значения критерия Шарльe

п
Кщ	1,3	1,65	1.96	2,13	2,24	2,32	2,58

Таблица 7.3

Значения критерия Диксона

n	Zq при q, равном
0,10	0,05	0,02	0,01
	0,68	0,76	0,85	0,89
	0,48	0,56	0,64	0,70
	0,40	0,47	0,54	0,59
	0,35	0,41	0,48	0,53
	0,29	0,35	0,41	0,45
	0,28	0,33	0,39	0,43
	0,26	0,31	0,37	0,41
	0,26	0,30	0,36	0,39
	0,22	0,26	0,31	0,34

Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство |х_i - х̅| > К_ШS_x .

Вариационный критерий Диксона удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд х₁, х₂, . . ., x_n (x₁ < х₂ < . . .< х_п). Критерий Диксона определяется как К_Д = (х_n - x_n-1/(x_n –x₁). Критическая область для этого критерия Р(К_Д > Z_q) = q. Значения Z_f( приведены в табл. 7.3 [56].

Контрольные вопросы

1. Что такое грубые погрешности и промахи? Как определить их присутствие в выборке по виду закона распределения или гистограмме?

2. Расскажите о критерии "трех сигм" и его модификациях.

3. Как применить критерий Романовского для исключения из выборки промахов?

4. В чем суть критерия Шарлье?

5. Расскажите об использовании вариационного критерия Диксона для нахождения промахов.

Глава 8. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗМЕРЕНИЙ

Прямые многократные измерения

Равноточные измерения

Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Теоретические основы и методика объединения результатов неравноточных измерений подробно рассмотрены в [3]. Равно точными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той же методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях СКО результатов всех рядов измерений равны между собой.

Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость изменений часто оценивают интуитивно на основе длительных наблюдений. Однако существуют математические методы решения поставленной задачи — так называемые методы проверки однородности [3].

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение.

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов измерений x₁, х₂, х._г,..., х_n, из которых исключены известные систематические погрешности, — выборка. Число n зависит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения.

Однократные измерения

Прямые многократные измерения в большей мере относятся к лабораторным измерениям. Для производственных процессов более характерны однократные измерения. Однократные прямые измерения являются самыми массовыми и проводятся, если: при измерении происходит разрушение объекта измерения, отсутствует возможность повторных измерений, имеет место экономическая целесообразность. Эти измерения возможны лишь при определенных условиях:

• объем априорной информации об объекте измерений такой, что модель объекта и определение измеряемой величины не вызывают сомнений;

• изучен метод измерения, его погрешности либо заранее устранены, либо оценены;

• средства измерений исправны, а их метрологические характеристики соответствуют установленным нормам.

За результат прямого однократного измерения принимается полученная величина. До измерения должна быть проведена априорная оценка составляющих погрешности с использованием всех доступных данных. При определении доверительных границ погрешности результата измерений доверительная вероятность принимается, как правило, равной 0,95.

Составляющими погрешности прямых однократных измерений являются:

• погрешности СИ, рассчитываемые по их метрологическим характеристикам;

• погрешность используемого метода измерений, определяемая на основе анализа в каждом конкретном случае;

• личная погрешность, вносимая конкретным оператором. Если последние две составляющие не превышают 15% погрешности СИ, то за погрешность результата однократного измерения принимают погрешность используемого СИ. Данная ситуация весьма часто имеет место на практике.

Косвенные измерения

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение Q находят на основании известной зависимости

(8.2)

где Q₁, Q₂,...,Q_m— значения, полученные при прямых измерениях. По виду функциональной зависимости F они делятся на две основные группы — линейные и нелинейные. Для линейных косвенных измерений математический аппарат статистической обработки полученных результатов разработан детально. Обработка результатов косвенных измерений [57] производится, как правило, методами: основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей; линеаризации; приведения; перебора.

Косвенные измерения при линейной зависимости между аргументами. Линейная функциональная зависимость является простейшей формой связи между измеряемой величиной и находимыми посредством прямых измерений аргументами. Она может быть выражена формулой

где b_i — постоянный коэффициент i-ro аргумента Q_i; m — число аргументов. Погрешности линейных косвенных измерений оцениваются методом, основанным на раздельной обработке аргументов и их погрешностей.

Косвенные измерения при нелинейной зависимости между аргументами. Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеаризации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая измеряемую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора:

(8.5)

Здесь — первая частная производная от функции f по аргументу Q_i, вычисленная в точке Q̃₁, Q̃₂,...,Q̃_m; DQ; — отклонение результата измерения аргумента Q_i от его среднего арифметического; R̃ — остаточный член:

Метод линеаризации применим, если остаточным членом можно пренебречь. Это возможно в том случае, если

где S(Q_i)— СКО случайной погрешности результата измерений аргумента Q_i. При необходимости результаты косвенных измерений можно уточнить, используя члены ряда Тейлора более высокого порядка. Эти вопросы детально рассмотрены в [57]. Оценка результата определяется по формуле

(8.6)

Контрольные вопросы

1. Что такое вариационный ряд и интервалы группирования? Как определяется число интервалов группирования?

2. Что такое гистограмма, полигон и кумулятивная кривая?

3. Перечислите этапы обработки результатов прямых многократных измерений.

4. Для чего необходимо идентифицировать форму закона распределения результатов измерений? Расскажите, каким образом это делается.

5. Напишите алгоритм обработки результатов однократных измерений с точным оцениванием погрешностей.

6. Как обрабатываются результаты линейных косвенных измерений?

7. В чем состоит метод линеаризации и как он используется для обработки результатов нелинейных косвенных измерений?

8. Напишите алгоритм обработки результатов косвенных измерений при использовании метода приведения.