Основные задачи, решаемые способом вращения вокруг проецирующей прямой.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня.

Решение. Если прямая параллельна плоскости проекций π₁ или π₁, то одна из ее проекций должна быть параллельна оси 0Х. Для того чтобы прямую общего положения l(l₁,l₂) преобразовать, например, во фронталь (рис. 85), ее необходимо вращать вокруг оси i ⊥π₁.

Рис.85

Для этого:

1. Выбираются две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂), принадлежащие прямой l.

2. Проводится ось вращения i(i₁,i₂) перпендикулярно π₁ через точку В(В₁В₂) прямой l(l₁,l₂).

3. Вращается прямая l вокруг оси i до параллельности ее плоскости π₂ (l∥π₂ =˃ l₁¹∥0Х). При этом точка В прямой останется неподвижной (В₁≡В и В₂≡В ), так как принадлежит оси, а точка А будет вращаться по правилам, рассмотренным выше (А₁→А и А₂→А . Таким образом отрезок [АВ], принадлежащий прямой l, в новом положении является частью фронтали, а, следовательно, отрезок [АВ] и угол его наклона к плоскости π₁ проецируется на плоскость π₂ в истинную величину ([А В ] = [АB]; угол α – угол наклона отрезка [АB] к плоскости π₁).

Задача 2. Преобразовать прямую общего положения проецирующую прямую.

Решение. 1. Преобразование проводится двумя вращеньями. При первом вращении прямая общего положения переводится в положение прямой уровня, т.е. решается задача 1. При втором вращении прямая уровня переводится в проецирующее положение.

Рассмотрим решение на примере рис. 86.

При первом вращении прямая l стала прямой уровня, т.е. фронталью. Значит, при втором вращении, ее можно преобразовать вращением вокруг оси j перпендикулярной π₂ в горизонтально-проецирующую прямую. При вращении фронтали вокруг оси j она сохраняет параллельность плоскости π₂ и может быть повернута в положение, перпендикулярное π₁. На эпюре (рис. 86) это показано следующим образом.

Рис. 86

1. Проводится ось вращения j(j₁,j₂) перпендикулярно π₂ через точку
A(A A ) прямой l(l ,l ).

2. Вращается прямая l вокруг оси j до перпендикулярности ее с плоскости π₁ (l⊥π₁ =˃ l ⊥0Х). При этом точка А прямой останется неподвижной
(А ≡А₁² и А ≡А ), так как принадлежит оси j, а точка В будет вращаться по правилам, рассмотренным выше (В →В и В →В ). Кроме того, следует отметить, что на плоскости π₁ проекция прямой l (A ≡B ) вырождается в точку, а это характерный признак горизонтально-проецирующей прямой.

3адача 3.Преобразование плоскости общего положения в проецирующую.

Решение.Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости λ(∆АВС), преобразовать в проецирующую, то плоскость λ(∆АВС) тоже станет проецирующей (рис. 87).

Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2). Если плоскость λ(∆АВС) вращать вокруг оси i⊥π₁, то горизонталь h(А1), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости π₂ (см. задачу 2), при этом плоскость λ(∆АВС) становится фронтально-проецирующей. Для упрощения построений на эпюре горизонталь h(А₁1₁, А₂1₂) и ось вращения i(i₁,i2) проведены через вершину А треугольника АВС.

Для построения новой горизонтальной проекции А В С треугольника АВС можно воспользоваться одним из следующих соображений:

1) так как угол наклона плоскости треугольника АВС к плоскости π₁ при вращении вокруг оси i⊥π₁ не изменяется, то ∆А В С =∆А₁В₁С₁;

Рис. 87

2) величина угла поворота точек В₁ и С₁ равна величине угла поворота горизонтальной проекции горизонтали h₁→h . Точка А₁ неподвижна, так как она принадлежит оси вращения. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из эпюра (рис. 77).

Треугольник А В С перпендикулярен π₂ и поэтому его фронтальная проекция А В С вырождается в прямую линию. Учитывая то, что плоскость λвращалась вокруг оси i⊥π₁, следовательно, угол α между вырожденной проекцией плоскости λ₂(А В С ) и осью 0Х есть угол наклона самой плоскости λ к плоскости проекций π₁.

Для того чтобы плоскость преобразовать в горизонтально проецирующую, ее необходимо вращать вокруг оси i⊥π₂, а в качестве вспомогательной линии уровня взять фронталь. Проще всего для этой цели воспользоваться линиями уровня (см. задачу 2). Если плоскостьλ(∆АВС) вращать вокруг оси i⊥π₁, то горизонталь h(А1), принадлежащая плоскости, может быть повернута в положение, перпендикулярное плоскости π₂ (см. задачу 2), при этом плоскость λ(∆АВС) становится фронтально-проецирующей. Для упрощения построений на эпюре горизонталь h(А₁1₁, А₂1₂) и ось вращения i(i₁,i₂) проведены через вершину А треугольника АВС.

3адача 4. Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить два последовательных преобразования: вначале преобразовать ее в проецирующую плоскость (решить задачу 3), а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня.

Рассмотрим преобразование фронтально-проецирующей плоскости в горизонтальную плоскость уровня (рис. 88).

Для этого фронтально-проецирующую плоскость (∆А В С , ∆А В С ) вращая вокруг оси j, перпендикулярной плоскости π₂, проведенной через вершину B¹ треугольника А¹В¹С¹. И когда плоскость λ¹ расположится параллельно плоскости π₁ ее фронтальная проекция (А В С ) займет положение (А В С ), параллельное оси 0Х. Остальные построения основаны на правилах, изложенных ранее, и понятны из эпюра (рис. 88).

Следует отметить, что проекция треугольника ∆А В С является натуральной величиной треугольника ∆АВС , так как плоскость λ² параллельна плоскости проекций π₁: λ²∥π₁=˃ ∆А В С =∆АВС.

Рис. 88