Понятия об уравнивании геодезических измерений

Геодезические измерения характерны тем, что их всегда больше, чем необходимо для определения величин. Например, для решения треугольника измеряют три угла, тогда как было бы достаточно измерить два угла. Эти избыточные измерения выполняют с целью контроля и повышения точности определяемых величин. Результаты избыточных измерений вследствие погрешностей не могут точно удовлетворять математическим зависимостям между элементами геометрических фигур, к которым они относятся. Поэтому возникает необходимость в нахождении системы поправок к измеренным величинам, которая удовлетворяла бы геометрическим условиям. Однако таких систем может быть бесчисленное множество. Например, если сумма трех углов в треугольнике не равна 180^о, то можно предложить множество вариантов введения поправок в углы.

В теории вероятности доказывается, что оптимальной (вероятнейшей) системой поправок является та, которая определяется под условием, чтобы сумма квадратов поправок в измеренные величины была минимальной, то есть или

[V ²] = min, (4.53)

где V – поправки к измеренным величинам.

Способ нахождения вероятнейших значения измеренных величин при наличии избыточных измерений под условием (4.53) называется методом наименьших квадратов. Совокупность вычисленных работ по нахождению наиболее надежных (вероятнейших) результатов по методу наименьших квадратов называется уравниванием. Уравнивание имеет две цели:

1) найти наиболее надежное значение неизвестных с оценкой точности полученных результатов;

2) исключить все математические противоречия в зависимостях, существующих между измеряемыми величинами.

В качестве примера применения метода наименьших квадратов покажем, что арифметическая середина является вероятнейшим значением измеряемой величины в равноточных измерениях.

Запишем условие (4.53) в виде

f(L) = V₁² + V₂² + … + V_n² = (l₁ – L)² + (l₂ – L)² + … + (l_n – L)² = min.

Из математики известно, что минимум функции будет, если первая производная ее равна нулю, а вторая – больше нуля, т. е.

f ^'(L) = – 2(l₁ – L) – 2(l₂ – L) – … – 2(l_n – L ) = 0; (4.54)

f ^''(L) = 2n > 0.

Решив уравнение, (4.54) относительно L, получим

nL = l₁ + l₂ + … + l_n,

откуда

L = (l₁ + l₂ + … + l_n) / n = [l] / n,

т. е. получим тот же результат, как и в формуле (4.4), что и обеспечивает метод наименьших квадратов.

ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Принцип измерения горизонтальных и вертикальных углов.

Устройство теодолита

Измерение углов на местности выполняют для определения взаимного положения точек в пространстве. При этом различают горизонтальные и вертикальные углы. Горизонтальным углом называют двухгранный угол между отвесными плоскостями, проходящими через его стороны. Он определяется углом β между проекциями сторон ОА и ОВ на горизонтальную плоскость Q, т. е. углом А^'ОВ^' (рисунок 5.1).

Горизонтальный угол отсчитывают по ходу часовой стрелки от 0 до 360^о. Чтобы определить величину угла А^'ОВ^', над его вершиной размещают градуированный круг (лимб). Центр круга совмещают с отвесной линией, проходящей через вершину угла О, а сам круг размещают в горизонтальной плоскости. Тогда радиусы этого круга оа и оb, лежащие в отвесных плоскостях, проведенных через стороны угла АОВ, образуют угол, равный горизонтальному углу между направлениями ОА и ОВ.

Если деления на круге подписаны по ходу часовой стрелки, а отсчеты по градуированной окружности обозначить через a и b, то угол β = b – a, т. е. горизонтальный угол равен разности отсчетов по горизонтальному кругу на правую и левую стороны угла.

Кроме горизонтальных углов различают вертикальные углы. Вертикальным называют угол между стороной угла и ее проекцией на горизонтальную плоскость. На рисунке 5.1 вертикальными будут являться углы υ_a и υ_b. Вертикальные углы отсчитывают от проекции к стороне. В том случае, если сторона угла расположена выше проекции, угол будет положительным (υ_a). Если сторона угла расположена ниже проекции, то угол будет отрицательным (υ_b). Вертикальные углы могут принимать значения в пределах от

–90^о до +90^о. Для измерения вертикальных углов градуированный круг необходимо разместить в вертикальной плоскости.

Описанный принцип измерения горизонтальных и вертикальных углов на местности реализуется в угломерном приборе, который называется теодолит. Принципиальная схема теодолита показана на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – Схема теодолита:

1 – подставка теодолита с тремя подъемными

винтами;

2 – нижний горизонтальный круг с делениями

(лимб);

3 – верхний круг с отсчетным устройством

(алидада);

4 – зрительная труба для визирования на

предметы местности;

5 – вертикальный круг для измерения углов

наклона (вертикальных углов) линий;

6 – уровень для приведения плоскости лимба

в горизонтальное положение;

7 – колонки, на которых закрепляется

зрительная труба;

8 – становой винт для закрепления теодолита

на штативе

Основные части теодолита

З р и т е л ь н а я т р у б а. В современных геодезических приборах применяют зрительные трубы с внутренней фокусировкой, которая состоит из трех оптических систем: окуляра, объектива и фокусирующей линзы. Окуляр – это система линз, обращенная к глазу. Объектив – система линз, обращенная к наблюдаемому предмету. Между окуляром и объективом находится рассеивающая плосковогнутая линза (фокусирующая линза), перемещением которой с помощью винта кремальеры добиваются четкого изображения предмета.

При выполнении работ зрительную трубу обычно наводят (визируют) на предметы, значительно удаленные от прибора. Таким образом, предмет всегда находится вне фокусного расстояния объектива. При этом лучи света от предмета проходят через систему объектива, преломляются и дают обратное уменьшенное изображение. Чтобы увеличить это изображение, в зрительную трубу вводят окуляр.

В окулярной части зрительной трубы, в том месте, где получается действительное изображение предмета, помещается диафрагма, в отверстие которой вставлена стеклянная пластинка с нанесенной на ней сеткой нитей. Сетка нитей состоит из пересекающихся между собой под прямым углом зачерненных штрихов (рисунок 5.3).

При наведении на предмет центр сетки нитей совмещают с изображением точки местности, наблюдаемой в трубу.

Линия, проходящая через центр сетки нитей и оптический центр объектива, называется визирной осью зрительной трубы. Для правильной установки сетки нитей в зрительной трубе диафрагма, к которой прикрепляется стеклянная пластинка с сеткой нитей, делается подвижной при помощи специальных исправительных винтов сетки нитей.

Основными характеристиками зрительной трубы являются ее увеличение и разрешающая способность. Увеличением зрительной трубы V называется отношение угла, под которым изображение предмета видно в трубу к углу, под которым предмет виден невооруженным глазом. Практически увеличение трубы принимается равным отношению фокусного расстояния объектива к фокусному расстоянию окуляра:

V = f_об /f_ок.

В современных теодолитах зрительные трубы имеют 20- – 50-кратные увеличение. От увеличения трубы зависит ее разрешающая способность. Обычно невооруженным глазом можно различить две точки до тех пор, пока угол, под которым видны эти точки, не будет меньше 60^''. При рассматривании изображения в зрительную трубу, увеличение которой V, угол будет β_о = 60^''/V. Следовательно, чем больше увеличение трубы, тем на большем расстоянии можно видеть предмет, или тем большую разрешающую способность имеет зрительная труба.

Установка зрительной трубы по глазу и предмету. Во время выполнения геодезических измерений зрительную трубу наводят на различные точки местности, совмещая пересечение штрихов сетки нитей с изображением точки. Перед этим нужно установить трубу «по глазу» и предмету. Для установки трубы «по глазу» наблюдатель наводит ее на какой-нибудь светлый фон, и вращает окулярную трубочку до тех пор, пока штрихи сетки нитей не будут четко видны. Для установки зрительной трубы по предмету при помощи кремальеры передвигают фокусирующую линзу, расположенную между объективом и окуляром, до тех пор, пока изображение наблюдаемого предмета не будет отчетливым. Установку зрительной трубы по предмету называют фокусировкой.

У р о в н и. Для приведения отдельных частей геодезических приборов в горизонтальное или вертикальное положение используют уровни. Геодезические уровни могут быть жидкостные стеклянные, электронные, а для погашения малого остаточного наклона – оптико-механические компенсаторы.

Жидкостные стеклянные уровни состоят из ампулы, оправы и регулировочного приспособления. В зависимости от формы ампулы различают цилиндрические и круглые уровни. Цилиндрический уровень представляет собой стеклянную ампулу, внутренняя поверхность которой отшлифована по дуге определенного радиуса. Радиус кривизны в зависимости от назначения уровня колеблется от 3,5 до 200 м. На внешней поверхности ампулы цилиндрического уровня через 2 мм нанесены штрихи. Точка, соответствующая средней части делений ампулы, называется нуль-пунктом уровня. Ампула (стеклянная трубка) заполняется нагретым до 60^о спиртом или эфиром и запаивается. После охлаждения жидкость сжимается, и в ампуле образуется небольшое пространство, заполненное парами спирта или эфира, которое называют пузырьком уровня. Ампула помещается в металлическую оправу.

Пузырек уровня всегда стремится занять наивысшее положение, поэтому, когда концы пузырька расположены симметрично относительно нульпункта, то плоскость, вдоль которой расположен уровень, будет горизонтальной. Это свойство используют для приведения отдельных частей инструмента в горизонтальное положение. Линия, касательная к ампуле уровня в его нуль-пункте, называется осью цилиндрического уровня.

Уровни характеризуются ценой деления. Ценой деления уровня τ называют угол, на который наклонится ось уровня, если пузырек сместится на одно деление (рисунок 5.4).

Если обозначить через l величину одного деления уровня, а через R – радиус дуги внутренней поверхности ампулы, то цена деления уровня

τ = ρ l/R,

где ρ – переводной коэффициент из радианной меры углов в градусную (ρ = 3438' = = 206265'').

Следовательно, чем больше радиус, тем меньше цена деления и тем точнее уровень. Цена деления уровня определяет ту точность, с которой данным уровнем можно привести линию или плоскость в горизонтальное положение.

Величина τ характеризует чувствительность уровня. Цена деления цилиндрических уровней, устанавливаемых на геодезических приборах, колеблется от 2 до 60''.

Для регулировки цилиндрического уровня имеются исправительные винты, при помощи которых один конец уровня можно перемещать в вертикальной плоскости.

Для более точной установки пузырька уровня в нульпункт, а также для большего удобства в работе применяют контактные уровни (рисунок 5.5). В них над цилиндрическим уровнем устанавливается система призм, с помощью которой изображение концов пузырька передается в поле зрения глаза наблюдателя. При перемещении пузырька к нуль-пункту изображение его концов движется навстречу друг другу, а когда пузырек уровня находится в нуль-пункте, изображения его концов совмещаются (контактируют) (см. рисунок 5.5). Точность установки пузырька уровня в нульпункт в контактном уровне в 5–6 раз выше, чем у обычных уровней.

Круглый уровень представляет собой стеклянную ампулу круглой формы, помещенную в оправу. Его сферическая внутренняя полость также заполнена эфиром с верхним пузырьком. Снаружи нанесена кольцевая маркировка с центральным нульпунктом. Осью круглого уровня является нормаль (перпендикуляр), проходящая через нуль-пункт, к плоскости касательной внутренней поверхности уровня. Если пузырек приведен в нуль-пункт, то нормаль вертикальна. Круглые уровни имеют небольшую чувствительность (цена деления круглого уровня 3–5') и применяются для предварительной установки прибора или там, где не требуется высокая точность.

Л и м б. Лимб представляет собой круг, разделенный по окружности на градусные или градовые деления (градус – 1/360 часть окружности, а град – 1/400 часть окружности). Центр лимба устанавливают на отвесной линии, проходящей через вершину измеряемого угла (см. рисунок 5.1).

Величина центрального угла, опирающегося на дугу, соответствующую наименьшему делению лимба, называется ценой деления лимба. Лимбы геодезических приборов изготавливают из прозрачного высококачественного стекла. Теодолиты, использующие такие лимбы, называют оптическими.

А л и д а д а. Алидадой называют круг или линейку для отсчитывания градусов и их долей по лимбу. Алидада располагается в плоскости лимба или над ним. Оси лимба и алидады совпадают, причем ось вращения алидады называют основной или вертикальной осью прибора. На алидаде имеется индекс, позволяющий фиксировать ее положение на шкале лимба. Для повышения точности снятия отсчета имеется специальное отсчетное устройство.

О т с ч е т н ы е у с т р о й с т в а. Отсчетные устройства служат для оценки долей делений лимба. В качестве отсчетных устройств используют штриховые и шкаловые микроскопы, оптические микрометры.

На рисунке 5.6 показано поле зрения штрихового микроскопа с изображением штриха на алидаде и лимба с ценой деления 10'. Оценку долей деления лимба осуществляют по неподвижному Т-образному индексу. Оцени

вая десятые доли деления лимба на глаз, можно сделать отсчет по штриху микроскопа с точностью до 1'. На рисунке 5.6 отсчет по горизонтальному (нижняя шкала, обозначенная буквой Г) будет равен 159^о46', а по вертикальному кругу (верхняя шкала, обозначенная буквой В) – 350^о48'.

Большую точность отсчета дают шкаловые микроскопы. На рисунке 5.7 показано изображение поля зрения шкалового микроскопа с ценой деления лимба в 1^о. Длина шкалы, расположенной на алидаде, равна одному делению лимба. Шкала разделена на 12 делений, следовательно, цена деления шкалы составляет 5'. Оценивая десятые доли деления шкалы на глаз, можно взять отсчет по шкале с точностью до 0,5'. В поле зрения шкалового микроскопа одновременно видны изображения горизонтального и вертикального круга. На рисунке 5.7 отсчет по горизонтальному кругов равен 183^о22', а по вертикальному – 1^о12'.

П р и с п о с о б л е н и е д л я ц е н т р и р о в а н и я. Установка центра лимба теодолита над вершиной измеряемого угла называется центрированием. Оно выполняется при помощи отвесов или центриров. Простейшим приспособлением для центрирования является нитяной отвес. Он состоит из гибкой нити (шнура), на конце которой закреплен груз. При центрировании нить отвеса прикрепляют к дужке станового винта. Центрирование выполняется перемещением штатива, а также подставки теодолита, добиваясь того, чтобы заостренный конец груза установился над вершиной измеряемого угла. Под влиянием ветра нить отвеса отклоняется от вертикального положения (точность центрирования составляет 1–2 см). В безветренную погоду точность центрирования составляет 5 мм.

Для повышения точности центрирования и исключения влияния внешних условий используют оптический центрир. Он изготавливается как часть теодолита, встроенная в алидаду горизонтального круга. Центрир имеет окуляр, прозрачную пластинку с нанесенной на ней сеткой нитей, фокусирующую линзу и призму, поворачивающую луч на 90^о и направляющую его вниз. При центрировании алидаду теодолита приводят в горизонтальное положение. В этом случае преломленный на 90^о луч будет располагаться строго отвесно. В поле зрения центрира видны изображение вершины угла и пересечение сетки нитей. Передвигая подставку теодолита по головке штатива, добиваются совмещения пересечения сетки нитей с изображением вершины угла. Средняя квадратическая погрешность центрирования оптическими центрирами составляет 0,5 мм.

Классификация теодолитов

Современный теодолит представляет собой сложный оптико-механический измерительный прибор. Его конструкция постоянно совершенствуется, используются более прогрессивные материалы, внедряется микроэлектроника, автоматизируются отдельные блоки.

Теодолиты различаются по точности измерения углов и конструктивным особенностям. Согласно действующему стандарту по точноститеодолиты принято подразделять на следующие виды:

1 – высокоточные (Т05, Т1);

2 – точные (Т2, Т5);

3 – технические (Т15, Т30).

Буква Т означает шифр изделия (первая буква слова теодолит), а следующие за ней цифры показывают среднюю квадратическую погрешность измерения угла одним приемом в секундах. Например, теодолит модели Т30 позволяет измерить угол со средней квадратической погрешностью 30''. В настоящее время промышленность перешла на выпуск теодолитов второго, третьего и следующих поколений в которых внесены усовершенствования отдельных частей и устройств. В этих моделях перед шифром стоит цифра обновления (2Т30 – модель второго поколения). В зависимости от конструкции и назначения в обозначениях теодолитов могут быть дополнительные буквы. Например, буква П шифра означает, что зрительная труба теодолита имеет прямое изображение. Если теодолит имеет компенсатор остаточного угла наклона теодолита, позволяющий не приводить уровень при алидаде вертикального круга в нульпункт при измерении вертикальных углов, то в шифре появляется буква К. Теодолиты, соответствующие маркшейдерскому исполнению для работ во взрывоопасных подземных горных выработках, имеют в шифре букву М. В шифре цифровых или кодовых теодолитов возможны буквы D (digital – цифровой) или Ц, К (кодовый) и Э (электронный). Например, теодолит с шифром 3Т5КПМ будет означать теодолит третьего поколения, модели Т5, с компенсатором при вертикальном круге, с прямым изображением зрительной трубы в маркшейдерском исполнении. Основные технические характеристики теодолитов приведены в таблице 5.1.

При геодезических съемках, инженерных изысканиях, в строительстве чаще всего применяют теодолиты типов Т30 (рисунок 5.8) и Т5 (рисунок 5.9).

Т а б л и ц а 5.1 – Технические характеристики теодолитов

Параметр	Тип теодолита
Т1	Т2	Т5	Т15	Т30
Средняя квадратическая погрешность измерения одним приемом углов: горизонтального вертикального Увеличение зрительной трубы, крат Угол поля зрения трубы Наименьшее расстояние визирования, м Коэффициент дальномера Цена деления уровней при алидаде кругов: горизонтального вертикального Масса прибора, кг	1'' 1,5'' 1о –   10'' 10''	2'' 3'' 1,5о   15'' 20''	5'' 8'' 1,5о   30'' 25'' 4,5	15'' 25'' 1,5о 1,5   45'' 45'' 3,5	30'' 45'' 2о 1,2   45'' – 2,5

1 – установочная плата;

2 – наводящий винт лимба горизонтального круга;

3 – диоптрийное кольцо окуляра отсчетного

устройства;

4 – зеркальце для подсветки отсчетного

микроскопа;

5 – колонка;

6 – вертикальный круг;

7 – паз для закрепления ориентир-бусоли;

8 – объектив зрительной трубы;

9 – коллиматорный визир;

10 – закрепительный винт зрительной трубы;

11 – кремальера;

12 – диоптрийное кольцо окуляра зрительной трубы;

13 – наводящий винт зрительной трубы;

14 – цилиндрический уровень;

15 – наводящий винт алидады горизонтального круга;

16 – подставка; 17 – подъемные винты.

Рисунок 5.9 – Теодолит 2Т5К:

1 – подъемные винты;

2 – закрепительный винт подставки;

3 – наводящий винт алидады горизонтального круга;

4 – рычаг закрепительного устройства;

5 – наводящее устройство зрительной трубы;

6 – окуляр зрительной трубы;

7 – окуляр отсчетного микроскопа;

8 – визиры;

9 – колонка;

10 – оптический центрир;

11 – винт перестановки лимба;

12 – подставка.