Проверка нормальности распределения с помощью критерия Шапиро и Уилка.
1. Закон распределения результатов измерений – один из основных факторов, которым определяется выбор статистических методов обработки результатов измерений.
Закон распределения – закон, по которому распределяются вероятности непрерывных случайных величин. Получается из полигона распределения с бесконечно большим числом интервалов и наблюдений.
При анализе распределения результатов измерений всегда делают предположение о том распределении, которое имела бы выборка, если бы число измерений было очень большим (бесконечно большим). Такое распределение называют распределением генеральной совокупности или теоретическим, а распределение экспериментального ряда измерений – эмпирическим. При увеличении объёма выборки эмпирическое распределение будет приближаться к теоретическому.
2. Нормальный закон (закон Гаусса) распределения результатов измерений непрерывных величин наиболее часто встречается в спортивной практике.
Нормальное распределение описывается формулой, впервые предложенной английским математиком Муавром в 1733 году:
где p и e – математические константы (p = 3,141; e = 2,718); и s – соответственно, среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности; x – результаты измерений; f(x) – так называемая функция плотности распределения.
Эта формула позволяет получить в виде графика кривую нормального распределения, которая симметрична относительно центра группирования.
Основные свойства кривой нормального распределения.
1) Кривая симметрична относительно среднего значения, которое является модой и медианой. При .
2) При x ® ¥ f(x) ® 0.
3) Площадь, заключенная между кривой f(x) и осью x, равна единице.
4) Кривая имеет две точки перегиба при .
5) Изменение среднего арифметического значения не меняет форму кривой, а приводит лишь к сдвигу кривой вдоль оси x.
6) С увеличением s максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, при уменьшении s кривая становится более «островершинной». При любых значениях и s площадь, ограниченная кривой и осью x, одинакова и равна единице.
В результате спортивной тренировки средняя арифметическая должна улучшаться (в зависимости от вида спорта или увеличиваться, или уменьшаться), а стандартное отклонение sг должно уменьшаться. С увеличением стабильности и устойчивости спортивных результатов, составляющих нормально распределенные выборки, кривая распределения становится более островершинной.
3. Правило трёх сигм заключается в том, что практически все результаты, составляющие нормально распределенную выборку, находятся в пределах . Это правило можно использовать при решении следующих важных задач:
1) Оценки нормальности распределения выборочных данных. Если результаты находятся примерно в пределах и в области среднего арифметического результаты встречаются чаще, а вправо и влево от него – реже, то можно предположить, что результаты распределены нормально.
2) Выявление ошибочно полученных результатов. Если отдельные результаты отклоняются от среднего арифметического значения на величины, значительно превосходящие 3s, нужно проверить правильность полученных величин. Часто такие «выскакивающие» результаты могут появиться в результате неисправности прибора, ошибки в измерении и расчетах.
3) Оценка величины s. Если размах варьирования R=Xнаиб - Xнаим, разделить на 6, то мы получим грубо приближенное значение s.
4. Критерий W Шапиро и Уилка предназначен для проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности, когда объём выборки мал (n ≤ 50). Процедура проверки следующая: выдвигается нулевая гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности. Рассчитывается наблюдаемое значение критерия Шапиро и Уилка Wнабл и сравнивается с критическим значением Wкрит, которое находится по таблице критических точек критерия Шапиро и Уилка в зависимости от объёма выборки и уровня значимости. Если Wнабл ≥ Wкрит, нулевая гипотеза о нормальном распределении результатов принимается; при Wнабл < Wкрит она отвергается.
Контрольные вопросы для самопроверки:
1. Что такое закон распределения?
2. Для чего необходимо знать закон распределения случайной величины?
3. Теоретический и эмпирический закон распределения.
4. Сущность нормального закона распределения.
5. Свойства кривой нормального распределения.
6. В чём заключается правило трёх сигм?
7. Практическое применение правила трёх сигм.
8. Какой критерий применяется для проверки нормальности распределения генеральной совокупности при малом объёме выборки?
9. Опишите процедуру проверки нормальности распределения.
Литература:
1. Основы математической статистики. Уч. пособие для ин-тов физической культуры (под общ. ред. В.С. Иванова). – М.: Физкультура и спорт, 1990. – С. 57 – 63, 110 – 112.
2. Рукавицына С.Л., Волков Ю.О., Солтанович Л.Л. Спортивная метрология. Проверка эффективности методики тренировки с применением методов математической статистики. Практикум для студентов БГУФК. – Минск: БГУФК, 2006. – С. 63 – 67.
3. Гинзбург Г.И., Киселев В.Г. Расчетно-графические работы по спортивной метрологии. – Минск: БГОИФК, 1984. – С. 18 – 22, 26 – 29.
ЛЕКЦИЯ 4.
Тема: Взаимосвязь результатов измерения. Методы вычисления коэффициентов взаимосвязи.
Вопросы для рассмотрения:
Виды взаимосвязи.