Распространение погрешностей

Часто интересующая нас величина представляет собой результат вычисления, полученный из нескольких независимо измеренных величин. Каждая из них содержит погрешность, которая вносит вклад в общую погрешность результата. Это явление называется распространением погрешностей. Конкретный способ распространения погрешностей определяется видом соотношения между исходными и вычисленным значениями. При этом для вычисления случайных и систематических погрешностей используют разные формулы (таблица 4).

Таблица 4- Распространение погрешностей

Случай	Функция	Систематическая погрешность	Случайная погрешность
а	б
	u=x+y
	u=x-y
	u=xy
	u=x/y
	u=xp
	u=lnx
	u=lgx

Как видно из таблицы 4 для линейной функции дисперсия является аддитивной величиной. Вследствие этого наибольшее стандартное отклонение обычно вносит преобладающий вклад в общую величину стандартного отклонения конечного результата. Заметим также, что при вычитании исходных величин их дисперсии все равно складываются.

При расчете систематических погрешностей следует различать два важных случая:

а) Если известны и величины, и знаки погрешностей отдельных составляющих, то расчет суммарной погрешности производится по формулам, приведенным в столбце а таблицы. Величина суммарной погрешности при этом получается с определенным знаком.

б) Если известны лишь максимально возможные погрешности отдельных стадий (это равносильно тому, что известны лишь абсолютные величины, но не знаки этих погрешностей), то расчет производится по формулам указанным в столбце б табл. 4. При этом результат расчета также является абсолютной величиной суммарной погрешности.

Пример.Рассчитайте максимальную систематическую погрешность (абсолютную и относительную) при приготовлении 200,0 см³ раствора с концентрацией с(1/2 Na₂C0₃)=0,1000 моль/дм³. Максимальная систематическая погрешность массы навески ±0,2 мг, калибровки колбы ±0,2 см³. Молярные массы элементов: Na 22,9897; С 12,011; O 15,9994. Погрешности молярных масс элементов считайте равными единице в последнем знаке указанных величин.

Решение: Концентрация раствора в моль/дм³ рассчитывается как

где т - масса навески, г; М - молярная масса эквивалента Na₂CО₃ =(1/2 M(Na₂CО₃), г/моль; V -объем раствора, дм³.

В соответствии с законом распространения систематических погрешностей относительная погрешность произведения (частного) равна сумме относительных погрешностей сомножителей (делимого и делителя):

Величина М представляет собой сумму молярных масс элементов:

М= l/2[2M(Na)+M(C)±3M(О)],

поэтому для расчета ∆M также следует применить закон распрост­ранения погрешностей: для суммы (разности) величин абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого):

∆M = 1/2 [2·10^-4 + 1·10^-3 + 3·10^-4].

Рассчитаем величины М и т:

М= 1/2 (2 • 22,9897 +12,011 + 3 • 15,9994) = 52,9943,

т = сMV = 0,1000· 52,9943 ·0,2000 = 1,0599 (г).

Найдем погрешность ∆M:

∆M =1/2(2·10^-4+1·10^-3 + 3·10^-4) = 7,5·10^-4.

Относительная погрешность значения концентрации составляет:

Абсолютная погрешность составляет:

∆с = 0,1000· 1,2 10^-3 = 0,0001 (M).

Контрольное задание № 4

Рассчитайте максимальную систематическую погреш­ность (абсолютную и относительную) при приготовлении V см³ раствора с концентрацией «с» моль/дм³. Максимальная систематическая погрешность массы навески ±0,2 мг, калибровки колбы ±0,2 см³. Молярные массы элементов – по таблице Д.И. Менделеева.

Погрешности молярных масс элементов считайте равными единице в последнем знаке указанных величин.

Таблица 5 - Исходные данные контрольного задания № 4

Вариант №	Вещество	Объем раствора V, см3	Концентрация раствра с, моль/дм3
	Na2SO4		0,1
	NaCl		0,2
	Na3PO4		0,5
	NaBr		0,1
	NaI		0,2
	Ca(OH)2		0,5
	KCl		0,1
	KNO3		0,2
	NaNO3		0,5
	NH4Cl		0,1
	CH3COONa		0,2
	K2SO4		0,5
	K2CO3		0,1
	NH4Cl		0,2
	KBrO3		0,5
	KMnO4		0,1
	KH2PO4		0,2
	H2C2O4		0,5
	Na2C2O4		0,1
	NH4SCN		0,2
	Na2S2O3· 5H2O		0,5
	NH4Br		0,1
	NaHCO3		0,2
	NaNO2		0,5
	Na2B4O7·10H2O		0,1