Следовательно, абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы наименьшего разряда, в котором стоит верная цифра.

D х£ 0,01 , следовательно, h = 0,01.

Ответ: х = 3,14 ± 0,01

2. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 2175000.

Решение:

Так как в записи числа выписаны все нули, то нули разрядов 100 , 10 , 1 являются верными. Абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы наименьшего разряда, в котором стоит верная цифра, то есть D х £ 1 , h = 1.

Ответ:х = 2175000 ± 1

3. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 173 × 10 ⁴.

Решение:

Согласно правилу №3 записи приближенных чисел на сомножитель 10⁴ заменены нули, являющиеся сомнительными цифрами. Следовательно, первой (с конца) верной цифрой является цифра 3 в разряде десятков тысяч (10000). Абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы наименьшего разряда, в котором стоит верная цифра, то есть

D х £ 10000 , h = 10000.

Ответ:х = 173 × 10 ⁴ ± 10000

Вывод: Граница абсолютной погрешности приближенного числа равна разряду последней верной цифры этого числа.

Определение: Все верные цифры приближенного числа, начиная с первой отличной от нуля цифры, называются значащими.

Пример: Определить значащие цифры в приближенном значении числа:

1. х = 3,14 ± 0,01

В приближенном значении 3,14 все цифры верные, так как h не превосходит единицу разряда последней цифры 4 (h = 0,01 £ 0,01). Следовательно, все они являются значащими. 3, 1, 4 – значащие цифры.

2. х = 30,509 ± 0,01

Цифра 9 в 0,001 является сомнительной, так как h = 0,01 ³ 0,001.

Цифра 0 в 0,01 является верной, так как h = 0,01 £ 0,01.

Следовательно, 5, 0, 3 – верные цифры.

Значащими являются только верные цифры, то есть 3, 0, 5, 0 – значащие цифры.

3. х = 0,0973 ± 0,0002

Цифра 3 в 0,0001 является сомнительной, так как h = 0,0002 ³ 0,0001.

Цифра 7 в 0,001 является верной, так как h = 0,0002 £ 0,001.

Следовательно, 9, 0, 0 – верные цифры.

Все верные цифры приближенного числа, начиная с первой отличной от нуля цифры, называются значащими, следовательно, 9, 7 – значащие цифры.

Вывод: Значащими цифрами не являются сомнительные цифры и верные нули, стоящие впереди числа.

Упражнения:

1. Определить верные и сомнительные цифры, значащие цифры в приближенном значении числа:

а) х = 609 ± 0,04; в) х = 0,067 ± 0,005; д) х = 4,289 ± 0,2;

б) х = 749,3 ± 5; г) х = 14,08 ± 0,01; е) х = 428,7 ± 20.

2. Указать абсолютную погрешность приближенного числа, если в записи приближенных значений все цифры верные:

а) а = 14,5 × 10; г) а = 34,20; к) а = 542,3 × 10; в) а = 748,56;

б) а = 263 × 10 ⁴; д) а = 759,00; з) а = 1,0000; и) а = 147,3 × 10 ³.

3. Найти относительную погрешность приближенного значения числа:

а) х = 19,83; а = 19,76; в) х = 32,301; а = 32,287;

б) х = 7,013; а = 7,028; г) х = 1045,6; а = 1027,9.

6. Какова точность данных приближенных равенств, если в записи приближенных значений все цифры верные:

а) х » 1,25; б) у » 1,25 × 10 ²; в) z » 13,20; г) и » 1,51 × 10 ^–3.

7. С какой точностью указаны в справочнике старинные меры веса:

а) 1 пуд » 16,380 кг; б) 1 фунт » 0,40951 кг.

8. Указать значащие цифры в приближенном значении числа х » 31,9 , если

Е = 1,5 %.

4. Округление чисел.

Стандартный вид числа

В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа, как приближенные, так и точные, то есть отбрасывать одну или несколько последних цифр. Существует три способа округления чисел.

Округление с недостатком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с недостатком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра не изменяется.

Округление с избытком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с избытком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Пример:

Округлить данные числа до указанного разряда, используя способы округления с недостатком и избытком. Найти ошибку округления. Какой способ округления лучше? 1. х = 39,2; 2. х = 472,387; 3. х = 1926; 4. х = 83519,4.

Решение:

1. 39,2 » 39; D х₁ = ½39,2 - 39½ = 0,2;

39,2 » 40; D х₂ = ½39,2 - 40½ = 0,8;

D х₁ < D х₂ , следовательно, округление с недостатком числа 39,2 лучше.

2. 472,387 » 472,3; D х₁ = ½472,387 - 472,3½ = 0,087;

472,387 » 472,4; D х₂ = ½472,387 - 472,4½ = 0,013.

D х₂ < D х₁ , следовательно, округление с избытком числа 472,387 лучше.

3. 1926 » 1920; D х₁ = ½1926 - 1920½ = 6;

1926 » 1930; D х₂ = ½1926 - 1930½ = 4.

D х₂ < D х₁ , следовательно, округление с избытком числа 1926 лучше.

4. 83519,4 » 83500; D х₁ = ½83519,4 - 83500½ = 19,4;

83519,4 » 83600; D х₂ = ½83519,4 - 83600½ = 80,6.

D х₁ < D х₂ , следовательно, округление с недостатком числа 83519,4 лучше.

Округление с наименьшей погрешностью: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с наименьшей погрешностью, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями. При этом если первая округляемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется; а если первая округляемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Замечание:

Если округляемая цифра принадлежит дробной части числа, то она отбрасывается. Если округляемая цифра принадлежит целой части числа, то она заменяется нулем.