ПРАКТИКА № 18 Числовые ряды.
ПРАКТИКА № 18 Числовые ряды.
Задача 1.Найти сумму ряда. .
Решение. Чтобы разбить на группы слагаемых, часть из которых будет взаимно сокращаться, сначала разложим знаменатель на множители: затем надо разбить на простейшие дроби. = , откуда , , получаем систему , отсюда .
Тогда ряд можно представить так: = = Здесь для любого знаменателя, начиная от 3 и выше, всегда есть отрицательная дробь с таким знаменателем, а через 2 шага точно такая же положительная. Таким образом, сокращается всё, кроме .
Ответ. .
Выяснить сходимость.
Задача 2. Выяснить, сходится или расходится ряд .
Решение. По интегральному признаку Коши, можем рассмотреть несобственный интеграл, эквивалентный данному ряду по сходимости. = = = = .
Интеграл расходится, значит, и ряд расходится.
Ответ.Расходится.
Задача 3. Выяснить, сходится или расходится ряд .
Решение.Заметим, что для любого . Тогда ряд (по признаку сравнения) можно ограничить сверху другим рядом, < , который, в свою очередь, сходится, так сходится эквивалентный ему несобственный интеграл (заменяем по интегральному признаку Коши). Итак, ответ: ряд сходится (добавим, что сходится абсолютно, так как все слагаемые и так положительны).
Ответ.Сходится.
Задача 4. Выяснить, сходимость ряда .
Решение.По признаку сравнения в непредельной форме, , таким образом, этот ряд получается больше, чем некоторый расходящийся > . Гармонический ряд расходится, это было доказано в лекциях ранее. Поэтому ответ: расходится.
Замечание. Здесь есть и 2-й способ - по интегральному признаку Коши. Ряд эквивалентен интегралу = =
= .
Ответ.Расходится.
Выяснить сходимость по признаку Даламбера:
Задача 5. Выяснить, сходимость ряда .
Решение. Запишем предел отношения последующего (n+1) члена ряда к предыдущему (n). Модули здесь не особо нужны, так как все члены ряда и так положительны, т.е. если сходимость есть, то она заодно и абсолютная.
= = = =0.
Итак, , ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 6.
Решение. Запишем предел отношения модуля (n+1) члена ряда к модулю n-го. При этом мы отбрасываем знакочередование.
= = =
= .
Итак, , ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 7. Выяснить сходимость ряда: .
Решение. По признаку Даламбера.
, = .
Тогда = =
= = .
ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 8. Выяснить сходимость ряда .
Решение. По признаку Даламбера.
, Тогда = =
= = = = , ряд расходится.
Ответ. Расходится.
Задача 9. Выяснить сходимость ряда .
Решение. Здесь можно действовать по радикальному признаку Коши.
= = = =
используя 2-й замечательный предел, получаем . , ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 10. Выяснить сходимость ряда .
Решение. По радикальному признаку Коши:
= = = . Здесь даже не надо использовать 2-й замеч. предел, так как нет неопределённости: и числитель, и знаменатель стремятся каждый к конечному числу.
= = < 1, абсолютно сходится.
Так как мы изначально рассматривали модуль, то сходимость абсолютная.
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 11. Выяснить сходимость ряда .
Решение.Заметим, что , тогда . Таким образом, , то есть слагаемые не уменьшаются и не стремятся к нулю, тогда по необходимому признаку ряд расходится. Не выполнено необходимое условие сходимости (слагаемые должны уменьшаться к 0 при росте n).
Ответ. Расходится.
ПРАКТИКА № 19
Задача 1.Найти область сходимости ряда .
Решение. По радикальному признаку Коши, = , тогда , аналогичное неравенство можно получить и по признаку Даламбера:
= .
Это равносильно выполнению одновременно двух неравенств: .
Для правого неравенства, получаем , корни , оно верно для .
Для левого неравенства, , но это выполняется на всей числовой прямой, т.к. корней нет, а ветви этой параболы направлены вверх. Верно для . Пересечением этих двух множеств является интервал .
Также легко заметить, что в граничных точках ряд принимает вид
, расходится.
Ответ. абсолютно сходится в .
Задача 2. Найти область сходимости ряда .
Решение. По признаку Коши, = , тогда . Из правого неравенства следует , т.е. .
Из левого неравенства, , , .
Проверяем граничные точки. расходится,
, тоже расходится.
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .
Задача 3. Найти область сходимости ряда .
Решение. = =
.
В обеих граничных точках получим = , расходится.
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .
Задача 4. Найти область сходимости ряда .
Решение. =
.
В граничных точках получим и , эти ряды расходятся.
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .
ПРАКТИКА № 20
Первые 45 минут:
Повторение и контрольная работа на 30 минут (3 задачи).
1. формула Муавра.
2. Числовые ряды.
3. Функциональные ряды.
Вторые 45 минут:
Задача 1. Найти сумму ряда .
Решение. Здесь степень не соответствует коэффициенту, то есть прямое интегрирование или дифференцирование не избавит от наличия коэффициента. Производная равна а первообразная . Но вот если бы степень была (n-1) то всё бы получилось. Так вот, мы можем сделать сдвиг степени, и получить более удобное выражение, если вынести за скобку, то есть за знак ряда.
= = = .
Теперь обозначим новое выражение через и для него уже задача вполне решаема тем методом, который изучили ранее.
, где . Первообразная от это
= = = .
= = = . Вспомним про то, что мы отделили одну степень, чтобы улучшить функцию. А сейчас мы нашли . При этом . Тогда ответ = .
Ответ. = .
Задача 2. Доказать с помощью почленного дифференцирования формулу:
Решение.
но ведь это и есть геометрическая прогрессия и её сумма: .
Ряды Тейлора.
Задача 3. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .
Решение. Сначала определим круг сходимости ряда. Центр в 0, так как требуется разложить по степеням , т.е. в ряде должны быть только степенные функции типа то есть центр 0.
Ближайшая точка разрыва это . Поэтому круг радиуса 2 с центром в нуле, т.е. .
Дальше, чтобы получать в знаменателе структуру типа , есть 2 пути: вынести за скобку либо либо 2.
= = либо
= = = .
Но ведь , поэтому а , так что первый вариант использовать нельзя, ведь там получилось бы и нельзя считать по формуле сходящейся геометрической прогрессии, для которой должно быть обязательно . Поэтому выносим за скобку именно константу, а не .
Итак, = = = это и есть требуемое разложение в степенной ряд Тейлора. Его можно также записать в виде .
Ответ. .
Задача 4. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .
Решение.В данном случае расстояние от центра до ближайшей точки разрыва равно 3. Условие круга .
= = = =
Выражение по модулю меньше 1, так как . Поэтому можно рассматривать это как сумму некоторой сходящейся геометрической прогрессии. Тогда
= = .
Ответ. .
Задача 5. Найти для .
Решение. Рассмотрим разложение в ряд Тейлора. Прогрессия здесь не нужна, можно воспользоваться известной формулой для синуса.
= =
Здесь нам нужен только коэффициент при степени 10.
. Ответ.10.
Задача 6. Найти для .
Решение. = = Извлекаем слагаемое при степени 8 и сравниваем его с теоретическим значением.
= = = .
Ответ. = 21.
ПРАКТИКА № 22. Ряды Фурье.
Задача 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на (-1,1).
Решение. Так как функция нечётная, то все коэффициенты и равны 0. Поэтому считаем только . Учитываем, что .
. Вычисляем интеграл по частям.
, , , . Тогда
=
так как косинус чётная функция, то далее = = = . Ответ. .
Задача 2. Разложить в триг. ряд Фурье на (-1,1)
Решение. Заметим, что функция нечётная. То есть, f это сумма нечётной и константы. Таким образом, коэффициенты здесь тоже окажутся равны 0. Надо вычислить и .
= = , .
. Вычисляем интеграл по частям.
, , , . Тогда
=
= = = = .
Ответ. Ряд Фурье: .
Замечание. Для поиска коэффициентов можно было воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.
=
первое слагаемое содержит интеграл, равный в итоге а второе равно 0. Тогда = .
Задача 3. Найти ряд Фурье для
Решение. Здесь функция не является чётной либо нечётной, поэтому надо будет искать все коэффициенты.
При этом, на левой и правой части интервала надо считать отдельно, ведь там функция задана по-разному.
= = , .
. Первый интеграл вычисляется методом «по чсатям», второй просто в один шаг.
Кстати, для убодства вычислений можно раскрыть скобки и объединить так:
= . Тогда интеграле по частям остаётся не скобка, а только .
, , , . Тогда
=
= = =
= = .
=
В первом , , , . Тогда
=
= =
Ответ. Ряд Фурье: .
Ниже показан чертёж к этой задаче, получившийся в результате работы программы. Видно, что чем больше n, тем более точно кривая огибает ломаную.
Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье: .
Решение. Здесь функция ступенчатая, поэтому вычислять интегралы по частям не придётся, будет в 1 шаг. Но разбивать на две части надо, т.к. функция задана по-разному справа и слева от 0. Кроме того, надо учесть, что здесь.
= = 6. Тогда . Кстати, это и есть средняя высота графика этой функции.
=
так как синус любого угла, кратного , есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов. Впрочем, об этом можно было догадаться и сразу и не считать интегралы: ведь если сместить этот график вниз на 3, то получится нечётная функция.
= = притом здесь мы уже сразу учли чётность косинуса, что .
Итак, = = = .
Ответ. Ряд Фурье: .
Задача 5. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на интервале (-1,1).
Решение. Сначала исследуем, что такое и как это выражение ведёт себя на разных частях интервала: .
Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен 0. Остаётся только на (0,1).
, . интегрируем по частям: , , , .
Тогда = =
= .
тоже по частям,
, , , .
Тогда =
= = .
Ответ. .
ПРАКТИКА № 23 (последняя).
1. Контрольная работа по рядам Тейлора, Лорана,Фурье.
2. Написание пропущенных контрольных задач за семестр.
Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию
Практика № | 446-1 | 446-2 |
14.02.17 | 14.02.17 | |
21.02.17 | 17.02.17 | |
21.02.17 | 21.02.17 | |
28.02.17 | 28.02.17 | |
07.03.17 | 03.03.17 | |
10.03.17 | 07.03.17 | |
14.03.17 | 14.03.17 | |
21.03.17 | 17.03.17 | |
24.03.17 | 21.03.17 | |
28.03.17 | 28.03.17 | |
04.04.17 | 31.03.17 | |
07.04.17 | 04.04.17 | |
11.04.17 | 11.04.17 | |
18.04.17 | 14.04.17 | |
21.04.17 | 18.04.17 | |
25.04.17 | 25.04.17 | |
02.04.17 | 28.04.17 | |
05.04.17 | 02.05.17 | |
16.05.17 | 12.05.17 | |
19.05.17 | 16.05.17 | |
23.05.17 | 23.05.17 | |
30.05.17 | 26.05.17 | |
02.06.17 | 30.05.17 |
ПРАКТИКА № 18 Числовые ряды.
Задача 1.Найти сумму ряда. .
Решение. Чтобы разбить на группы слагаемых, часть из которых будет взаимно сокращаться, сначала разложим знаменатель на множители: затем надо разбить на простейшие дроби. = , откуда , , получаем систему , отсюда .
Тогда ряд можно представить так: = = Здесь для любого знаменателя, начиная от 3 и выше, всегда есть отрицательная дробь с таким знаменателем, а через 2 шага точно такая же положительная. Таким образом, сокращается всё, кроме .
Ответ. .
Выяснить сходимость.
Задача 2. Выяснить, сходится или расходится ряд .
Решение. По интегральному признаку Коши, можем рассмотреть несобственный интеграл, эквивалентный данному ряду по сходимости. = = = = .
Интеграл расходится, значит, и ряд расходится.
Ответ.Расходится.
Задача 3. Выяснить, сходится или расходится ряд .
Решение.Заметим, что для любого . Тогда ряд (по признаку сравнения) можно ограничить сверху другим рядом, < , который, в свою очередь, сходится, так сходится эквивалентный ему несобственный интеграл (заменяем по интегральному признаку Коши). Итак, ответ: ряд сходится (добавим, что сходится абсолютно, так как все слагаемые и так положительны).
Ответ.Сходится.
Задача 4. Выяснить, сходимость ряда .
Решение.По признаку сравнения в непредельной форме, , таким образом, этот ряд получается больше, чем некоторый расходящийся > . Гармонический ряд расходится, это было доказано в лекциях ранее. Поэтому ответ: расходится.
Замечание. Здесь есть и 2-й способ - по интегральному признаку Коши. Ряд эквивалентен интегралу = =
= .
Ответ.Расходится.
Выяснить сходимость по признаку Даламбера:
Задача 5. Выяснить, сходимость ряда .
Решение. Запишем предел отношения последующего (n+1) члена ряда к предыдущему (n). Модули здесь не особо нужны, так как все члены ряда и так положительны, т.е. если сходимость есть, то она заодно и абсолютная.
= = = =0.
Итак, , ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 6.
Решение. Запишем предел отношения модуля (n+1) члена ряда к модулю n-го. При этом мы отбрасываем знакочередование.
= = =
= .
Итак, , ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 7. Выяснить сходимость ряда: .
Решение. По признаку Даламбера.
, = .
Тогда = =
= = .
ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 8. Выяснить сходимость ряда .
Решение. По признаку Даламбера.
, Тогда = =
= = = = , ряд расходится.
Ответ. Расходится.
Задача 9. Выяснить сходимость ряда .
Решение. Здесь можно действовать по радикальному признаку Коши.
= = = =
используя 2-й замечательный предел, получаем . , ряд сходится (абсолютно).
Ответ. Сходится абсолютно.
Задача 10. Выяснить сходимость ряда .
Решение. По радикальному признаку Коши:
= = = . Здесь даже не надо использовать 2-й замеч. предел, так как нет неопределённости: и числитель, и знаменатель стремятся каждый к конечному числу.