Определение модуля сдвига стали динамическим методом

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Под влиянием внешних сил всякое тело изменяет свою форму и размеры, т.е. деформируется. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Существуют различные типы деформации: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение.

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу (рис. 1).

Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД, параллельная ВС, закреплена неподвижно. Так как угол мал, формулу можно записать в виде:

(1)

где СС₁=ΔX- абсолютный сдвиг, γ - угол сдвига, называемый также относительным сдвигом, выражается в радианах.

По закону Гука относительный сдвиг γ пропорционален касательному напряжению F/S, где S - площадь поверхности грани ВС, т.е.

, (2)

где N - модуль сдвига:

. (3)

Модуль сдвига равен касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице (при условии, что закон Гука выполняется).

Если проволоку или стержень, закрепленные с одного конца, закручивать, прилагая к другому концу пару сил F с моментом, равным М, то стержень (проволока) претерпевает деформацию кручения, при которой одно его основание поворачивается по отношению к другому, фиксированному, на некоторый угол φ - угол кручения. По закону Гука:

. (4)

Модуль кручения f показывает, какой момент силы нужно приложить, чтобы закрутить проволоку на угол в 1 рад.

В результате деформации кручения возникает перекос образующих цилиндрической поверхности стержня (рис. 2), причем

(5)

Поэтому расчет деформации кручения может быть сведен к расчету деформации сдвига. Приведем без вывода соотношение, существующее между модулем кручения f и модулем сдвига N материала проволоки

(6)

где r, l - соответственно радиус и длина проволоки. Модуль кручения зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки. Из формулы (6) имеем

(7)

Таким образом, модуль сдвига материала можно найти, зная модуль кручения, радиус и длину проволоки.

Динамический метод измерения модуля кручения основан на зависимости периода Т крутильных колебаний маятника, подвешенного на проволоке, от упругих свойств материала проволоки. Крутильным маятником служит рейка К с надетыми на нее цилиндрическими грузами Р, подвешенная на проволоке длиной L,радиусом r (см. рис. 3).

Если колеблющиеся тела совершают вращательное движение, то к ним может быть применен основной закон динамики вращательного движения:

(8)

где М - вращающий момент относительно оси АВ, J - момент инерции тела относительно той же оси, - угловое ускорение.

Учитывая (4) и (8) можно переписать в виде:

(9)

Знак минус говорит о том, что вращающий момент сдвига направлен так, чтобы уменьшить угловое отклонение.

Таким образом, тело совершает гармонические колебания, периоды которых можно найти из условия, что множитель пропорциональности между и φ в уравнении (9) в данном случае f/J должен быть равен:

, т.е. .

Откуда

, (10)

где Т - период колебания маятника.

Чтобы найти f, необходимо исключить неизвестный момент инерции J. Для этого в задаче определяются два периода колебаний маятника. Используя возможность передвижения груза Р на рейке установки, меняем расстояние от оси вращения. В соответствии с l₁ и l₂ получаем моменты инерции J₁ и J₂.

, , (11)

где J₀ - момент инерции рейки крутильного маятника. Периоды колебаний будут соответственно равны:

, Þ . (12)

Решая совместно два последних уравнения, получим формулу для расчета модуля кручения проволоки крутильного маятника:

. (13)

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА изображена на рис. 4. Крутильный маятник представляет собой стальной цилиндр Ц с двумя рейками С, подвешенный с помощью двух стальных проволок к неподвижному кронштейну К. Момент инерции маятника J можно изменять перемещая вдоль реек одинаковые стальные цилиндры m.

ЗАДАНИЕ

1. Измерить L₁, L₂ и радиус проволоки r.

2. Снять зависимость периода Т полного колебания крутильного маятника от момента инерции , измеряя время t пятидесяти полных колебаний.

3. Результаты эксперимента занести в таблицу.

i, j
, мм
t, с
T, с

4. Используя соотношения:

, кг/м³, m=0,64 кг, =3,4, =1.2, вычислить N_ji. Оценить погрешность измерения модуля сдвига стали.

5.Результаты вычислений занести в таблицу.

j,i	N,1010Н/м2	Nср,1010 Н/м2	ΔN,1010 Н/м2	ΔNср,1010Н/м2
3, 1
3, 2
4, 1
4, 2

6.Результат эксперимента представить в виде

Н/м².