Определение величины случайных погрешностей

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений. Для этого должны быть известны вероятностные и статистические характеристики:

• закон распределения,
• закон математического ожидания,
• среднее квадратическое отклонение (СКО),
• доверительная вероятность и доверительный интервал.
1. Закон распределения.

Для предварительной оценки закона распределения параметра часто используют относительную величину СКО — коэффициент вариации:

или (11)

Например, при ν_х < 0,33,...,0,35 можно считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону.

1. Математическое ожидание.

В качестве математического ожидания при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое значение .

(12)

При отсутствии систематических погрешностей в результатах многократных измерений одной и той же величины в одних и тех же условиях, математическое ожидание можно рассматривать как наибольшее приближение к истинному значению измеряемой величины.

1. Среднее квадратическое отклонение (СКО).

Тем не менее, величина , полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к х_и. Для оценки ее возможных отклонений от х_и определяют опытное среднее квадратическое отклонение (CKO)

(13)

Для оценки рассеяния отдельных результатов х измерения относительно среднего определяют СКО по формуле: (6):

или, подставляя в них выражение (11):

при n≥20

при n<20 (14)

Формулы (13) и (14) соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой

(15)

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет меньшую погрешность, чем погрешность каждого определенного измерения. Из этого следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключении систематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

Нужно четко разграничивать применение формул (13) и (14): величина (14) используется при оценке погрешностей окончательного результата, а (13) — при оценке погрешности метода измерения.

1. Доверительная вероятность и доверительный интервал.

Если Р означает вероятность α того, что результата измерения отличается от истинного на величину не более чем , то в этом случае Р — доверительная вероятность, а интервал от до — доверительный интервал. Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа — величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нормальному закону (а это как правило), то вместо значения указывается σ_x Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность Р. Например: при =σ_x значение Р=0,68; при = 2σ_x значение Р= 0,95; при = 3σ_x значение Р= 0,99 (см. основы теории вероятности выше).

Доверительная вероятность характеризует вероятность того, что отдельное измерение х_i не будет отклоняться от истинного значения более чем на . Безусловно, важнее знать отклонение от истинного значения среднего арифметического ряда измерений.

До сих пор рассматривались оценки СКО по "необходимому" (достаточно большому) числу измерений. В этом случае σ² называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10—20) получают так называемую выборочную дисперсию . Причем →σ² лишь при n→∞. То есть если считать, что =σ², то надежность оценки снижается с уменьшением n, а значения доверительной вероятности Р завышаются.

Поэтому при ограниченном числе измерений n вводят коэффициент Стьюдента t_p, определяемый по специальным таблицам (см. ниже) в зависимости от числа измерений и принятой доверительной вероятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью Р в интервале

(16)

и отличается от действительного значения на относительную величину

. (17)