Следовательно, 0, 6, 4, 7 – в. ц
х » 74600 × 10 4 (правила 1, 3)
Если приближенное значение числа дано без указания границы абсолютной погрешности, то ее можно определить по записи этого приближенного значения, используя определение верной и сомнительной цифр приближенного значения числа.
Пример:
1. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 3,14.
Решение:
Так как в записи данного приближенного числа все цифры верные, то абсолютная погрешность не должна превосходить единицы разрядов этих цифр, то есть D х £ 1, D х £ 0,1 , D х £ 0,01.
Следовательно, абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы наименьшего разряда, в котором стоит верная цифра.
D х£ 0,01 , следовательно, h = 0,01.
Ответ: х = 3,14 ± 0,01
2. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 2175000.
Решение:
Так как в записи числа выписаны все нули, то нули разрядов 100 , 10 , 1 являются верными. Абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы наименьшего разряда, в котором стоит верная цифра, то есть D х £ 1 , h = 1.
Ответ:х = 2175000 ± 1
3. Указать абсолютную погрешность приближенного числа а = 173 × 10 4.
Решение:
Согласно правилу №3 записи приближенных чисел на сомножитель 104 заменены нули, являющиеся сомнительными цифрами. Следовательно, первой (с конца) верной цифрой является цифра 3 в разряде десятков тысяч (10000). Абсолютная погрешность приближенного числа не превосходит единицы наименьшего разряда, в котором стоит верная цифра, то есть
D х £ 10000 , h = 10000.
Ответ:х = 173 × 10 4 ± 10000
Вывод: Граница абсолютной погрешности приближенного числа равна разряду последней верной цифры этого числа.
Определение: Все верные цифры приближенного числа, начиная с первой отличной от нуля цифры, называются значащими.
Пример: Определить значащие цифры в приближенном значении числа:
1. х = 3,14 ± 0,01
В приближенном значении 3,14 все цифры верные, так как h не превосходит единицу разряда последней цифры 4 (h = 0,01 £ 0,01). Следовательно, все они являются значащими. 3, 1, 4 – значащие цифры.
2. х = 30,509 ± 0,01
Цифра 9 в 0,001 является сомнительной, так как h = 0,01 ³ 0,001.
Цифра 0 в 0,01 является верной, так как h = 0,01 £ 0,01.
Следовательно, 5, 0, 3 – верные цифры.
Значащими являются только верные цифры, то есть 3, 0, 5, 0 – значащие цифры.
3. х = 0,0973 ± 0,0002
Цифра 3 в 0,0001 является сомнительной, так как h = 0,0002 ³ 0,0001.
Цифра 7 в 0,001 является верной, так как h = 0,0002 £ 0,001.
Следовательно, 9, 0, 0 – верные цифры.
Все верные цифры приближенного числа, начиная с первой отличной от нуля цифры, называются значащими, следовательно, 9, 7 – значащие цифры.
Вывод: Значащими цифрами не являются сомнительные цифры и верные нули, стоящие впереди числа.
Упражнения:
1. Определить верные и сомнительные цифры, значащие цифры в приближенном значении числа:
а) х = 609 ± 0,04; в) х = 0,067 ± 0,005; д) х = 4,289 ± 0,2;
б) х = 749,3 ± 5; г) х = 14,08 ± 0,01; е) х = 428,7 ± 20.
2. Указать абсолютную погрешность приближенного числа, если в записи приближенных значений все цифры верные:
а) а = 14,5 × 10; г) а = 34,20; к) а = 542,3 × 10; в) а = 748,56;
б) а = 263 × 10 4; д) а = 759,00; з) а = 1,0000; и) а = 147,3 × 10 3.
3. Найти относительную погрешность приближенного значения числа:
а) х = 19,83; а = 19,76; в) х = 32,301; а = 32,287;
б) х = 7,013; а = 7,028; г) х = 1045,6; а = 1027,9.
6. Какова точность данных приближенных равенств, если в записи приближенных значений все цифры верные:
а) х » 1,25; б) у » 1,25 × 10 2; в) z » 13,20; г) и » 1,51 × 10 –3.
7. С какой точностью указаны в справочнике старинные меры веса:
а) 1 пуд » 16,380 кг; б) 1 фунт » 0,40951 кг.
8. Указать значащие цифры в приближенном значении числа х » 31,9 , если
Е = 1,5 %.
4. Округление чисел.
Стандартный вид числа
В приближенных вычислениях часто приходится округлять числа, как приближенные, так и точные, то есть отбрасывать одну или несколько последних цифр. Существует три способа округления чисел.
Округление с недостатком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с недостатком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра не изменяется.
Округление с избытком: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с избытком, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями, при этом последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Пример:
Округлить данные числа до указанного разряда, используя способы округления с недостатком и избытком. Найти ошибку округления. Какой способ округления лучше? 1. х = 39,2; 2. х = 472,387; 3. х = 1926; 4. х = 83519,4.
Решение:
1. 39,2 » 39; D х1 = ½39,2 - 39½ = 0,2;
39,2 » 40; D х2 = ½39,2 - 40½ = 0,8;
D х1 < D х2 , следовательно, округление с недостатком числа 39,2 лучше.
2. 472,387 » 472,3; D х1 = ½472,387 - 472,3½ = 0,087;
472,387 » 472,4; D х2 = ½472,387 - 472,4½ = 0,013.
D х2 < D х1 , следовательно, округление с избытком числа 472,387 лучше.
3. 1926 » 1920; D х1 = ½1926 - 1920½ = 6;
1926 » 1930; D х2 = ½1926 - 1930½ = 4.
D х2 < D х1 , следовательно, округление с избытком числа 1926 лучше.
4. 83519,4 » 83500; D х1 = ½83519,4 - 83500½ = 19,4;
83519,4 » 83600; D х2 = ½83519,4 - 83600½ = 80,6.
D х1 < D х2 , следовательно, округление с недостатком числа 83519,4 лучше.
Округление с наименьшей погрешностью: Чтобы округлить число до единиц п-ого разряда с наименьшей погрешностью, отбрасывают все его цифры после п-ого разряда или заменяют их нулями. При этом если первая округляемая цифра меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется; а если первая округляемая цифра больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Замечание:
Если округляемая цифра принадлежит дробной части числа, то она отбрасывается. Если округляемая цифра принадлежит целой части числа, то она заменяется нулем.