Краткие тЕоретические сведения

Нагрузка называется ударной, если она прикладывается за очень короткий промежуток времени. Удар, например, возникает при падении одного тела на другое. Скорость ударяемого груза весьма быстро доходит до нуля, а напряжения и деформации в ударяемом теле достигают наибольших значений. Затем происходит постепенное затухание колебаний тел и устанавливается статическое равновесие, т.е. напряжения и деформации уменьшаются до величин соответствующих статическому приложению ударяющего груза.

Необходимо отметить, что точное решение задачи при ударе очень сложное; трудности вызываются такими факторами, как волновой характер деформаций, пластическими свойствами различных материалов и т.д. Для упрощения решения задачи вводятся некоторые допущения и ограничения.

Будем рассматривать такие задачи, где удар вызывает только упругие деформации и только первый период удара, когда скорость ударяющего груза падает от максимума до нуля и в момент соприкосновения с ударяемым телом остается связанным с ним во время всего дальнейшего движения.

Будем также считать, что ударяющий груз является абсолютно жестким телом, а также допустим, что деформации в стержне от ударяющего груза распространяющиеся по всей длине, подчиняются закону Гука, т.е. связь между динамическими силами (напряжениями) и перемещениями (деформациями) остается такой же, как и при статической нагрузке.

В момент удара происходит быстрое превращение кинетической энергии ударяющего тела в потенциальную энергию тела, подвергающегося удару. Энергия ударяющего тела может быть выражена как произведение веса этого тела на пройденный им путь

,

где - высота падения тела;

- обобщенное динамическое перемещение.

Потенциальная энергия ударяющего тела определяется

.

Рассмотрим сначала расчет на удар в случаях, когда масса упругого тела, подвергающегося удару, мала и ее при расчете можно принять равной нулю. Тогда

или

. (7.1)

Уравнение (7.1) является основным для решения задач по теоретическому определению деформаций и напряжений в теле при ударе. Рассмотрим два примера расчета при ударном действии нагрузок.

а) продольный растягивающий или сжимающий удар.

Рис. 7.1. Схема приложения ударной нагрузки к стержню

Продольный стержень (рис. 7.1) длиной , сечением , модуль упругости которого , закреплен в точке . На выступ стержня с высоты падает груз весом , вызывая перемещение .

Потенциальная энергия деформации равна

, .

Откуда

.

Тогда

.

Энергия ударяющего груза равна

.

Приравнивая и , на основании уравнения (7.1) получим

.

После преобразований имеем

.

В этом уравнении - деформация стержня от статического приложения к нему силы .

Решая последнее уравнение, получим

,

.

Тогда

,

где - коэффициент динамичности,

. (7.2)

Напряжение в стержне при ударе будет равно

,

где - статическое напряжение.

б) поперечный (изгибающий удар).

Рис. 7.2. Схема приложения ударной нагрузки к двухопорной балке

На балку пролетом с высоты падает груз весом (рис. 7.2.). Динамический прогиб будет равен

,

где .

Выражая , получаем

.

Потенциальная энергия деформации балки равна

или .

С другой стороны кинетическая энергия падающего груза

.

На основании уравнения (7.1) имеем

или

.

Т.к. , то окончательно имеем

.

Решая уравнение, получаем формулу, аналогичную формуле при продольном ударе, а именно

или

.

Обобщая оба примера, можно записать

; ; .

Из формулы для коэффициента динамичности видно, что тем меньше, чем больше перемещение . Следовательно, для понижения необходимо увеличивать податливость деформируемой системы при ударе. Это можно обеспечить, например, применением пружин. Если высота падения груза весьма велика по сравнению с , то величина динамического коэффициента определяется по приближенной формуле:

.

В рассмотренных примерах не учитывалась кинетическая энергия стержня или балки, т.е. мы считали, что масса стержня, подверженного удару, равна нулю, а скорость ударяющего груза в момент удара остается неизменной. В действительности в момент удара груз теряет, а стержень приобретает скорость, и скорость груза будет изменяться до тех пор, пока стержень в месте удара и груз не приобретут общей скорости, т.е. необходимо учитывать волновой характер удара.

Оценка влияния массы стержня очень сложна. Для этого случая удара по упругой системе с распределенной по ее длине массой коэффициент динамичности определяется по формуле

,

здесь - вес стержня;

- коэффициент приведения массы по количеству движения

.

- коэффициент приведения массы кинетической энергии

.

Окончательно, при учете массы упругой системы, подвергающейся удару, коэффициент динамичности определяется

, (7.3)

где коэффициент для случая изгибающего удара по середине балки, лежащей на двух опорах равен ; для случая продольного удара - .

Если внешние силы периодически меняются во времени, тогда возникают вынужденные колебания (вибрация) конструкции.

Вибрация представляет собой особую опасность. Если действие удара предопределяется силой удара и жесткостью конструкции, воспринимающей удар, то удар локализируется на тем меньшей части сооружения, чем больше скорость удара, и не распространяется дальше аналогичного статического воздействия. В силу сказанного удар легче учесть и предусмотреть возможные его последствия. С вибрационными нагрузками дело обстоит иначе. Их эффект может проявляться в наибольшей мере не там, где его естественно всего ожидать - в непосредственной близости от нагрузки, а в удаленных от нагрузки местах. Наряду с этой особенностью вибрационных нагрузок - отсутствие локализации воздействий - стоит и вторая, еще более опасная особенность: отсутствие прямой зависимости между интенсивностью нагрузки и вызванным ее эффектом. Малая нагрузка может вызвать сильный и опасный эффект, в то время как большая нагрузка дает ничтожное воздействие. Это явление объясняется резонансом.

Если какой либо силой загрузить систему (например, балку на рисунке 7.2), а затем эту нагрузку, под влиянием которой система совершила деформацию, снять, то балка начнет колебаться под действием сил упругости. Такие колебания называются свободными, и они совершаются с определенной частотой, называемой частотой свободных колебаний системы. Если же к системе, совершающей свободные колебания, периодически прикладывать внешнюю силу, то эта сила вызывает дополнительные колебания - вынужденные - со своей частотой . В случае совпадения частоты вынужденных колебаний с частотой собственных колебаний и возникает явление резонанса, приводящее к резкому росту амплитуды с течением времени. Эта амплитуда может достигнуть большой величины и нарушить условия эксплуатация конструкции или даже ее разрушить. Известны огромные катастрофы мостов, отдельных сооружений и машин из-за резонанса.

Так как частота колебаний вибрационных нагрузок обычно является величиной заданной, то важное значение приобретает определение частот свободных колебаний.

После удара начинаются свободные (собственные) колебания балки с грузом, частоту и период которых можно определить по приближенным формулам:

, (1/с) (7.4)

. (7.5)

Учет массы производится подобно тому, как это делалось при ударе.

Тогда частота и период определяется по следующим формулам

; , (7.6)

где - приведенная статическая деформация от действия приведенной в одной точке нагрузки ,

- собственный вес стержня.

Для случая колебаний однопролетной балки (рис. 7.2)

,

где .

График колебаний (рис. 7.3) показывает, что собственные колебания упругих систем очень быстро затухают. Скорость затухания зависит от сил сопротивления системы и при сопротивлении, пропорциональном скорости движения, характеризуется логарифмическим декрементом затухания.

, (7.7)

где - максимальная амплитуда;

- произвольная амплитуда через промежуток времени .

Рис. 7.3. График перемещений точки на балке

Коэффициент затухания определяется как

. (7.8)