Вычисление координат вершин теодолитного хода

3.5.1. Вычисление координат замкнутого теодолитного хода

1. Обработка и увязка углов хода.

Обработка углов ведется в ведомости (табл. 5) и начинается с того, что в гр. 1 вписывают номера вершин теодолитного хода по порядку, в гр. 2 - горизонтальные углы, вычисленные в журнале угловых измерений, в гр. 5 – исходный дирекционный угол a_О-П , полученный из решения обратной геодезической задачи или заданный преподавателем, в гр.9 – горизонтальные положения сторон хода, а в гр. 16, 17 – координаты исходного пункта (примычного пункта).

Таблица 5

Ведомость вычисления координат вершин теодолитного хода

(замкнутый ход)

№ вершины хода	Измеренный угол b	Поправ-ка u	Исправленный угол bисп	Дирекцион-ный угол a	Осевой румб r	cosr	sinr	Горизонталь-ное проло-жение d, м
О
				319°51,5¢
1(П)	171°12,0¢	-	171°12,0¢
				328°39,5¢	СЗ:31°20,5¢	0,85409	0,52014	236,71
	97°29,8¢	+0,2¢	97°30,0¢
				51°09,5¢	СВ:51°09,5¢	0,62717	0,77888	188,03
	123°37,2¢	+0,2¢	123°37,4¢
				107°32,1¢	ЮВ:72°27,9¢	0,30129	0,95354	261,44
	104°19,0¢	+0,2¢	104°19,2¢
				183°12,9¢	ЮЗ:3°12,9¢	0,99842	0,056084	173,85
	107°42,0¢	+0,2¢	107°42,2¢
				255°30,7¢	ЮЗ:75°30,7¢	0,25018	0,96820	271,75
	106°51,0¢	+0,2¢	106°51,2¢
				328°39,5¢

Sb_изм = 539°59,0¢

Su = +1,0¢

Sb_исп = 540°00,0¢

Sd = 1131,78

Sb_теор = 540°

f_b = -1.0¢

f_bдоп = ±2,2¢

Продолжение табл. 5

Вычисленные приращения	Исправленные приращения	Координаты	№ вершины хода
DC	dХ	DU	dU	DC	DU	Х	U
								О
						68356,42	10653,74	1(П)
+202,17	+0,05	-123,12	+0,05	+202,22	-123,07
						68558,64	10530,67
+117,93	+0,04	+146,45	+0,04	+117,97	+146,49
						68676,61	10677,16
-78,77	+0,05	+249,29	+0,05	-78,72	+249,34
						68597,89	10926,50
-173,58	+0,04	-9,75	+0,04	-173,54	-9,71
						68424,35	10916,79
-67,99	+0,06	-263,11	+0,06	-67,93	-263,05
						68356,42	10653,74	1(П)

SDC = -0,24;Sd_Х =+0,24;SDU = -0,24;Sd_U =+0,24;SDC_исп=0,00;

f_X = -0,24; f_Y = -0,24; SDU_исп =0,00;

f_абс = =0,34;

_{= ..}

Затем подсчитывают практическую сумму измеренных углов замкнутого хода

Sb_изм = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ + b₅ (11)

и сравнивают ее с теоретической суммой Sb_теор , определяемой по формуле

Sb_теор = 180°(п – 2) , (12)

где n – число вершин углов хода.

Определить величину угловой невязки теодолитного хода f_b как разность между суммой измеренных углов и теоретической суммой по формуле

f_b =Sb_изм - Sb_теор . (13)

Определить допустимую угловую невязку теодолитного хода по формуле

f_bдоп =±1¢ . (14)

В нашем примере (табл. 5) f_b = -1,0¢

Если f_b £ f_bдоп , а в нашем случае | - 1,0 | < 2,2 , то f_b распределяют поровну на все углы, т.е. в каждый угол вводят поправку u (гр. 3), обратную по знаку неявки. Сумма введенных поправок должна равняться невязки с обратным знаком

Su = -f_b . (15)

Пример. Если невязка f_b = + 0.8¢, а число углов n = 5, то в три любые угла вводится поправка u по –0.2¢, а в два угла по –0.1¢, что в сумме составит Σu = -0.8¢.

Исправленные углы вычисляются по формуле

b_исп = b + u (16)

и записывают в гр. 4. Сумма исправленных углов должна быть равна теоретической сумме

Sb_исп = Sb_теор . (17)

Примеры вычислений см. в табл. 5.

2. Вычисление дирекционных углов хода.

По увязанным (исправленным) углам и исходному дирекционному углу вычислить дирекционные углы всех остальных сторон хода по формуле

a_п = a_п-1 + 180° - b , (18)

где a_п и a_п-1 - дирекционные углы сторон, соответственно, последующий и предыдущий;

b - внутренний правый по ходу (увязанный) угол при вершине.

Вычисленные углы записываются в гр. 5.

Пример. a_О-П = 319˚51,5¢, a_П-2 =?, a_2-3 = ?.

Уголы, образованный этими сторонами, b_Пр = 171˚12¢, b₂ = 97˚30¢.

Пользуясь формулой (18), находим aП-2 и a2-3

a_П-2 = 319˚51,5¢ + 180˚ - 171˚12¢ = 328˚39,5¢,

a_2-3= 328˚39,5¢ + 180˚ - 97˚30¢ = 411˚09,5¢.

Последовательное вычисление дирекционных углов всех сторон хода должно привести к величине дирекционного угла стороны П–2 (1-2), что и служит контролем правильности производимых вычислений.

Примечание. 1) Если при пользовании формулой (18) (a_п-1 + 180°) < b , то к (a_п-1 + 180°) необходимо прибавить 360˚.

2) Если a_п получилось больше 360˚ , то 360˚ отбрасывается (вычитается). Например, дирекционный угол стороны 2-3 получился равным a_2-3 = 411˚09,5¢, следовательно, отбросив 360˚, получим a_2-3 = 51˚05,5¢.

3. Вычисление румбов.

По дирекционным углам вычислить осевые румбы, пользуясь известными соотношениями между румбами и дирекционными углами, представленными в табл. 3, и записать в гр.6.

Например, a_П-2 = 328˚39,5¢, определить румб r_П-2 . Поскольку a_П-2 относится к IV четверти, то, как видно из табл. 3, румб вычисляется по формуле r =360°- a = 360° - 328°39,5¢ = С3: 31°20,5¢.

4. Вычисление приращений прямоугольных координат производится по формулам:

DC = d cosr ,

DU = d sinr , (19)

где d – горизонтальное положение;

r – румб.

Получение приращения записываются в гр. 10,12. Знаки приращения определяют по названию румбов (табл. 3).

5. Определение невязок и уравнивание приращений координат точек хода.

Для определения невязок в приращения координат подсчитать алгебраические суммы вычисленных приращений координат SDC и SDU.

Невязки в приращениях координат вычисляются по формулам:

f_X = SDC - SDC_теор ;

f_Y = SDY - SDY_теор . (20)

В замкнутом полигоне теоретическая сумма приращений равна 0, т. е.

SDC_теор= 0;

SDY_теор= 0; (21)

следовательно, невязка в приращениях координат теодолитного хода равна сумме приращений, т. е.

f_X = SDC ;

f_Y = SDY . (22)

По полученным линейным невязкам f_X и f_Y определить:

а) абсолютную линейную невязку в периметре теодолитного хода по формуле

f_абс = ; (23)

б) относительную невязку в периметре хода по формуле

f_отн , (24)

где P – периметр хода, м.

Периметр хода равен сумме горизонтальных проложений его сторон

P = ∑d. (25)

Пример. В результате алгебраического суммирования вычисленных приращений (гр. 10,12) получены невязки (табл. 5):

f_X = - 0,24;

f_Y = - 0,24.

Тогда абсолютная линейная невязка в периметре определяется по формуле (23):

f_абс = = ±0,34 м ,

относительная невязка в периметре теодолитного хода по формуле (24):

f_отн .

Полученная относительная линейная невязка не выходит за пределы допустимой относительной невязки, определяемой по формуле (24).

При допустимой относительной невязки в приращениях координат нужно внести в них поправки (с точностью до 0,01м) со знаком, обратным знаку невязки, пропорционально длине каждой стороны.

Величины поправок приращений координат вычисляются по формулам (26) и записываются в гр. 11,13.

;

, (26)

где d – горизонтальное положение сторон хода;

Р – периметр хода.

Пример. При f_X = - 0,24 м, d_П-2 =236,71 м и P = ∑d = 1131.78 м поправка в сторону П–2 будет равна

м.

Определить исправленные приращения прямоугольных координат по формулам

DC_исп = DC + d_Х ;

DY_исп = DY + d_Y (27)

и записать в гр. 14,15.

Алгебраическая сумма исправленных приращений должна быть равна 0, т. е.

SDC_исп = 0;

SDY_исп = 0. (28)

6. Вычисление координат замкнутого теодолитного хода.

По исправленным приращениям координат вычислить координаты вершин теодолитного хода с точностью до 0.01 м по формулам:

Х_п = Х_п-1 + DC_исп ;

Y_п = Y_п-1 + DY_исп , (29)

где Х_п , Y_п - координаты последующей вершины;

Х_п-1 , Y_п-1 - координаты предыдущей вершины;

DC_исп , DU_исп - исправленные приращения координат между этими вершинами.

Пример вычислений и обработки ведомости приведен в табл. 5.

Контролем правильности производимых вычислений служит получение по координатам вершины 5 и соответствующим приращениям координат вершины 1 гр. 16, 17.

3.5.2. Вычисление координат разомкнутого ( диагонального) теодолитного хода

1. Обработка и увязка углов хода.

В гр. 1 ведомости координат (табл. 6) вписать номера вершин хода, а в гр. 2 – соответствующие горизонтальные углы b₃ , b₆ , b₅ диагонального хода. Угловую невязку вычисляют по формуле (13), где сумма измеренных углов вычисляется по формуле

Sb_изм = b₃ + b₆ + b₅ , (30)

а теоретическая сумма равна

Sb_теор = a_нач - a_кон +180° п , (31)

где a_нач , a_кон - дирекционные углы соответственно начальной (2-3) и конечной (5–1) сторон хода;

n – число углов.

Определить допустимую угловую невязку по формуле (14) .

Если f_b £ f_bдоп , то невязку f_b распределить поровну на все углы гр. 3 с обратным знаком знаку невязки.

Таблица 6

Ведомость вычисления координат вершин теодолитного хода

(диогональный ход)

№ вершины хода	Измеренный угол b	Поправ-ка u	Исправленный угол bисп	Дирекцион-ный угол a	Осевой румб r	cosr	sinr	Горизонталь-ное проло-жение d, м
				51°09,5¢
	59°22,8¢	+0,6¢	59°23,4¢
				171°46,1¢	ЮВ:8°13,9¢	0,98970	0,14317	164,51
	239°12,0¢	+0,6¢	239°12,6¢
				112°33,5¢	ЮВ:67°26,5¢	0,38362	0,92349	233,85
	37°02,5¢	+0,5¢	37°03,0¢
				255°30,7¢
Sbизм = 335°37,3¢Su = +1,7¢Sbисп = 335°39,0¢			Sd = 398,36
Sbтеор = a2-3 - a5-1 + 180°п = 51°09,5¢ - 255°30,7¢ + 180°п = 335°39,0¢

f_b = -1.7¢

f_bдоп = = ±1,73¢ » ± 1,7¢

Продолжение табл. 6

Вычисленные приращения	Исправленные приращения	Координаты	№ вершины хода
DC	dХ	DU	dU	DC	DU	Х	U
						68676,61	10677,16
-162,82	+0,11	+23,55	+0,05	-162,71	+23,60
						68513,90	10700,76
-89,71	+0,16	+215,96	+0,07	-89,55	+216,03
						68424,35	10916,79

Sd_Х =+0,27

Sd_U =+0,12;

SDC_исп= -252,26;

SDC = -252,53; ;

SDU = + 239,51;

SDU_исп = +239,63;

SDC_теор = -252,26; SDU_теор = + 239,63;

f_X = -0,27; f_Y = -0,12;

f_абс = =±0,30;

f_{отн =}

2. Вычислив исправленные углы по формуле (16) гр. 4, приступить к вычислению дирекционных углов по формуле (18). В качестве начального угла берется дирекционный угол a_2-3. Контролем правильности вычислений служит получение в конце дирекционного угла a_5-1 , значения дирекционных углов a_2-3 и a_5-1 выписывают из гр. 5 табл. 5 замкнутого хода.

3. Вычисление приращений прямоугольных координат производится по формулам (19).

4. Линейная невязка f_X и f_Y вычисляется по формулам (20) .

Для разомкнутого теодолитного хода теоретическая сумма приращений координат вычисляется по формулам:

SDC_теор = Х_кон –Х_нач;

SDY_теор = Y_кон –Y_нач, (32)

где Х_нач , Х_кон , Y_нач , Y_кон - координаты, соответственно, начальной и конечной точек хода, в контрольной работе это координаты точек 3 и 5 , т.е.

SDC_теор = Х₅ –Х₃;

SDY_теор = Y₅ –Y₃ .

По полученным линейным невязкам f_X и f_Y определить:

а) абсолютную линейную невязку по формуле (23);

б) относительную невязку по формуле

f_отн , (33)

где ∑d – сумма горизонтальных проложений сторон диагонального хода.

При допустимой относительной невязки произвести увязку приращений координат разомкнутого хода по формулам (26) и (27).

Вычислить координаты вершин разомкнутого хода по формулам (29). При этом последовательное вычисление координат вершин разомкнутого хода, начиная от начальной вершины 3, должно привести к значениям координат конечной вершины 5, что и служит контролем правильности производимых вычислений (табл. 6).

3.6. Построение и оформление плана теодолитной съёмки

Построение плана снятого участка производится в масштабе 1:2000 на чертежной бумаге формата А3 в определенной последовательности:

1) построение координатной сетки (сетки квадратов) со сторонами 10 × 10;

2) нанесение вершин теодолитного хода по координатам;

3) нанесение на план ситуации по абрисам;

4) оформление плана.

3.6.1. Построение координатной сетки

Координатную сетку в виде квадратов со стороной 10 см вычерчивают на листе чертежной бумаги формата А3 (рис. 5).

Рис. 5. Координатная сетка

Координатную сетку строят при помощи линейки Ф.В. Дробышева. Построение и оцифровку линий координатной сетки производят с таким расчетом, чтобы построенный по координатам теодолитный план оказался симметричным краям листа бумаги: сверху и снизу под сеткой оставить расстояние 3 – 4 см. Отклонения построенных размеров сторон и диагоналей сетки квадратов от заданных не должно превышать 0,2 мм. При нанесении вершин теодолитного хода по координатам следует иметь в виду, что ось Х располагается на чертеже вертикально (по направлению С–Ю), а ось Y – горизонтально (по направлению З–В). Для построения сетки в масштабе 1: 2000 необходимо нанести не менее трех квадратов в направлении с севера на юг и не мене трех квадратов в направлении с запада на восток. В масштабе плана 1: 2000 стороне квадрата в 10 см соответствует расстояние в 200 м.

Линии координатной сетки подписываются координатами, кратными 200 м. Сетку вычерчивают остро отточенным карандашом.

3.6.2. Нанесение вершин теодолитного хода по координатам.

Вершины наносят на план по их вычисленным координатам. Нанесение точек производится с помощью циркуля-измерителя и масштабной линейки следующим образом. Предположим, следует нанести точку с координатами Х = 68356,42 м и Y = 10653,74 м. Сначала выясняют, в каком из квадратов сетки должна лежать эта точка: по направлению Х точка должна находиться между линиями сетки с абсциссами 68200 и 68400, по направлению Y– между линиями сетки с ординатами 10600 и 10800 (рис. 5).

От линий с абсциссой 68200 по вертикальным сторонам этого квадрата откладывают расстояние 156,42 м и проводят линию, параллельную линии с абсциссой 68200 (рис. 6). Вдоль нее от вертикальной линии сетки с ординатой 10600 откладывают вправо расстояние 10653,74 – 10600 = 53,74м.

Рис. 6. Схема построения по координатам вершин хода

Полученную точку обозначают слабым наколом иглы циркуля-измерителя и сразу же обводят окружность диаметром 1,5 мм, внутри этой окружности никакие линии проводить нельзя. Рядом записывают номер этой точки.

Нанесённые на план вершины хода необходимо проконтролировать. Для контроля измеряют расстояния между нанесёнными вершинами: получившиеся на плане длины сторон должны отличаться от вычисленных горизонтальных проложений не более чем на 0,2 мм в масштабе составляемого плана.

3.6.3. Нанесение на план ситуации

Съемка контуров местности со сторон теодолитного хода выполняется следующими способами: способом прямоугольных координат, способом полярных координат, способом угловой засечки, способом линейной засечки, способом створов. Результаты съемки занесены в абрис (рис. 7 – 11).

При построении плана местные предметы и характерные точки контуров наносят в соответствии с результатами и способами съемки от вершин и сторон теодолитного хода.

Построения выполняют, применяя масштабную линейку, циркуль-измеритель, транспортир, треугольник. Для построения контуров ситуации, снятых полярным способом, например, поворот дороги (начало и конец кривой, рис. 8), применяют транспортир, нулевой штрих которого совмещают со стороной 1–2 , от которой измерены углы 50°45´ и 73°30´, и на их сторонах откладывают циркулем-измерителем расстояния, указанные в абрисе от полюса 1, соответственно, 54,10 и 53,20 м. Соединив эти точки плавной кривой, получают поворот дороги.

Для построения положения точки F опоры ЛЭП используется линейная засечка, на плане циркулем-измерителем делают засечки из точек 5 и С радиусами 18,71 и 16,80 м. Пересечение этих засечек даст положение точки F . Положение точек M, N, Q, P на плане находят угловой засечкой с помощью транспортира, откладывая углы, величина которых указана на абрисе (рис. 10).

Для нанесения точек, снятых способом перпендикуляров (например, контур берега реки на рис. 9), откладывают на стороне 3-4 расстояния от точки 3 до основания перпендикуляров – 40; 80; 120 м. С помощью треугольника из полученных точек откладывают в масштабе длины перпендикуляров 38,50; 31,10; 28,00;…20,68 м. Соединив их концы, получают очертание контура берега реки. Второй берег строят в виде линии, параллельной искомой на расстоянии 18 м. Для нанесения точек, снятых способом створотов, например, ось железной дороги, ЛЭП, асфальтированная дорога (рис. 7), откладывают на стороне 2-3 расстояния от точки 2, соответственно, 3,90; 28,00; 40,00 и 50,00 м. Аналогично откладываются расстояния вдоль стороны 1-5 от точки 1.

Ситуация плана показывается в условных знаках [6], принятых для заданного масштаба плана 1: 2000. Пример оформления плана показан на рис. 12.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Инженерная геодезия / Под ред. Д.Ш. Михелева. М.: Высшая школа, 2000.

2. Инженерная геодезия / Под ред. Л.С. Хренова. М.: Высшая школа, 1985.

3. Курс инженерной геодезии / Под ред. В.Е. Новака. М.: Недра, 1989.

4. Родионов В.И. Геодезия. М.: Недра, 1987.

5. Григоренко А.Г., Киселев М.И. Инженерная геодезия. М.: Высшая школа, 1983.

6. Условные знаки для топографических планов масштабов 1: 5000, 1: 2000, 1: 1000, 1: 500. М.: Недра, 1989.

7. Инженерная геодезия / Под ред. С.И. Матвеева. М.: АООТ «Политех-4», 2000.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Образцы некоторых условных знаков масштаба 1:2000