Закон распределения вероятностей и их числовых значений

Математический аппарат теории вероятностей широко используется в метрологии. Рассмотрим свойства законов распределения вероятностей.

1. F(x) определяет вероятность того, что отдельный результат, полученный по формуле (2), будет меньше ее аргумента.

2. Так как F(x) ³0, то чем больше x, тем больше вероятность того, что ни один результат, полученный по формуле (2) не превысит этого значения, то есть F(x) – неубывающая функция. При изменении от -¥ до +¥ F(x) меняется тот 0 до 1.

3. Результат, полученный по формуле (2), меньше некоторого x₁ c вероятностью F(x₁) и меньше другого x₂> x₁ c вероятностью F(x₂). Следовательно, вероятность того, что результат находится в интервале [x_1,x₂] равна разности F(x) на границах интервала.

P{x₁£ x £ x₂}= F(x₂)-F(x₁).

У аналогового измерительного прибора x₁ и x₂ можно выбрать сколь угодно близкими друг к другу. Следовательно, при x₁ ® x₂ F(x₂)-F(x₁) ® 0. Поэтому у аналоговых измерительных приборов вероятность того, что указатель отсчетного устройства остановится в какой-либо конкретной точке шкалы равной 0, т.е. крайние точки можно включать или не включать в интервал.

4. Р(х) связано с функцией F(х) соотношением

Р(х)= F^’(х), поэтому Р(х) называют дифференциальной функцией распределения вероятности.

_X0

В свою очередь F(x₀)=ò P(x)dx

^-¥

P(x)

P{X_{1 £} X_{2 £} X₃}

F(x₀)

X₀ X₁ X₂ X

5. Так как f(x) неубывающая функция, то её произведение не может быть отрицательным P(x) ³ 0.

6. Вероятность того, что отдельный результат, полученный по формуле (2), окажется в интервале [x_1, x₂] равна площади, ограниченной графиком функции Р(х), осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границе интервалов

_X2

P{X_{1 £} X_{2 £} X₃} = ò P(x)dx

^X1

При расширении интервала до бесконечности рассматриваемое событие становится достоверным

_¥

ò P(x)dx=1

^-¥

Описания отсчёта ил результата измерений с помощью законов распределения вероятностей является наиболее полным, но неудобным. Во многих случаях пользуются лишь числовыми характеристиками или моментами. Все они представляют собой средние значения, при чём, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения, то центральными. Важнейшим начальным моментом является первый – среднее значение.

_¥

X = ò xp(x)dx

^{- ¥}

Он характеризует математическое ожидание отсчёта при бесконечном повторении процесса измерения по формуле (2). Его часто называют М(х).

Свойства МО:

1. М(а)=а, где а =const, МО неслучайного числа равно самому числу.

2. М(ах)=аМ(х).

3. М(х+y-z)=M(x)+M(y)-M(z).

4. M(xyz)=M(x)*M(y)*M(z)

5. M[x-M(x)]=0, МО отклонения числа от его МО равно 0.

Второй центральный момент – мера рассеивания, иногда его называют дисперсией.

_¥

d_x² = (x-x)² = ò (x-x) p(x)dx

^-¥

Свойства дисперсии:

1. D(a)=0.

2. D(ax)=a²D(x).

3. D(x)=M(x²)-M²(x).

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеивание результата, полученного по формуле (2).

P(x)

d₁²<d₂²<d₃²

X

В метрологии мерой рассеивания служит средне квадратичное отклонение, равное квадратному корню из дисперсии.

Находит применение и третий центральный момент:

_¥

(x-x)³ = ò (x-x)³ p(x)dx

^-¥

Он является мерой несимметричности m=(x-x)³/dx³

m=0 m<0 m>0

Четвёртый момент является мерой заострённости υ = (x-x)⁴ / dx⁴

^{P(x) υ >3}

^υ=3

^{υ <3}

X

Мерой неоднородности случайного числа является энтропии:

_¥

M(x) = ò p(x)logp(x)dx

^-¥

Модели эмпирических законов распределения вероятностей отсчёта дифференциальной и интегральной функции распределения вероятностей, как и все моменты, обладает важным качеством: будучи характеристиками случайных чисел, сами они не являются случайными. Описания с их помощью отсчёта было бы удобно, если бы эти характеристики можно было бы получить.

Однако это не возможно, т.к. не возможно повторить процедуру измерения бесконечное число раз.

Поэтому в дальнейшем они будут использованы только в качестве моделей.

Влияющий фактор

Получение отсчёта – основная измерительная процедура. Однако во внимание должно приниматься ещё множество факторов, а именно:

1. Объект измерения.

2. Субъект измерения.

3. Способ измерения.

4. Средства измерения.

5. Условия измерения.

1. Объект измерения должен быть изучен. Необходимо перед измерением представить себе модель исследуемого объекта, который по мере поступления измерительной информации будет изменяться и уточняться.

2. Экспериментатор вносит элемент субъективизма, который стараются уменьшить. Он зависит от квалификации измерителя, его психологического состояния, соблюдения эргономических требований. К измерениям допускаются лица прошедшие специальную подготовку.

3. Очень часто измерения одной и той же величины разными способами даёт разные результаты. Исключением влияющих факторов осуществляется следующими способами:

а) метод замещения (взвешивание на равноплечих весах). При измерении пользуются одной чашей весов, что бы исключить то, что плечи разные.

б) метод компенсации влияющего фактора по знаку. Измерения проводят 2 раза так, что бы влияющий фактор оказывал противоположные действия, и берут среднее арифметическое двух результатов.

в) если влияющий фактор приводит к умножению величины на некоторый элемент, то используется метод противопоставления.

ml₁= m₁l₂ ;ml₂=m₂l₁; m»(m₁+m₂)/2

г) способ симметричных измерений используется тогда, когда влияющий фактор является линейной функцией времени. При этом методе производится несколько измерений в течение некоторого интервала времени и берётся полусумма отдельных результатов, симметрично расположенных относительно середины интервала. Если измерения не удаётся организовать так, что бы исключить влияющие факторы, то в результаты вносится поправка. Поправки определяются теоретически или экспериментально. Они представляют собой функцию, график или число.

4. Само средство измерения является влияющим фактором. Термометр опускается в жидкость, и меряется не температура жидкости, а температура термодинамического равновесия, которое наступит после нагрева термометра и охлаждения жидкости.