Определение высоты дерева с помощью тени
В солнечную погоду, измерить длину тени от дерева и от человека. Используя подобие треугольников, составить численную пропорцию (схема и формула показаны на рисунке 8) или построить графически, в выбранном масштабе.
В пасмурный день, когда не видно солнца на небе, поставленная задача решается другими методами. Например, можно определить высоту с помощью способа, изображённого на рисунке 2 (построение прямоугольного равнобедренного треугольника), используя, дополнительно, современную лазерную указку, ориентированную по эккеру на 45° относительно земной поверхности - для визирования вершины предмета. Эккерная рамка ставится в вертикальной плоскости, а прямой угол между поверхностью земли и стороной квадрата крестовины - выставляется по отвесу.
Если произвольный угол A'B'C' мерить при помощи угломера, тогда придётся смотреть в таблицах тангенсы угла и считать.
Рис.8
Определение высоты дерева с помощью зеркала
Если имеется зеркало, расположенное на земле горизонтально или лужа с дождевой водой, можно использовать оптическое свойство - равенство углов падения и зеркального отражения светового луча. Для этого, нужно встать на точке, из которой, в середине зеркала видна вершина предмета. Зная свой рост (на уровне глаз), расстояние до центра зеркала и от него до предмета, используя подобие треугольников, составить численную пропорцию (как на рисунке 8) или построить схему графически, в выбранном масштабе.
Дистанционное определение высоты предмета
Например, нужно определить высоту предмета (рис. 9), не подходя к нему (невозможно преодолеть препятствия в виде реки или глубокого оврага). Измеряются углы в точках А (DАС) и В (DВС), а так же расстояние АВ между ними. В примере на картинке:
DАС = 28°
DВС = 36°
АВ = 15 метров
тогда, высота предмета:
CD = АВ / ( 1/tg(DАС) - 1/tg(DВС) ) =
= 15 / ( 1/tg(28°) - 1/tg(36°) ) =
= 15 / ( 1/0.53 - 1/0.73 ) =
= 15 / ( 1.89 - 1.38 ) =
= 15 / 0.51 = 29 метров, с общей суммарной ошибкой измерений - до 10-20%
Рис.9
Примеры, разобранные на этой Интернет-странице, можно бесплатно скачать, сохранить на жёсткий диск своего компьютера или распечатать на принтере, чтобы удобнее было осваивать практические методы измерения расстояний и эффективнее тренироваться в реальных, полевых условиях. Правильное и точное определение ширины реки или водоёма - обязательно необходимо проводить перед форсированием водной преграды.
Высокоточные измерения расстояний
При наличии дальномера (лазерные, свето- и радиодальномеры), получается довольно высокая точность, которая требуется при проведении геодезических работ, где эти приборы и применяют профессионалы. Туристам, в их походах и путешествиях, такие миллиметровые погрешности не нужны.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов от 0° до 90°
Точность вычислений - до третьего знака после запятой. Расчёт был проведён в электронных таблицах Excel по формулам, вида:
TAN(A1*pi()/180)
Пример: tg(60°) = 1.732
| a | sin a | cos a | tg a | ctg a |
| 0,000 | 1,000 | 0,000 | ||
| 0,017 | 1,000 | 0,017 | ||
| 0,035 | 0,999 | 0,035 | ||
| 0,052 | 0,999 | 0,052 | ||
| 0,070 | 0,998 | 0,070 | ||
| 0,087 | 0,996 | 0,087 | ||
| 0,105 | 0,995 | 0,105 | ||
| 0,122 | 0,993 | 0,123 | ||
| 0,139 | 0,990 | 0,141 | ||
| 0,156 | 0,988 | 0,158 | ||
| 0,174 | 0,985 | 0,176 | 5,671 | |
| 0,191 | 0,982 | 0,194 | 5,145 | |
| 0,208 | 0,978 | 0,213 | 4,705 | |
| 0,225 | 0,974 | 0,231 | 4,331 | |
| 0,242 | 0,970 | 0,249 | 4,011 | |
| 0,259 | 0,966 | 0,268 | 3,732 | |
| 0,276 | 0,961 | 0,287 | 3,487 | |
| 0,292 | 0,956 | 0,306 | 3,271 | |
| 0,309 | 0,951 | 0,325 | 3,078 | |
| 0,326 | 0,946 | 0,344 | 2,904 | |
| 0,342 | 0,940 | 0,364 | 2,747 | |
| 0,358 | 0,934 | 0,384 | 2,605 | |
| 0,375 | 0,927 | 0,404 | 2,475 | |
| 0,391 | 0,921 | 0,424 | 2,356 | |
| 0,407 | 0,914 | 0,445 | 2,246 | |
| 0,423 | 0,906 | 0,466 | 2,145 | |
| 0,438 | 0,899 | 0,488 | 2,050 | |
| 0,454 | 0,891 | 0,510 | 1,963 | |
| 0,469 | 0,883 | 0,532 | 1,881 | |
| 0,485 | 0,875 | 0,554 | 1,804 | |
| 0,500 | 0,866 | 0,577 | 1,732 | |
| 0,515 | 0,857 | 0,601 | 1,664 | |
| 0,530 | 0,848 | 0,625 | 1,600 | |
| 0,545 | 0,839 | 0,649 | 1,540 | |
| 0,559 | 0,829 | 0,675 | 1,483 | |
| 0,574 | 0,819 | 0,700 | 1,428 | |
| 0,588 | 0,809 | 0,727 | 1,376 | |
| 0,602 | 0,799 | 0,754 | 1,327 | |
| 0,616 | 0,788 | 0,781 | 1,280 | |
| 0,629 | 0,777 | 0,810 | 1,235 | |
| 0,643 | 0,766 | 0,839 | 1,192 | |
| 0,656 | 0,755 | 0,869 | 1,150 | |
| 0,669 | 0,743 | 0,900 | 1,111 | |
| 0,682 | 0,731 | 0,933 | 1,072 | |
| 0,695 | 0,719 | 0,966 | 1,036 | |
| 0,707 | 0,707 | 1,000 | 1,000 | |
| 0,719 | 0,695 | 1,036 | 0,966 | |
| 0,731 | 0,682 | 1,072 | 0,933 | |
| 0,743 | 0,669 | 1,111 | 0,900 | |
| 0,755 | 0,656 | 1,150 | 0,869 | |
| 0,766 | 0,643 | 1,192 | 0,839 | |
| 0,777 | 0,629 | 1,235 | 0,810 | |
| 0,788 | 0,616 | 1,280 | 0,781 | |
| 0,799 | 0,602 | 1,327 | 0,754 | |
| 0,809 | 0,588 | 1,376 | 0,727 | |
| 0,819 | 0,574 | 1,428 | 0,700 | |
| 0,829 | 0,559 | 1,483 | 0,675 | |
| 0,839 | 0,545 | 1,540 | 0,649 | |
| 0,848 | 0,530 | 1,600 | 0,625 | |
| 0,857 | 0,515 | 1,664 | 0,601 | |
| 0,866 | 0,500 | 1,732 | 0,577 | |
| 0,875 | 0,485 | 1,804 | 0,554 | |
| 0,883 | 0,469 | 1,881 | 0,532 | |
| 0,891 | 0,454 | 1,963 | 0,510 | |
| 0,899 | 0,438 | 2,050 | 0,488 | |
| 0,906 | 0,423 | 2,145 | 0,466 | |
| 0,914 | 0,407 | 2,246 | 0,445 | |
| 0,921 | 0,391 | 2,356 | 0,424 | |
| 0,927 | 0,375 | 2,475 | 0,404 | |
| 0,934 | 0,358 | 2,605 | 0,384 | |
| 0,940 | 0,342 | 2,747 | 0,364 | |
| 0,946 | 0,326 | 2,904 | 0,344 | |
| 0,951 | 0,309 | 3,078 | 0,325 | |
| 0,956 | 0,292 | 3,271 | 0,306 | |
| 0,961 | 0,276 | 3,487 | 0,287 | |
| 0,966 | 0,259 | 3,732 | 0,268 | |
| 0,970 | 0,242 | 4,011 | 0,249 | |
| 0,974 | 0,225 | 4,331 | 0,231 | |
| 0,978 | 0,208 | 4,705 | 0,213 | |
| 0,982 | 0,191 | 5,145 | 0,194 | |
| 0,985 | 0,174 | 5,671 | 0,176 | |
| 0,988 | 0,156 | 0,158 | ||
| 0,990 | 0,139 | 0,141 | ||
| 0,993 | 0,122 | 0,123 | ||
| 0,995 | 0,105 | 0,105 | ||
| 0,996 | 0,087 | 0,087 | ||
| 0,998 | 0,070 | 0,070 | ||
| 0,999 | 0,052 | 0,052 | ||
| 0,999 | 0,035 | 0,035 | ||
| 1,000 | 0,017 | 0,017 | ||
| 1,000 | 0,000 | 0,000 |
При отсутствии таблиц Брадиса, инженерного калькулятора и компьютера, значения тригонометрических функций можно посчитать, с произвольно высокой точностью, и на простейшем арифмометре, с помощью арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления по формулам рядов:
sin x = x - x^3/1*2*3 + x^5/1*2*3*4*5 - x^7/1*2*3*4*5*6*7 + x^9/1*2*3*4*5*6*7*8*9 -...
cos x = 1 - x^2/1*2 + x^4/1*2*3*4 - x^6/1*2*3*4*5*6 + x^8/1*2*3*4*5*6*7*8 -...
tg x = x + (1/3 * x^3) + (2/15 * x^5) + (17/315 * x^7) + ...
В степень - число возводится с помощью многократного перемножения.
Например, аргумент в кубе: x^3 = x*x*x На калькуляторе, после набора числа, последовательно нажимаются кнопки: * = =