Эвольвента и ее свойства

Основная теорема зацепления

Постоянство передаточного отношения в зубчатом механизме обеспечивается за счет правильного подбора профилей соприкасающихся зубьев. Какими должны быть профили зубьев зубчатых колес, чтобы передаточное отношение было строго постоянным, т.е. чтобы начальные окружности перекатывались друг по другу без скольжения? Ответ на этот вопрос дает основная теорема зацепления:

Общая нормаль к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проходит через полюс зацепления и делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Докажем эту теорему.

Рис.15 К основной теореме зацепления

На рис. 15 изображены два звена, которые, касаясь в точке М, образуют высшую кинематическую пару (это могут быть зубья двух зубчатых колес). Звено 1, вращаясь вокруг оси О₁ с угловой скоростью ω₁, воздействует на звено 2, заставляя его вращаться вокруг оси О₂ с угловой скоростью ω₂. Проведем через точку касания М общие касательную tt и нормаль nn.

Оба звена должны быть в постоянном соприкосновении. Для этого необходимо, чтобы проекции скоростей точки касания М обоих звеньев на общую нормаль были равны. В противном случае либо одно звено опередит другое (нарушится контакт), либо произойдет смятие в точке контакта.

Проведем векторы скоростей точки М обоих звеньев. Вектор v₁ скорости точки М звена 1 перпендикулярен радиус-вектору О₁М, вектор v₂ скорости точки М звена 2 перпендикулярен радиус-вектору О₂М. Разложим каждый из этих векторов на две составляющие - нормальные и касательные. Нормальные составляющие, как уже указывал ось, должны быть равны

vⁿ₁= vⁿ₂

Но vⁿ₁= v₁×cosa₁= ω₁× О₁М× cosa₁= ω₁× О₁К₁

vⁿ₂= v₂×cosa₂= ω₂× О₂М× cosa₂= ω₂× О₂К₂

гдe a₁ и a₂ - углы отклонения векторов v₁ и v₂ от нормали nn.

Восстановим из точек О₁ и О₂ перпендикуляры на нормаль О₁К₁ и О₂K₂.

ω₁× О₁К₁= ω₂× О₂К₂

u₁₂= ω₁/ ω₂= О₂К₂/ О₁К₁

Треугольники О₁К₁P и О₂К₂P подобны, следовательно,

О₂К₂/ О₁К₁= О₂P/ О₁P

Сопоставляя последние два равенства, окончательно получим

u₁₂= ω₁/ ω₂= О₂P/ О₁P, где P – полюс зацепления, делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям

Теорема доказана.

Из равенства следует: чтобы передаточное отношение было постоянным, необходимо, чтобы отрезки О₁P и О₂P, на которые нормаль nn делит межосевое расстояние, были постоянной величины. Другими словами, необходимо, чтобы нормаль всегда, в любом положении звеньев, проходила через одну и ту же точку Р.

Боковые профили зубьев должны очерчиваться такими кривыми, общая нормаль к которым в точке их касания делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям. Этому требованию отвечает большое количество кривых, на практике получили применение эвольвента, циклоида, дуга окружности и прямая.

Из рис.15 видно, что касательные составляющие скоростей точек касания не равны между собой, следовательно, профили зубьев скользят друг по другу. Это вызывает износ зубьев.

v^t₁≠ v^t₂

v^t₁= ω₁×(l₁+l_М)

v^t₂= ω₂×(l₂-l_М)

v_ск= v^t₂-v^t₁= ω₂×l₂- ω₂×l_М- ω₁×l₁- ω₁×l_М

ω₁/ ω₂= О₂P/ О₁P; ω₁=ω₂ ×О₂P/ О₁P= ω₂ × l₂/ l₁

v_ск= ω₂×l₂- ω₂×l_М- (ω₂ × l₂/ l₁)×l₁- ω₁×l_М=± l_М(ω₁+ ω₂)

Скольжение между зубьями будет тем больше, чем дальше находится точка касания от полюса зацепления.

v_ск­при l_М­, v_ск=0приl_М=0, т.е. только в одном положении, когда точка касания зубьев совпадает с полюсом зацепления Р, нет скольжения между профилями зубьев, т.к. скорости точек касания в этом положении векторно равны.

Эвольвента и ее свойства

Эвольвента (предложена Эйлером) – кривая, описываемая любой точкой прямой линии при перекатывании этой прямой по окружности без скольжения.

Рассмотрим построение эвольвенты.

К окружности с центром в т.О (рис.16) проведена касательная в т.А. Будем перекатывать прямую по окружности без скольжения. Для этого от т.А отложим по прямой ряд одинаковых по длине отрезков А-1, 1-2,2-3,3-4… По окружности от т.А отложим дуги ÈА-1’, È1’-2’ и т.д., равные этим отрезкам. При перекатывании прямой по окружности без скольжения т.1 совпадет с т.1’ и т.д. Проведем в точках 1’, 2’,… касательные к окружности (проводим радиус, а затем перпендикуляр) и отложим на них от точек касания отрезки 1’А₁, 2’А₂,…, равные, соответственно, отрезкам прямой А1, А2, А3… Соединяя точки А, А₁, А₂, А₃, А₄ плавной кривой получим эвольвенту.

Рис. 16 Построение эвольвенты

Прямая, перекатывающаяся по окружности, называется производящей прямой, а окружность, по которой перекатывается производящая прямая, называется основной и ей присваивается индекс b. Точка А, лежащая на основной окружности, является начальной точкой эвольвенты. Следовательно, внутри основной окружности эвольвента находиться не может. Для точки А радиус-вектор равен радиусу основной окружности, радиус кривизны r равен 0, эвольвентный и профильный угол тоже равны 0.

Эвольвента обладает следующими свойствами:

1) Производящая прямая является нормалью к эвольвенте в любой ее точке и является касательной для основной окружности;

2) Эвольвента начинается на основной окружности и всегда находится вне ее;

3) Форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности; при увеличении радиуса r_b радиус кривизны эвольвентного профиля постепенно увеличивается, при r_b=¥ эвольвента преобразуется в прямую (этот случай имеет место при реечном зацеплении);

4) Эвольвента является кривой без перегибов;

5) Центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.

Выведем уравнение эвольвенты.

Пусть координатами какой-либо точки А₄ эвольвенты будут: R – радиус-вектор и q - эвольвентный угол – угол между радиусом-вектором начальной точки эвольвенты и радиусом-вектором т.А₄ (текущей точки), a - профильный угол, т.е. угол профиля текущей точки эвольвенты.

Из треугольника ОМА₄ имеем R=r_b/cosa(1) – радиус-вектор профиля.

Т.к. перекатывание происходит без скольжения, то А₄М=ÈАМ;

А₄М=r_b×tga; ÈАМ= r_b×(q+a);

tga=q+a Þ q=tga-a=inva (2) - эвольвентная функция угла a, или инволюта. Составлены таблицы инволютных значений углов. Уравнения (1) и (2) – уравнения эвольвенты окружности в полярных координатах в параметрической форме.