Результаты измерения расстояния шагомером
| Число шагов | Число наблюдений k в интервале шириной 10, 20 и 40 шагов | Число шагов, продол-жение | Число наблюдений k в интервале шириной 10, 20 и 40 шагов | ||||
| 6190 и менее | 6400-6409 | ||||||
| 6200-6209 | 6410-6419 | ||||||
| 6210-6219 | 6420-6429 | ||||||
| 6220-6229 | 6430-6439 | ||||||
| 6230-6239 | 6440-6449 | ||||||
| 6240-6249 | 6450-6459 | ||||||
| 6250-6259 | 6460-6469 | ||||||
| 6260-6269 | 6470-6479 | ||||||
| 6270-6279 | 6480-6489 | ||||||
| 6280-6289 | 6490-6499 | ||||||
| 6290-6299 | 6500-6509 | ||||||
| 6300-6309 | 6510-6519 | ||||||
| 6310-6319 | 6520-6529 | ||||||
| 6320-6329 | 6530-6539 | ||||||
| 6330-6339 | 6540-6549 | ||||||
| 6340-6349 | 6550-6559 | ||||||
| 6350-6359 | 6560-6569 | ||||||
| 6360-6369 | 6570-6579 | ||||||
| 6370-6379 | 6580-6589 | ||||||
| 6380-639 | 6590-6599 | ||||||
| 6390-6399 | 6600 и более |
Всего 2080 опытов.
 |
Рис. 8.1.1. Измерение расстояния шагами:
а – гистограмма и кривая распределения данных таблицы 1.1.1. По горизонтальной оси отложено число шагов x, по оси ординат в удобном масштабе – число случаев k, когда отсчет попадает в рассматриваемый интервал;
б – среднее значение и доверительный интервал для 2080 измерений;
в – среднее значение, доверительный интервал и экспериментальные точки для 5 измерений
Для дальнейшего анализа удобно представить эти результаты наглядно в виде «столбчатой» диаграммы. Разобьем всю область изменения значений x (от 6200 до 6600 шагов) на равные отрезки (основания столбиков) и подсчитаем, сколько раз измеряемая величина (число шагов) попадает в каждый из интервалов. Число этих попаданий отложим в произвольном масштабе на оси ординат (высота столбов). Такие диаграммы называются гистограммами (histos - столб). Ширина интервалов может быть любой: на рисунке 8.1.1 приведены три вложенные одна в другую гистограммы с шириной интервала в 40, 20 и 10 шагов, соответственно. Масштаб по оси абсцисс один и тот же, а по оси ординат масштабы выбраны так, чтобы максимумы всех гистограмм имели одинаковую высоту.
Отметим, что все три гистограммы имеют практически одинаковый вид: «максимумы», «точки перегиба» и «хвосты» лежат в одних и тех же областях. Отличие этих гистограмм заключается только в ширине «уступов». Если бы мы провели не 2080 измерений, а в 10 раз больше, можно было бы еще уменьшить интервалы. При этом гистограмма «выродилась» бы в практически гладкую кривую. Такие кривые, получаемые при бесконечном увеличении числа измерений и бесконечном уменьшении интервалов, называются кривыми распределения. Они изучаются в математической статистике.
Распределение Гаусса
Мы будем пользоваться только распределением Гаусса [1, с. 26], представленным на рисунке 8.1.1 кривой 4
 , | (8.2.1) |
| где | |
 | (8.2.2) |
Эта формула распределения вполне приемлема и позволяет легко провести вычисления. Кроме того, оценки ошибок в большинстве случаев оказываются довольно грубыми, и эта неопределенность в их оценке полностью перекрывает ошибки, которые обусловлены произволом выбора в качестве функции распределения формулы (8.2.1). Правда, сказанное выше выполняется не всегда. Например, если результаты измерений дискретны и соответствуют ближайшим делениям шкалы прибора, пользоваться гауссовым распределением нельзя.
Перечислим основные свойства распределения Гаусса:
· Функция f(x) зеркально симметрична относительно истинного значения X измеряемой величины x.
· Площадь под кривой f(x) пропорциональна общему числу измерений. Коэффициент пропорциональности принято выбирать так, чтобы эта площадь равнялась 1; тогда
 | (8.2.3) |
· Точки перегиба кривой (8.2.1) удалены от X на ± σ. При этом доля результатов всех измерений, попадающая в интервал (- σ, + σ), составляет 68.3 %. В интервале (- 2σ, + 2σ) находится уже 95.4 % всех результатов. В теории вероятности σ называется средним квадратичным отклонением, а σ2 – дисперсией, характеризующей разброс случайной величины (dispersio - рассеяние).
· Функция f(x)называется плотностью распределения и равна числу отсчетов, приходящихся на единичный интервал, так что f(x)dx равно числу попаданий измеряемой величины X в интервал от x до x + dx.
Метод Стьюдента
Наша задача состоит в том, чтобы, не выполняя большого числа измерений, найти среднее значение <x>, близкое к истинному значению X измеряемой величины, и погрешность измерений - полуширину доверительного интервала Dx, близкую к 2σ, как того требуют Государственные стандарты [2, 3]. Это делается по формулам Стьюдента (У. Госсет, Англия, 1908; Student – его псевдоним). Рекомендуется в качестве истинного значения X брать <x>, вычисляемое по формуле (5.2.1), а случайную ошибку 
оценивать по формуле
 | (8.3.1) |
где n – число измерений.
Коэффициенты Стьюдента tp,n зависят от значения надежности p и числа измерений n. Величины этих коэффициентов для заданного p = 0.95 [2, 3] и различных n находят по таблице 1.1.1.
Проиллюстрируем эффективность методики Стьюдента при определении среднего значения и доверительного интервала по данным небольшого количества измерений на нашем примере с подсчетом числа шагов.
Для всей серии из n = 2080 испытаний (таблица 8.1.1) коэффициент Стьюдента tp,n равен 2, и после весьма трудоемких вычислений по формулам (5.2.1) и (8.3.1) получаем следующее выражение:
| X = (6410 ± 150) шагов | (p = 0.95). | (8.3.2) |
Однако приведенный результат не является окончательным. В соответствии с излагаемыми далее – в параграфе 9.1 – правилами округления экспериментальных данных, предписывающими, сколько значащих цифр следует оставлять при оценке погрешности, выражение (8.3.2) следует записать в виде (9.1.2):
| X = (6.41 ± 0.15)∙103 шагов | (p = 0.95). | |
Возвратимся к нашему примеру об измерении расстояния шагами. Для сопоставления результатов обработки большого числа измерений (8.3.2) с гистограммами и кривой распределения удобно отметить эти данные на числовой оси (рисунок 8.1.1, б) в том же масштабе, что и на рисунке 8.1.1, а. Среднее значение (5.2.1) покажем вертикальной черточкой, а доверительный интервал (8.3.1) – круглыми скобками. Из рисунка 8.1.1 видно, что, поскольку расчеты выполнены по очень большому количеству измерений, <x> действительно совпадает с абсциссой максимума кривой распределения, а границы доверительного интервала удалены от максимума вдвое дальше точек перегиба.
Если теперь из всей серии в 2080 испытаний произвольно, скажем, с помощью генератора случайных чисел, выбрать всего 5 значений x, получится приблизительно такой же результат. Пусть, например, выбраны числа x1 = 6251, x2 = 6368, x3 = 6583, x4 = 6483, x5 = 6505. После обработки по Стьюденту получим
X = (6438 ± 163)  (6.41 ± 0.16)∙103 шагов | (p = 0.95). | (8.3.3) |
Отметим эти данные, а также выбранные числа на оси x рисунка 8.1.1, в. Сравнивая выражения (1.1.6 – 1.1.8) и рисунки 8.1.1, а - 8.1.1, в, убеждаемся, что метод Стьюдента позволяет с весьма неплохой точностью находить интересующие нас величины по коротким сериям испытаний. Некоторое расхождение результатов вполне допустимо, особенно если вспомнить об экономии времени и усилий на измерения и обработку при сокращении количества опытов – в нашем примере с 2080 до 5!