Случайная погрешность

Случайная составляющая погрешности измеренийопределяется принципом действия, конструкцией, схемой и характеристиками измерительного средства, случайными процессами в контролируемом объекте и окружающей среде. Ее источником могут быть также условия эксплуатации, действия персонала, производящего измерения, и другие случайные причины.

Интуитивно понятно, что при очень большом количестве измерений, выполняемых в строго одинаковых условиях, случайную составляющую погрешности можно свести к минимуму или вообще ее исключить и тем самым найти истинное значение физической величины. Строго математически может быть доказано что:

Ø Истинное значение физической величины равно ее точному среднему значению по всей бесконечно большой совокупности идентичных измерений.

В реальности мы всегда имеем дело с ограниченным количеством измерений, поэтому вместо точного среднего значения можно получить только некоторую его оценку, которая будет определяться законом распре­деления вероятности величины случайной погрешности и количеством изме­рений. Эта оценка является случайной величиной (в отличие от собственно среднего значения, которое является величиной неслучайной). Ее значение определяется в соответствии с законами и критериями теории вероятности и математической статистики и зависит от числа измерений, закона распределения вероятности погрешности отдельного измерения.

Такой оценкой среднего, т.е. истинного, значения физической величины, является ее среднеарифметическое значение, полученное в результате многократно проведенных измерений и принимаемое за действительное значение

(5)

где А – среднеарифметическое значение многократных измерений, a_i - результат i-го отдельного измерения, N – число измерений.

Ø За действительное значение физической величины принимается ее среднеарифметическое значение – наиболее достоверное значение, которое можно приписать измеряемой величине на основании многократных измерений.

Дисперсия есть среднеквадратичное отклонение измеряемой величины от ее истинного значения. Дисперсией среднеарифметическогоD(A) называется отклонение среднеарифметического значения физической величины от ее среднего (истинного) значения:

(6)

где: - среднее значение измеряемой величины, равное истинному значе­нию, s- среднеквадратическая погрешность однократного измерения.

Из выражения для дисперсии среднеарифметического (6) следует,

· при бесконечном увеличении числа измерений, N®¥, дисперсия среднеарифметического D(A) стремится к нулю, D(A) ®0 и, следовательно, среднеарифметическое значение измеряемой величины A будет стремится к ее истинному значению .

· среднеквадратическое отклонение случайной погрешности результата многократного измерения в раз меньше среднеквадратичного отклонения результата однократного измерения s.

Зная среднее арифметическое значение, можно определить отклонение результата единичного измерения от среднего значения, т.е. его погрешность:

…7

Таким образом, сумма отклонения результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.

Точно так же, как невозможно опытным путем определить среднее значение величины, нельзя определить и среднеквадратическое значение отклонения отдельного измерения s. При конечном числе измерений N, возможно лишь найти его оценку, которая равна:

…8

Для многократного измерения оценка среднеквадратического отклонения среднеарифметического (среднеквадратическая погрешность результата многократных измерений) равна:

…9

При увеличении количества измерений, N ® ¥ среднеарифметическое значение А стремится к среднему значению , а среднеквадратическая погрешность становится пренебрежимо малой s_А ® 0.

Рассмотренные среднеарифметическое значение и среднеквадратичное отклонение есть случайные величины, которые характеризуют измеряемую величину в единственной точке и являются «точечными» оценками погреш­ности измерений. Наряду с этим типом оценки существует и «интервальная» оценка погрешности

Интервальная оценка погрешности состоит в указании доверительного интервала, в котором измеряемая величина находится с известной вероятностью. Согласно этой оценке определяется вероятность появления погрешности d, величина которой не выходит за некоторые принятые границы (интервал). За середину этого интервала принимается среднеарифметическое значение величины, а сам интервал называют доверительным интервалом.

Интервальная оценка погрешности основывается на понятии «функция распределения вероятности погрешности», которая определяет вероятность возникновения данной величины случайной погрешности. На практике обычно рассматривают некоторое приближение к реальному закону распределения, наиболее простому для анализа и расчетов. В случае технических измерений в качестве такого приближения (аппроксимации) наиболее часто используют закон нормального распределения. Рассматриваются также законы равномерного распределения и треугольный закон распределения, распространенный среди цифровых приборов.