Виды ошибок измерений. Свойства случайных ошибок. Принцип арифметической средины

Результаты многократных измерений одной и той же физической величины (линии, угла, превышения и т.п.), как правило, различаются между собой и не совпадают с точным (истинным) значением измеряе­мой величины, т.е. содержат неизбежные погрешности, вызываемые раз­личными причинами.

Если истинное значение измеряемой величины обозначить через X , а результат измерений её через L то,

L – X = A(дельта), будет абсолютной ошибкой измерения.

По своим свойствам, характеру возникновения я влияния на ре­зультаты измерений, их функции, погрешности подразделяют на грубые, систематические и случайные.

Грубые погрешности (промахи) возникают вследствие невниматель­ности наблюдателя, неисправности прибора, несоблюдении технологии ра­бот, не учёта влияния изменяющихся внешних условий: температуры, ветра, видимости и т.п. Обнаружить грубые погрешности можно, используя гео­метрические свойства наблюдаемого объекта (например, сумму внутренних углов плоского многоугольника), а также выполнением повторных измере­ний. Так, например, при линейных измерениях пропуск целого пролета, равного длине мерного прибора, можно обнаружить измерением отрезка ли­нии нитяным дальномером, иногда - даже шагами.

К систематическим относят такие погрешности результатов изме­рений, которые входят в эти результаты по определенному закону.

Так, если известна длина меры при температуре t0, а измерение длины линии местности выполнены при температуре t, то результат из­мерения длины линии будет содержать систематическую погрешность, пропорциональную разности температур (t - ta ) и длине линии. Влияние систематических погрешностей на результаты измерений исключают или сводят до пренебрегаемо малого значения выбором методики измерений или введением поправок в результаты.

Случайные погрешности результатов измерений характеризуются тем, что при одинаковых условиях измерений они могут меняться по ве­личине и знаку; их нельзя заранее предусмотреть, определить закон воз­действия на результат. Статистический анализ, т.е. анализ результатов больших рядов измерений, позволил для случайных погрешностей вы­явить ряд их свойств.

Первое свойство. Для данных условий измерений случайные по­грешности по абсолютной величине не могут превосходить известного предела (свойство ограниченности), т.е.

|А|<=Aпред.

Второе свойство. Равные по абсолютной величине положительные
и отрицательные случайные погрешности равновозможны, т.е. встреча­
ются одинаково часто (свойство симметрии)

Третье свойство. Малые по абсолютной величине случайные по­грешности при измерениях встречаются чаще, чем большие (свойство унимодальности).

Четвертое свойство. Среднее арифметическое из случайных по­грешностей и их попарных произведений стремится к нулю при неогра­ниченном возрастании числа измерений (свойство компенсации ), т.е.

п- число измерений; [ ]-Гауссов символ суммы.

Арифметическая средина

Если имеется ряд результатов равноточных измерений l1, l2,…,ln одной и той же величины, то за оканчатеьное значение принимают L – среднею арифметическую величину из всех результатов. L = l1+l2….+ln/n = [l]/n

Если X – истинное значение измеряемой величины, то, согласно общей формуле

A1 = l1 – X, A2 = l2 – X, … An = ln – X

Сложив правые и левые части уравнений, получим

(A1 + A2 + ,…+ An) = (l1 + l2 + … + ln) – nX

Или сокращённо [A] = [l] – nX откуда X = [l]/n – [A]/n

Согласно формуле из 4 свойства, с увеличениям числа измерений величина [A]/n будет стремиться к нулю, следовательно, при бесконечном большом числе измерений средняя арифметическая [l]/n = L будет равна X – истинному значению измеряемой величины. При конечном же числе измерений величина L будет вероятнейшим значением определяемой величины.

Если возьмём разности между каждым результатом измерения и средним арифметическим, т.е.

l1 – L = v1, l2 – L = v2…… ln – L = vn

и сложим их почленно то получим

[l] – nL = [v]

А из формулы L = l1+l2….+ln/n = [l]/n следует. Что

[v] = 0

Величины v нызывают уклонениями от арифметической середины, или вероятнешими ошибкамию

Средняя арифметическая величина обладает ещё тем свойством, что сумма кважратов уклонений от неё всех чисел, из которых она вычислена, меньше суммы квадратов уклонений тех же чисел т любого другого числа.