Определение координат точек методом засечек

2.1.6. Прямая угловая засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).

Определение координат точек методом засечек - student2.ru

Рис.2.6

Исходные данные: XA, YA, αAC,

XB, YB, αBD

Измеряемые элементы: β1 , β2

Неизвестные элементы: X , Y

Если αAC и αBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D .

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β2 и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

вычислить дирекционные углы линий AP и BP

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.14) ,

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.15)

написать два уравнения прямых линий

для линии AP Y - YA= tgα1 ∙ (X - XA),

для линии BP Y - YB= tgα2 ∙ (X - XB) (2.16)

решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.17) ,

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.18)

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1 и β2 измерены от направлений AB и BA, причем угол β1 - правый, а угол β2 - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.2.7.

Определение координат точек методом засечек - student2.ru

Рис.2.7

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB и длину b линии AB,

вычислить угол γ при вершине P, называемый углом засечки,

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.19)

используя теорему синусов для треугольника APB:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.20)

вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2) ,

вычислить дирекционные углы α1 и α2:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.21)

решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.22)

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B

∟BAP = αAB - (αAC + β1) и ∟ABP = (αBD + β2) - αBA .

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:

вычисление дирекционных углов α1 и α2 ,

введение местной системы координат X'O'Y' с началом в пункте A и с осью O'X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α1 и α2 из системы XOY в систему X'O'Y' (рис.2.8):

X'A = 0 , Y'A = 0 ,

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.23) ,
Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.24) ,

запись уравнений линий AP и BP в системе X'O'Y' :

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.26)

Определение координат точек методом засечек - student2.ru

Рис.2.8

и совместное решение этих уравнений:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.27)

перевод координат X' и Y' из системы X'O'Y' в систему XOY:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.28)

Так как Ctgα2' = - Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.

2.1.7. Линейная засечка

От пункта A с известными координатами XA, YA измерено расстояние S1 до определяемой точки P, а от пункта B с известными координатами XB, YB измерено расстояние S2 до точки P .

Графическое решение. Проведем вокруг пункта A окружность радиусом S1 (в масштабе чертежа), а вокруг пункта B - окружность радиусом S2; точка пересечения окружностей является искомой точкой; задача имеет два решения, так как две окружности пересекаются в двух точках (рис.2.9).

Исходные данные: XA, YA, XB, YB,

Измеряемые элементы: S1, S2,

Неизвестные элементы: X, Y.

Аналитическое решение. Рассмотрим два алгоритма аналитического решения, один - для ручного счета (по способу треугольника) и один - для машинного счета.

Определение координат точек методом засечек - student2.ru

Рис.2.9

Алгоритм ручного счета состоит из следующих действий:

решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,

вычисление в треугольнике ABP углов β1 и β2 по теореме косинусов:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.29)

вычисление угла засечки γ

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.30)

вычисление дирекционных углов сторон AP и BP:

пункт P справа от линии AB

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.31)

пункт P слева от линии АВ

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.32)

решение прямых геодезических задач из пункта A на пункт P и из пункта B на пункт P:

1-е решение

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.33)

2-е решение

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.34)

Результаты обоих решений должны совпадать.

Алгоритм машинного решения линейной засечки состоит из следующих действий:

решение обратной геодезической задачи между пунктами A и B и получение дирекционного угла αAB и длины b линии AB,

введение местной системы координат X'O'Y' с началом в точке A и осью O'X', направленной вдоль линии AB, и пересчет координат пунктов A и B из системы XOY в систему X'O'Y':

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.35)

запись уравнений окружностей в системе X'O'Y':

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.36)

и совместное решение этих уравнений, которое предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.37)

откуда

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.38)

и

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.39)

Если искомая точка находится слева от линии AB, то в формуле (2.39) берется знак «-», если справа, то «+».

пересчет координат X' и Y' точки P из системы X'O'Y' в систему XOY по формулам (2.2):

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.40)

2.1.8. Обратная угловая засечка

К элементарным измерениям относится и измерение угла β на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.

Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10).

Определение координат точек методом засечек - student2.ru

Рис.2.10

Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.41)

Уравнение окружности имеет вид:

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.42)

где XC и YC - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.

Исходные данные: XA, YA, XA,

YB, XC, YC;

Измеряемые элементы: β1, β2.

Неизвестные элементы: X, Y.

Определение координат точек методом засечек - student2.ru

Рис.2.11

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.

Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41):

Определение координат точек методом засечек - student2.ru (2.43)

Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2.

Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β1: если β1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если β1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.

Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если β2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.

2.1.9. Комбинированные засечки

В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата.

На практике для нахождения координат X и Y одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений расстояний и углов, причем эти измерения выполняются как на исходных пунктах, так и на определяемых; такие засечки называются комбинированными. Понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи.

Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.

При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют методом уравнивания. Алгоритмы строгого уравнивания многократных засечек применяются при автоматизированном счете на ЭВМ; для ручного счета используют упрощенные способы уравнивания.

Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки (n измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно n-1), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.

Наши рекомендации