Вычисление случайных погрешностей по результатам серии измерений физической величины

Пусть проведено n одинаковых измерений некоторой величины и получен следующий ряд ее значений:

x₁, x₂, x₃,…, x_n (3.1)

Будем считать, что систематические погрешности исключены. Полученные значения являются случайными величинами. В общем случае они отличны друг от друга и не совпадают с истинным значением из-за наличия случайной погрешности. Для наглядного представления результатов данных измерений можно прибегнуть к графическому методу, в котором используется следующая простая техника построения измеренных величин. Весь диапазон значений от x_min до x_max разбивается на k (10 ÷ 15) интервалов шириной ∆x = (x_max - x_min)/k и определяется число измерений из имеющегося ряда (3.1), попадающих в каждый из k-интервалов:

∆n₁, ∆n₂, …, ∆n_k (3.2)

Вверх от оси x откладываются прямоугольники шириной ∆x и высотой ∆n_i / (n∙∆x). Полученная таким образом ступенчатая фигура (рис. 3.1) называется гистограммой.

Если через точки гистограммы, соответствующие серединам выбранных интервалов, провести плавную кривую, то получим приближённый график (рис. 3.1 ), который показывает относительное число измерений∆n_i /(n∙∆x),приходящееся на единицу ширины каждого интервала, как функцию величины x . В предельном случае (п → ∞; ∆x → 0)приближенный график перейдет в точный график некоторой функции f(x) (рис. 3.2). Функция f(x) называется плотностью распределения случайных измерений. Произведение f(x)dx (заштрихованная площадь на рис. 3.2) задаёт вероятность того, что при измерении величина x будет принимать какое-нибудь значение из интервала (x; x + dx). Полная площадь под кривой f(x) определяет вероятность того, что измеренная величина x примет какое-то значение из интервала (- ∞; + ∞). Такое событие является достоверным. Вероятность его равна единице, т.е.

. (3.3)

Выражение (3.3) называется условием нормировки функции f(x).

Конкретный вид функции f(x),вообще говоря, может быть различным. Однако для подавляющего большинства простых измерений в науке, технике и массовом производстве хорошо выполняется так называемый нормальный закон распределения или закон Гаусса:

(3.4)

Соответствующий график изображен на рис. 3.3, он представляет собой симметричную колоколообразную кривую. Функция f(x) характеризуется двумя параметрами: величиной , соответствующей максимуму кривой (это теоретическое истинное значение) и шириной кривой 2σ на уровне 0,6 её высоты. Параметр σ определяет величину разброса результатов измерений относительно истинного значения и называется средним квадратичным отклонением. Чем больше величина σ, тем больше вероятность заметных отклонений результатов измерений от истинного значения (рис. 3.3). Таким образом, параметр σ характеризует качество данных измерений.

Как уже отмечалось, площадь под кривой f(х) принимается равной единице. Площадь под кривой, соответствующая некоторому интервалу на оси x, определяет вероятность попадания результата измерения в данный интервал. Площадь под кривой f(x) в интервале значений ( ) составляет около 0,68 (рис. 3.4). Это означает, что в среднем 68 % произведенных измерений попадают в "односигмовый" интервал около истинного значения. Аналогично в "двухсигмовый" интервал ( ) попадает в среднем 95% всех измерений, а в "трёхсигмовый" - 99,7%, т.е. за его пределы выходит ничтожная доля всего числа измерений. По этой причине, если измеренное значение выходит за пределы "трёхсигмового" интервала, то его можно считать промахом и отбросить. Это правило является приближённым. Более точная методика определения промахов приведена в разделе 10.

Интервал, в который по результатам измерений заключено истинное значение измеряемой величины, называется доверительным интервалом. При этом истинное значение попадает в доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью или надёжностью. Например, если доверительный интервал принять равным "односигмовому", то доверительная вероятность для него будет равна 68%, для "двухсигмового" она составит 95%, для "трёхсигмового" - 99,7%.

Надежность результата измерения, равная 95%, при "двухсигмовом" доверительном интервале для большинства проводимых на практике расчетов является вполне достаточной. Это значение наиболее часто используется в научной литературе и рекомендуется к использованию в лабораторном практикуме на кафедре физики ИГХТУ.

Число измерений случайной величины x в том или ином эксперименте, как правило, ограничено, что накладывает и ограничения на точность значений σ и x. Однако в теории вероятностей и математической статистике существует методика, позволяющая по результатам серии из n измерений, называемых выборкой, находить приближенные оценки параметров x и σ. Так, в качестве приближенной оценки истинного значения для серии из n измерений принимают среднее арифметическое

(3.5)

Для оценки среднего квадратичного отклонения среднего арифметического теория даёт следующее выражение: (3.6)

Из формулы (3.6) видно, что случайную погрешность среднего значения можно уменьшить, увеличивая число измерений в серии.

Конечная цель измерения состоит в том, чтобы определить доверительный интервал, внутри которого с заданной доверительной вероятностью (0,95 в нашем случае) находится истинное значение физической величины X, что выражается записью результата измерения в виде

(3.7)

Выражение (3.7) означает, что истинное значение измеряемой величины находится где-то внутри интервала ( ) с заданной доверительной вероятностью.

Приближенная оценка величины s по формуле (3.6) отличается от ее истинного значения из-за ограниченного числа измерений в серии. Это отличие будет тем больше, чем меньше число измерений в серии.[1] По этой причине нельзя принять доверительный интервал просто равным "двухсигмовому" - 2sдля используемой нами доверительной вероятности 0,95. Необходимо еще внести поправку, зависящую от числа измерений и расширяющую доверительный интервал. Для этой цели используются так называемые коэффициенты Стьюдента - t_an, приводимые в таблицах (см., например, табл. 1 в конце данного раздела) для разного числа измерений n при различных доверительных вероятностях α. С учетом коэффициента Стьюдента ширина доверительного интервала ∆x вычисляется по формуле

Δx = t_an s (3.8)

Величина ∆x, определенная по уравнению (3.8), характеризует абсолютное отклонение результата измерения от истинного значения и называется абсолютной погрешностью. Абсолютная погрешность еще не дает полного представления о точности проведенных измерений. Например, абсолютная погрешность при измерении двух временных интервалов в 100 с и 10 с оказалась одинаковой и равной 1 с. Ясно, однако, что точность этих измерений различна. Оценить её можно, рассчитав относительную погрешность по формуле

(3.9)

Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от результата измерения и обычно выражается в процентах. В нашем примере для интервала в 100с относительная погрешность составляет 1%, для интервала в 10с - 10%, т.е. точность первого измерения существенно выше.

Таблица 1. Коэффициенты Стъюдента при доверительной вероятности 0,95