Элементы теории ошибок и обработка результатов измерений

Итак, при всех измерениях мы получаем приближённые результаты. Отсюда следует, что повторяя какое-либо измерение несколько раз, мы неизбежно должны получить несколько различные результаты. Однако при тщательном выполнении измерений результаты отдельных измерений должны отличаться между собой на величины, не превышающие пределов точности измерений.

Таким образом, результаты измерений содержат некоторые погрешности или ошибки; они могут зависеть не только от ограниченной точности измерений, но и от ряда других причин: ошибочности показаний приборов, неправильно рассчитанного влияния внешних факторов, недостаточно точно произведённых отсчётов и т.п. Ошибки измерений бывают систематические, случайные и промахи.

Источником промахов является недостаток внимания, грубые просмотры экспериментатора: неверно записанные числа; показания, снятые с другой шкалы; ошибочно записанная единица измерения и т.п. Для устранения промахов нужно соблюдать аккуратность, тщательность в работе и записях результатов. При всяком опыте промахи должны быть исключены.

Систематические ошибки вызываются большей частью неправильной установкой прибора (например, сбит нуль шкалы прибора), непроработанной методикой измерений, или, наконец, постоянным, но односторонним внешним воздействием. Так, измерение температуры термометром, у которого нулевая точка смещена, будет систематически неправильным, пока в результат измерений не будет внесена соответствующая поправка; точно так же неравномерное нагревание коромысла весов, например, лучами солнца, будет давать систематическую ошибку при взвешивании. Характерная особенность этого типа погрешностей заключается в том, что они из опыта в опыт привносятся в равной мере и с одинаковым знаком (измерения в результате этого дают либо завышенный, либо заниженный результат). Так как причины, вызывающие систематические погрешности, в большинстве случаев известны, то эти погрешности в принципе можно исключить, введя соответствующие поправки. Для этого приходится производить проверку приборов, сравнивать показания данных приборов с показаниями эталонного, совершенствовать метод измерения.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин, действие которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Эти ошибки не следуют какой-либо постоянной закономерности, и при каждом измерении одинаково возможны случайные ошибки как в сторону увеличения измеряемой величины, так и в сторону её уменьшения. Исключить случайные ошибки невозможно. Однако теория вероятностей разработала приёмы, которые позволяют уменьшить влияние этих ошибок на результат измерений.

Следует иметь ввиду, что если случайная погрешность, полученная из данных измерений, окажется значительно меньше систематической, то нет смысла пытаться подсчитать величину случайной ошибки - всё равно измерения от этого не станут точнее. Наоборот, если случайная погрешность больше систематической, то измерения следует произвести несколько раз, чтобы случайная погрешность была одного порядка с систематической.

Средняя арифметическая и средняя квадратичная

Ошибки измерений

В основе теории случайных погрешностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто.

2. Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые.

Если, произведя n измерений некоторой величины x, мы получим n значений: x₁, x₂, x₃, ... , x_n, то можно допустить, что среднее арифметическое из всех полученных значений, то есть

(1)

будет приблизительно соответствовать истинному значению измеряемой величины.

Это предположение становится тем более достоверным, чем больше измерений было сделано, отсюда следует, как безусловно необходимое правило, что каждое физическое измерение должно быть повторено несколько раз. При достаточно большом числе измерений наиболее вероятное значение измеряемой величины определяется средним арифметическим из всех её значений, полученных в каждом отдельном измерении.

Разность между средним значением измеряемой величины и её значениями, полученными при отдельных измерениях, то есть величины

. . .

называются абсолютными ошибками отдельных измерений и могут быть как положительными, так и отрицательными. Легко доказать, что . Поэтому для оценки порядка величины случайных погрешностей рассматривается среднее арифметическое значений ошибок, взятых по модулю.

Среднее арифметическое абсолютных значений ошибок всех измерений

(2)

называется средней абсолютной ошибкой результата .

Отношение средней абсолютной ошибки к среднему арифметическому значению измеренной величины

(3)

определяет среднюю относительную ошибку результата измерений. Относительные ошибки принято выражать в процентах.

Наиболее целесообразным для оценки случайной ошибки оказывается использование среднеквадратичной ошибки результатов серии из n измерений, определяемой по формуле:

. (4)