Обратная угловая засечка

К элементарным измерениям относится и измерение угла β на определяемой точке P между направлениями на два пункта A и B с известными координатами XA, YA и XB, YB (рис.2.10). Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно.

Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10).

Рис.2.10

Расстояние b между пунктами A и B считается известным, и из прямоугольного треугольника FCB можно найти радиус R окружности:

(2.41)

Уравнение окружности имеет вид:

(2.42)

где XC и YC - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов A и B на точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты любой точки окружности, в том числе и точки P, но для нахождения двух координат точки P одного такого уравнения недостаточно.

Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).

Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.

Исходные данные: XA, YA, XB,
YB, XC, YC;

Измеряемые элементы: β1, β2.

Неизвестные элементы: X, Y.

Рис.2.11

Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.

Предположим, что положение точки P известно, и проведем две окружности: одну радиусом R1 через точки A, B и P и другую радиусом R2 через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих окружностей получим по формуле (2.41):

(2.43)

Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2.

Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β1: если β1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если β1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.

Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если β2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.

Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.