Графические методы обработки результатов
Наглядным является представление результатов измерений в виде графиков зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о функциональной связи между величинами, позволяют находить значения физических величин, обнаруживать и устанавливать условия различных особенностей связи между ними (а именно, точек перегиба, максимумов, минимумов и т.д.), позволяют делать вывод о соответствии теоретических представлений и моделей данным эксперимента и т.д. График позволяет легко обнаружить грубые ошибки и промахи. Ошибочный результат необходимо дополнительно перепроверить.
Графическую обработку результатов предпочтительно проводить на компьютерах. При построении графиков вручную необходимо руководствоваться рядом правил, многие из которых полезны при работе с компьютером.
1. Выбор бумаги. Графики строят только на бумаге, имеющей координатную сетку. Это может быть миллиметровая бумага с линейным масштабом по осям или логарифмическая бумага, которая бывает двух видов. У бумаги первого вида по одной оси масштаб линейный, по другой – логарифмический, а бумага второго вида имеет логарифмический масштаб по обеим осям. Размер графика и, соответственно, бумаги определяются интервалом изменения измеряемых величин и выбранным масштабом.
2. Выбор системы координат. Графики обычно строят в прямоугольной системе координат, причем по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, т.е. независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – значение функции, зависимой физической величины.
3. Выбор масштабов. Обычно график строят по результатам измерений и расчетов, представленных в таблице, по которым легко установить интервалы изменения соответствующих физических величин. Их наибольшее и наименьшее значения задают значения масштабов, откладываемых по осям. Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по каждой оси. Масштабы по обеим осям можно выбирать независимо друг от друга, руководствуясь абсолютными погрешностями тех величин, которые откладываются по осям: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности. В таком случае будет обеспечена необходимая точность использования графика для количественной обработки результатов измерений. Начало отсчета по осям и масштабы следует выбирать так, чтобы график заполнял всю координатную плоскость. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить график.
4. Нанесение шкал. Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях можно не указывать, если используется общепринятое положительное направление осей, а именно, снизу – вверх и слева – направо. Масштабная шкала должна легко читаться, поэтому необходимо выбирать удобную для восприятия цену деления шкалы. Числовой масштаб на осях наносят в виде равноотстоящих по значению «круглых чисел», например, 2; 4; 6; 8; … или 2,0; 2,2; 2,4; 2,6; … Эти обозначения не следует наносить на поле, на котором будет строиться график. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под масштабными рисками, по оси ординат – слева от рисок. Против каждой оси указывают название или обозначение откладываемой по оси величины, а через запятую – единицы ее измерения в системе СИ.
Если в табличных данных используется стандартная форма записи чисел с множителем вида 10n, то по соответствующей оси при построении графика откладывают только значащие цифры, а общий множитель 10n указывают перед единицей измерения.
В тех случаях, когда диапазон изменений измеряемой величины превышает ее порядок, при построении графиков рекомендуется применять логарифмический масштаб. Для построения логарифмической шкалы удобнее использовать логарифмическую бумагу, чем откладывать по соответствующей оси от начальной точки в некотором масштабе отрезки, равные десятичным логарифмам ряда чисел
5. Нанесение результатов измерений. Экспериментальные точки на поле графика наносят карандашом так, чтобы они были отчетливо различимы. Если на графике приведены несколько зависимостей, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга, для этого их следует отмечать разными значками, например, квадратами, кружками или наносить карандашами разного цвета. Погрешность удобно задавать крестиками, причем размеры отрезков по горизонтали и вертикали определяются величинами соответствующих ошибок измерений.
На рис. 1 приведен пример полученной по точкам экспериментальной зависимости, построенной на бумаге с координатной сеткой. Пусть в опыте исследуется закон движения некоторого тела. В процессе прямолинейного движения измерялось расстояние, которое тело проходило за различные промежутки времени. После обработки результатов измерений были найдены средние значения измеряемых величин и их погрешности, представленные в табл. 5, и по этим данным построен график зависимости пройденного телом пути от времени движения, предполагая, что движение равномерное. Начало оси абсцисс (время) берем при t = 20 с, а начало оси ординат (расстояние) – при S = 0,40 м. Выбираем и наносим на оси масштаб, наносим на координатную плоскость экспериментальные точки и их погрешности. Исходя из предположения о равномерном движении тела, т.е. о линейной зависимости S(t) = υt (υ – скорость тела), проводим прямую линию таким образом, чтобы она не выходила за пределы погрешностей всех точек.
Таблица 5
Зависимость пути, пройденного телом, от времени движения
| Номер опыта | t, c | ∆t, c | S∙10-2, м | ∆S·10-2, м |
| 20,0 | 1,0 | |||
| 25,1 | 1,0 | |||
| 30,0 | 1,0 | |||
| 35,0 | 1,0 | |||
| 40,0 | 1,0 | |||
| 45,0 | 1,0 |
Рис. 1
6. Проведение линий, отображающих зависимости. Нанесенные на график точки, отображающие результаты измерений и расчетов, соединяют карандашом плавной кривой без изломов и перегибов «на глаз» так, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны проведенной кривой. Не следует стремиться проводить кривую через каждую экспериментальную точку, так как проведенная кривая является только интерпретацией результатов измерений, полученных в эксперименте с определенной погрешностью. Поэтому точки будут случайным образом рассеяны около истинного результата, а проведенная кривая имеет долю субъективизма.
В некоторых случаях для того, чтобы получить более точный вид зависимости при проведении измерений, изменение аргумента может быть неодинаково. Это, например, относится к определению координат экстремумов – максимумов и минимумов на кривых графиков. Чтобы уменьшить погрешность экспериментального определения координаты экстремума, необходимо в близкой к нему области выполнить измерения как можно чаще с минимально возможным шагом изменения аргумента х.
Если известно математическое описание исследуемой зависимости, то кривая проводится так, чтобы она отражала проявляющуюся в данном опыте известную или предполагаемую физическую закономерность, выраженную в виде соответствующей формулы.
Если на графике строят теоретическую зависимость, то необходимо чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам, так как теоретические значения координат точек можно вычислить достаточно точно.
7. Отображение погрешностей измерения на графике. Результаты измерений, на основании которых строят графики, выполнены с погрешностями. Чтобы указать значения погрешностей на графике, используют два способа. Если цена наименьшего деления масштабной шкалы графика равняется погрешности откладываемой по данной оси физической величины, как это рекомендовалось выше при выборе масштаба, то в этом случае не требуется дополнительно отображать погрешности измерений на графике.
Если не удается реализовать это условие, то используют прямое отображение погрешностей на поле графика. Около каждой экспериментальной точки вверх, вниз, вправо и влево откладываются отрезки, соответствующие погрешностям точек в масштабах осей. Если погрешность по одной из осей оказывается малой, то предполагается, что она отображается на графике размером самой точки.
По окончании построения графика его нумеруют, дают название, отражающее содержание построенной зависимости. Если на графике построены несколько зависимостей, то их нумеруют и в подписи к графику дают соответствующие пояснения.
8. Работа с графиками. Графическое представление зависимостей во многих случаях позволяет провести достаточно полную обработку экспериментальных данных.
Иногда возникает необходимость считывания точек с графика, т.е. найти значение функции у для заданного значения аргумента х. Это требуется, например, при использовании градуировочных графиков оптических пирометров, термопар, терморезисторов, расходомеров и т.п., которые построены по результатам предварительных измерений или по данным справочников. В этом случае определяемая величина у имеет погрешность, сопоставимую с ценой наименьшего масштабного деления соответствующей оси.
При графической проверке теоретических выводов и модельных представлений экспериментальную и теоретическую кривые строят на одном графике. Для корректности сравнения необходимо учитывать разброс точек экспериментальной кривой. Теоретическая кривая, если она соответствует полученным данным, не должна выходить за пределы экспериментальных значений функции у± ∆у.
Функции дифференцирования и интегрирования для получения более точных данных при обработке результатов измерений обычно следует выполнять на компьютерах, однако в отдельных случаях с невысокой точностью, но с большой степенью наглядности это можно сделать и графически. Поскольку производная от функции у(х) = dy/dx равна тангенсу угла наклона касательной, построенной к кривой у(х) при том же значении аргумента х, при котором определяется производная, поэтому для вычисления производной в некоторой точке необходимо провести на графике касательную к кривой в этой точке и вычислить ее тангенс наклона.
Например, по графику на рис.1 можно определить скорость движения тела. Так как скорость 
=dS/dt, а производная геометрически представляется тангенсом угла наклона касательной к графику функции, то скорость равномерного движения равна тангенсу угла наклона построенной прямой. Очевидно, что находить из графика следует именно тангенс угла как отношение противолежащего катета к прилежащему, взятых в масштабных единицах соответствующих осей, а не измерять сам угол, так как он будет зависеть от выбора масштаба осей.
Известно, что определенный интеграл от неотрицательной функции
численно равен площади плоской геометрической фигуры, ограниченной на графике прямой х = а слева, прямой х = b справа, кривой у(х) сверху и прямой у = 0 снизу. При определении площади фигуры подсчитывают число составляющих ее клеток миллиметровой бумаги с последующим домножением результата подсчета на цену стороны клетки по каждой из двух осей координат. Графическое интегрирование можно использовать, например, при проверке закона излучения нагретого тела Стефана-Больцмана, согласно которому светимость нагретого тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры. Светимость определяют интегрированием экспериментальной кривой на графике зависимости спектральной плотности излучения нагретого тела от длины волны излучения.