Методы вычисления погрешностей

Запись результатов измерений

Различают точные числа и приближенные.

Пример: Число окон = 3 – точное число.

Высота окна h= 2м - приближенное число: h = 2,163 2,16 2,2 2м.

Результат измерения физической величины является, обычно, приближенным числом.

Принято числа, выражающие результаты измерений, округлять так, чтобы они содержали только одну сомнительную цифру.

Пример: Результаты измерений h : 2,163 м; 2,156 м; 2,161 м; 2,142 м. Среднее значение h=2,15 м.

Принято также указывать, в каких пределах это число может изменяться.

Пример: h = (2,15 0,01) м.

В общем виде: А = А_ср А

Величина А называется границей абсолютной погрешности или абсолютной погрешностью.

Интервал от А_ср – A до А_ср+ А называется доверительным интервалом.

Вероятность того, что результаты последующих измерений будут находиться в данном интервале, называется доверительной вероятностью (надежностью).

Пример: h = (2,15 0,01) м при доверительной вероятности 0,95. Эта запись означает, что, если измерять высоту окна, то 95% результатов попадут в этот интервал, а 5% могут не попасть.

При записи доверительного интервала принято округлять значение абсолютной погрешности до одной значащей цифры, а результат измерения - до разряда цифры погрешности.

Пример. Измеренная скорость u = 0,56032 м/c, рассчитанная погрешность u = 0,02814 м/с.

Сначала округляют погрешность u 0,03м/c, затем измеренную величину u 0,56м/с.

Результат: u= (0,56 0,03) м/c.

Значащими цифрами числами называют все его цифры, кроме нулей стоящих слева и нулей, стоящих в конце числа, если они получены в результате округления.

Пример. 0,0165; 5342»5340; 5302»5300.

Качество измерений характеризуется относительной погрешностью

e =( A/A)*100%.

Пример: e= 0.01/2.15*100% 0,5%.

Методы вычисления погрешностей

1. Погрешности табличных значений величин.

Погрешности табличных значений величин принимаются равными половине единицы разряда последней цифры.

Пример: из таблицы выписано значение плотности r=2,7 *10³ кг/м³ ; ∆r = (0,1/2)*10³ = 0,05*10³ кг/м³.

Результат: r = (2,70 ± 0,05)*10³ кг/м³.

2. Погрешности прямых измерений.

Прямые измерения – измерения, при которых результат считывается непосредственно со шкалы.

Пример. Измерения линейкой, термометром амперметром.

В этом случае абсолютная погрешность складывается из погрешности отсчета и инструментальной погрешности. Погрешность отсчета принимается равной половине цены деления, инструментальная тоже, или указывается отдельно, например, в виде класса точности.

Пример: Температура измеряется термометром с ценой деления 1°С. Измеренное значение t=54°С. Погрешность отсчета ∆t_отсч = 0,5°С, инструментальная погрешность ∆t_инстр = 0,5°С. Абсолютная погрешность ∆t = 1°С. Результат: t = (54 ± 1) °С.

3. Погрешности косвенных измерений.

Косвенные измерения – измерения, при которых измеряемая величина определяется вычислением.

Пример: определение плотности. Измеряют m и V, r = m/V.

а) Метод границ.

Пример: определение плотности.

Измеренные значения массы и объема: m = (30.2 ±0.5) г, V = (24 ± 1) cм³.

Среднее значение плотности ρ_cр = 30,2/24 = 1,2583 г/см³,

нижняя граница плотности ρ_н.г = 29,7/25 = 1,1880 г/см³,

верхняя граница плотности ρ_в.г. = 30,7/23 =1,3348 г/см³,

абсолютная погрешность ∆ρ = (1,3348 – 1,1880)/2 = 0,0734 г/см³,

после округления ∆ρ 0,07 г/см³, ρ_ср 1,26 г/см³.

Результат: ρ = (1,26 ± 0,07) г/см³.

б) Метод оценки результата.

Если определяемая величина вычисляется сложением или вычитанием, то абсолютные погрешности складываются. Если определяемая величина вычисляется умножением или делением, то складываются относительные погрешности.

Правила вычисления погрешности

№ № п п	Функция	∆А	ε=∆A/A
	А = а + b А = а – b А = а*b А = а/b	∆а + ∆ b ∆а + ∆ b	∆a/a+∆b/b ∆a/a+∆b/b

4. Погрешности при многократных измерениях.

При повторных измерениях одной и той же величины результаты могут оказаться различными. Причиной этого могут служить непостоянство измеряемой величины, например, диаметра трубы, колебания напряжения в сети, трение в осях и т.д. Такие погрешности называются случайными. Они вызывают отклонение результатов измерений от истинного значения как в большую, так и в меньшую сторону и чаще всего не могут быть устранены.

Кроме случайных существуют систематические погрешности, вызванные неправильной настройкой приборов или другими причинами. Они вызывают отклонение только в одну сторону. Пример: отставание часов. Систематические погрешности можно устранить или учесть.

Если в опыте проведено n измерений одной и той же величины, то в качестве результата измерения принимают среднее арифметическое Ā.

Для расчета границы абсолютной погрешности вычисляют сначала среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического (дисперсию):

= .

Если число измерений невелико, а достаточная надежность равно 95% или 90%, то границу абсолютной погрешности вычисляют по формуле:

ΔА = t* ,

где t называется коэффициент Стьюдента. Он зависит от числа измерений и заданной надежности и определяется по специальным таблицам. Обычно ограничиваются надежностью 95%.

Результат опыта записывают в виде:

А = Ā ∆А

Такая запись означает, что при проведении многократных измерений величены А среднее арифметическое полученных результатов в 95 случаях из 100 будет находиться в интервале от Ā - ∆ А до Ā+ ∆А.

Коэффициенты Стьюдента

Надежность	Число измерений n
0.7	2.0	1.3	1.3	1.2	1.2	1.1	1.1	1.1	1.1	1.1
0.95	12.7	4.3	3.2	2.8	2.6	2.4	2.4	2.4	2.3	2.1
0.99	63.7	9.9	5.8	4.6	4.0	3.7	3.7	3.5	3.3	3.0