Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения

При обработке экспериментальных данных возникает вопрос: подчиняются ли результаты измерения закону распределения? Не противоречивость данной гипотезы должна быть проверена. Поскольку ошибки искажают эмпирический закон, проверку на нормальность проводят после исключения ошибок.

Правдоподобна или нет гипотеза о нормальности закона распределения можно определить по виду гистограмм, построенных по результатам экспериментальных данных.

Порядок построения:

1) Интервалы , на которые разбивается ось абсцисс следует брать по возможности одинаковыми.

2) Число интервалов k устанавливают из следующей рекомендации.

Число измерений	Рекомендуемое число интервалов
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	10-16
1000-10000	12-22

3) Масштаб гистограмм выбирают так, чтобы ее высота относилась к основанию как 5:8.

Если гистограмма имеет вид:

	то можно сказать, что не подчиняется закону
	то может и подчиняется

А если вид обычный, то возникает сомнение, для решения которого нужно правило.

Существует несколько критериев согласия, по которым проверяются гипотезы о соответствии экспериментальных данных тому или иному закону распределения вероятностей.

Наиболее распространенный критерий Пирсона. При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическим законом распределения принимается сумма квадратов отклонений частностей от теоретической вероятности попадания отдельного значения результата измерения в -ый интервал, причем каждое слагаемое берется с коэффициентом .

Если расхождение случайно, то подчиняется распределению Пирсона.

Кривые распределения:

Задавшись значением интервальной функции распределения Пирсона можно проверить боле или меньше ее аргумента вычисленное значение .

Пример

100 независимых численных значений результата измерений напряжения цифровым вольтметром, каждая из которых проводилась 1 раз приведены в 1-ой графе.

8,30
…	…
8,95

Проверить гипотезу о том, что результаты измерения подчиняются нормальному закону.

Решение:

1.Используя результаты вспомогательных вычислений, сведенные к 3-ей графе, найдем среднее арифметическое.

2. Используя 5 и 6 графы определим стандартное отклонение =0,127.

3.Ни одно из значений не отличается от среднего больше чем на 3 =0,381. Следовательно, ошибок нет.

4.При использовании критерия Пирсона в каждом интервале должно быть не меньше 5 независимых значений, в соответствии с этим интервалы будут такими:

	Интервалы
		8,425		-1,614	-0,4767	0,0533
	8,425	8,475		-1,220	-0,3888	0,0579
	8,475	8,525		-0,827	-0,2959	0,0929
	8,525	8,575		-0,433	-0,1676
	8,575	8,625		-0,039	-0,0157
…
	8,825				0,5000	0,0623

5. Определим на сколько отстоит от среднего арифметического, правая граница каждого интервала

6. По значению из графика можно определить с какой вероятностью отдельное значение результата измерения, подчиняющегося нормальному закону распределения попадает в интервал . С вероятностью в 2 раза меньшей оно попадает в левую или правую половину этого интервала. Эта вероятность определяется функцией Лапласа . Так что для повышения точности можно воспользоваться не графиком, а таблицей. Данные из таблиц занесем в графу .

7. Теоретическая вероятность попадания в -ый интервал отдельного значения результата измерения равна: . Принимая во внимание, что , , поместим рассчитанные значения в следующую графу.

В 7 и 8 графы внесены вспомогательные величины. Суммирование чисел в последней графе даст равное 2,528. Из графика видно, что рассчитанное значение << , соответствующего Р=0,95.

Т.о. можно применять гипотезу о том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятностей.

При проверке нормальности закона распределения по критерию Пирсона хорошие результаты получаются только при , при применяется составной критерий.

Сначала рассчитывается d, равное и проверяется выполнение условия , где и берется из таблицы для соответствующего значения доверительной вероятности.

Если это условие соблюдается, то дополнительно проверяются хвосты законов распределения вероятности.

При считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения от среднего арифметического больше чем на 2,5 (стандартного отклонения);

При - 2 .

Несоблюдение хотя бы одного из 2-х условий достаточно для того, чтобы гипотеза о нормальности закона распределения была отвергнута.

При гипотеза о нормальности закона не проверяется.

Решение принимается на основе априорной информации.