Погрешности косвенных измерений

Рассмотрим сначала случай, когда величина у зависит только от одной переменной х, которая находится прямым измерением,

Погрешности косвенных измерений - student2.ru . (8)

Среднее арифметическое <y> можно найти, подставив в (8) вместо х среднее арифметическое <х>.

Погрешности косвенных измерений - student2.ru .

Абсолютную погрешность можно рассматривать как приращение функции (8) при приращении аргумента ∆х (полная погрешность измеряемой величины х). При малых значениях ∆х она приближенно равна дифференциалу функции

Погрешности косвенных измерений - student2.ru , (9)

где Погрешности косвенных измерений - student2.ru - производная функции, вычисленная при Погрешности косвенных измерений - student2.ru . Относительная погрешность будет равна

Погрешности косвенных измерений - student2.ru .

Пусть определяемая величина у является функцией нескольких переменных хi,

Погрешности косвенных измерений - student2.ru . (10)

Предполагается, что погрешности всех величин в рабочей формуле носят случайный характер, независимы и рассчитаны с одной и той же доверительной вероятностью (например Р = 0,95). Такую же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины. В этом случае наиболее вероятное значение величины <у> определяют по формуле (10), используя для расчета наиболее вероятные значения величин хi, т. е. их средние значения:

<у> = f(<x1>, <x2>, …,<xi>, …,<xm>).

В этом случае абсолютная погрешность окончательного результата Δу определяется по формуле

Погрешности косвенных измерений - student2.ru , (11)

где ∂у/∂хi – частные производные функции у по аргументам хi, вычисленные для наиболее вероятных значений величин хi. Частная производная – это производная, которая вычисляется от функции у по аргументу хi при условии, что все остальные аргументы считаются постоянными.

Относительную погрешность величины у получим, поделив ∆у на <у>

Погрешности косвенных измерений - student2.ru . (12)

Принимая во внимание, что (1/у) dy/dx представляет производную по х от натурального логарифма у относительную погрешность можно записать так

Погрешности косвенных измерений - student2.ru . (13)

Формулу (12) удобнее использовать в тех случаях, когда в зависимости (10) измеряемые величины хi входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (13) является удобной для расчетов тогда, когда (10) представляет собой произведения величин хi. В последнем случае предварительное логарифмирование выражения (10) существенно упрощает вид частных производных. Измеряемая величина у является величиной размерной и логарифмировать размерную величину нельзя. Чтобы устранить эту некорректность, нужно разделить у на постоянную, имеющую данную размерность. После логарифмирования получится дополнительное слагаемое, которое не зависит от величин хi и поэтому исчезнет при взятии частных производных, так как производная от постоянной величины равна нулю. Поэтому при логарифмировании наличие такого слагаемого просто подразумевается.

Учитывая простую связь между абсолютной и относительной погрешностями εу = Δу/<у>, легко по известной величине Δу вычислить εу и наоборот.

Функциональная связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения для некоторых простых случаев приведена в табл. 3.

Рассмотрим некоторые особые случаи, возникающие при вычислении погрешностей измерений. Приведенные выше формулы для расчета погрешностей косвенных измерений справедливы только тогда, когда все хi независимые величины и измерены различными приборами и методами. На практике это условие не всегда соблюдается. Например, если какие-либо физические величины в зависимости (10) измеряются одним и тем же прибором, то приборные погрешности Δхi пр этих величин уже не будут независимыми, и приборная погрешность косвенно измеряемой величины Δупр в этом случае будет несколько больше, чем при «квадратичном суммировании». Например, если площадь пластины длиной l и шириной b измерены одним штангенциркулем, то относительная приборная погрешность косвенного измерения будет

(ΔS/S)пр = (Δl/l)пр + (Δb/b)пр,

т.е. погрешности суммируются арифметически (погрешности Δlпр и Δbпр одного знака и их величины одинаковы), вместо относительной приборной погрешности

Погрешности косвенных измерений - student2.ru

при независимых погрешностях.

Таблица 3

Функциональная связь погрешностей прямых и косвенных измерений

Рабочая формула Формула для расчета погрешности
Погрешности косвенных измерений - student2.ru Погрешности косвенных измерений - student2.ru
Погрешности косвенных измерений - student2.ru Погрешности косвенных измерений - student2.ru
Погрешности косвенных измерений - student2.ru Погрешности косвенных измерений - student2.ru
Погрешности косвенных измерений - student2.ru Погрешности косвенных измерений - student2.ru
Погрешности косвенных измерений - student2.ru Погрешности косвенных измерений - student2.ru

При проведении измерений возможны случаи, когда величины хi имеют разные значения, специально изменяемые или задаваемые во время эксперимента, например, вязкость жидкости по методу Пуазейля определяют для разной высоты столба жидкости над капилляром, или ускорение свободного падения g определяют с помощью математического маятника для разных длин). В таких случаях следует вычислять значение косвенно измеряемой величины у в каждом из n опытов по отдельности, а в качестве наиболее вероятного значения ее брать среднее значение, т.е. Погрешности косвенных измерений - student2.ru . Случайная погрешность Δусл вычисляется как погрешность при прямом измерении. Вычисление приборной погрешности Δупр производится через частные производные по формуле (11), а окончательная полная погрешность косвенно измеряемой величины подсчитывается по формуле

Погрешности косвенных измерений - student2.ru . (14)

Наши рекомендации