Оценка точности геодезических измерений

Методические указания по выполнению

лабораторной работы

Санкт-Петербург

УДК О86

ББК 76.17

Составитель: к.т.н., доцент А.В. Москаль

Рецензент: к.т.н., доцент А.В. Зернов

Оценка точности геодезических измерений: Методические указания по выполнению лабораторной работы. - СПб.: СПГУВК, 2011. - 26 с.

Методические указания содержат рекомендации для решения задач по теории погрешности измерений применительно к геодезическим измерениям. Приведены основные теоретические положения и расчетные формулы.

Предназначены для студентов I курса очного отделения, обучающихся на гидротехническом факультете по направлению 550100 “Строительство” и по специальности 320600 “Комплексное использование и охрана водных ресурсов”.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций.

УДК О86

ББК 76.17

Ó Санкт-Петербургский государственный

университет водных коммуникаций, 2011.

В В Е Д Е Н И Е

Измерения составляют основную часть полевых геодезических работ. Количественный результат измерения, выражающий числовое значение измеренной величины, должен сопровождаться качественной оценкой, которая выражает точность, правильность и надежность полученного результата. С развитием технических средств и методов геодезических измерений качественные характеристики результатов измерения постоянно улучшаются, но, тем не менее, любые измерения сопровождаются погрешностями.

Повышение качества результатов измерения не является самоцелью. Точность измерений должна соответствовать уровню требований задачи, для которой эти измерения выполняются. Так как стоимость выполнения измерений по отношению к их точности возрастает по квадратическому закону, измерения, выполненные с избыточной точностью, приводят к неоправданным расходам и экономически нецелесообразны.

Изучение свойств и закономерностей погрешностей составляет предмет теории погрешностей, которая является разделом теории вероятностей и математической статистики. Для изучения качества геодезических измерений, законов возникновения и воздействия погрешностей на результат измерения, разработки и применения правил оценки качества результатов измерений, способов вычисления наиболее надежных окончательных результатов служит теория математической обработки результатов геодезических измерений.

Лабораторная работа включает в себя ознакомление с основными положениями теории погрешностей и математической обработки результатов геодезических измерения, решение нескольких практических задач по оценке точности геодезических измерений и вопросы для самопроверки знаний, полученных студентами на лекциях, при чтении учебника и в процессе выполнения настоящей лабораторной работы.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИЯХ

Измерением называется процесс нахождения значения физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств.

Измерения могут быть прямыми и косвенными. При выполнении прямых измерений искомое значение величины находят непосредственно, путем сравнения с некоторым эталоном, а при выполнении косвенных - на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям.

Измерения выполняются путем наблюдений. Наблюдением называется операция, выполняемая в процессе измерений, в результате которой получают одно значение из группы значений величин, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения.

Результатом наблюдения называется значение величины, получаемое при отдельном наблюдении. Результат измерения есть значение величины, найденное путем ее измерения.

Измерения могут быть равноточными и неравноточными. Равноточными называются однородные измерения, выполняемые в сходных условиях одним и тем же инструментом (или разными инструментами одного класса точности), одним и тем же наблюдателем (или другим, равным ему по квалификации), одним и тем же методом. При неравноточных измерениях не соблюдаются условия равноточности.

При обработке результатов измерений большое значение имеют понятия необходимых и избыточных измерений. Количество необходимых измерений есть число результатов измерений, необходимых для решения поставленной задачи. Количество избыточных измерений - это разность числа выполненных измерений и числа необходимых результатов измерений. При измерении одной величины необходимым является один результат измерения, а все остальные - избыточные. Однако, оценка качества измерений и их надежности возможна только при наличии избыточных измерений. Увеличение количества избыточных измерений повышает надежность результата измерений, но при этом увеличивает стоимость выполнения работ.

Истинное значение величины - это значение, которое идеальным образом отражает в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство объекта. Применительно к геодезическим измерениям под истинным значением принято понимать безошибочное значение.

Действительное значение величины - это значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что на практике может быть использовано вместо него.

Результаты измерений, как бы тщательно они не были получены, всегда отягощены погрешностями измерений.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА

По источнику возникновения погрешности измерений подразделяются на следующие основные группы:

а) инструментальная погрешность - это часть погрешности измерения, зависящая от применяемых средств измерения;

б) погрешность, обусловленная отклонением от расчетного состояния среды, в которой производятся измерения ( погрешность среды );

в) погрешность, обусловленная изменением физического, геометрического и т.п. состояния объекта измерений ( погрешность объекта измерений );

г) погрешность метода измерений - составляющая погрешности измерения, происходящая от несовершенства метода измерения;

д) погрешность наблюдателя или “личная погрешность”.

По характеру влияния на результат измерения погрешности, входящие в каждую из перечисленных выше групп, подразделяются на грубые, систематические и случайные.

Грубая погрешность существенно превышает погрешность, ожидаемую для данных условий измерений. Грубые погрешности вызываются промахами или просчетами наблюдателя, неисправностями средств измерений, резким изменением внешних условий, в которых выполняются измерения. Грубые погрешности выявляются путем организации повторных измерений и исключаются из дальнейшей обработки.

Систематическая погрешность - это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности подчиняются вполне определенным закономерностям, для их выявления и исключения из результатов измерений необходимо знать физическую сущность решаемой задачи. Влияние систематических погрешностей на результаты измерений сводят к допустимому минимуму путем тщательной проверки средств измерений, применения соответствующей методики измерений, а также путем введения поправок в результаты измерений.

Случайная погрешность - это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Влияние случайной погрешности на результат измерения неизвестно. Для большинства измерений принимается, что случайные погрешности измеренных величин подчиняются нормальному закону распределения К.Ф. Гаусса:

(1)

где l_i (i – 1, 2, 3 …) – измеренные значения искомой величины; s – параметр нормального распределения, называемый стандартом; a – параметр нормального распределения, называемый математическим ожиданием; e – основание натуральных логарифмов.

Уравнению (1) соответствует кривая нормального распределения случайных погрешностей, представленная на рис.1а. Площадь, ограниченная кривой и осью абсцисс, принимается равной единице. Часть этой площади, соответствующая какому-либо отрезку оси абсцисс, дает численную характеристику попадания случайного результата из серии l_i в этот интервал. Чем больше число измерений, тем надежнее определяется интервал или размер площади. При l=a, что соответствует неограниченно большому количеству измерений, получим максимальное значение ординаты кривой нормального распределения:

Основная масса значений измеряемой величины группируется около ее вероятнейшего значения, а именно - вокруг математического ожидания a.

Если при одинаковых условиях теми же приборами и наблюдателем с той же точностью будет многократно измерена другая величина с параметром a₁, большим, чем a, то центр группировки сместится вправо, а кривая нормального распределения сохранит свою форму и площадь (рис.1б).

Если при постоянном значении параметра a изменить параметр s, т.е. уменьшить или увеличить точность измерений, то центр группирования останется неизменным, а форма кривой изменится. Она станет более распластанной вдоль оси абсцисс при снижении точности измерения (увеличении параметра s) или примет более пикообразную форму при повышении точности измерения (уменьшении параметра s), как это показано на рис.1в для условия s₂<s₁. Параметр s ( стандарт ) является характеристикой случайных погрешностей измерения.

Нормальный закон распределения случайных погрешностей определяет следующие основные свойства случайных погрешностей:

Рис. 1. Кривые нормального распределения погрешностей

1. При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела. Это свойство позволяет обнаруживать, а затем исключать грубые погрешности. Из рис.1а следует, что в интервал от (a – s) до (a + s) попадает 68,3% значений измеряемой величины, в интервал от (a – 2s) до (a + 2s) попадает 95,4%, а в интервал (a – 3s) до (a + 3s) – 99,7%. Следовательно, в качестве предельной случайной погрешности можно принять s_пр = 3s, но в целях повышения качества измерений обычно принимают s_пр = 2s.

2. Положительные и отрицательные погрешности равновозможны, причем малые по абсолютной величине погрешности встречаются в измерениях чаще, чем большие.

3. Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном числе измерений. Если обозначить случайные погрешности , , , …,. , а знак суммы - , то

(2)

4. Предел отношения суммы квадратов случайных погрешностей к их количеству есть величина постоянная, называемая стандартом s

s² (3)

3. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

Качество измерений характеризуется тремя критериями: правильностью, точностью и надежностью.

Правильность измерения - это качество измерения, отражающее близость к нулю систематических погрешностей в результатах измерений. Правильность измерения обеспечивается путем введения в результат измерения поправок, равных систематическим погрешностям по абсолютной величине, но противоположных по знаку.

Точность измерения - это качество измерения, отражающее близость их результатов к истинному значению измеряемой величины. Высокая точность соответствует малым погрешностям всех видов, как систематических, так и случайных. Если тем или иным способом обеспечена правильность измерений, т.е. систематические погрешности исключены из результата измерений, то в этом случае точность измерения определяется случайными составляющими погрешности измерения.

Надежность измерения - это качество измерения, определяющее отсутствие в результате измерения грубых погрешностей (промахов). Аномальный результат измерения, т.е. отягощенный грубыми погрешностями, должен быть исключен из обработки, отбракован. На практике для обеспечения надежности результата измерения нередко оказывается достаточным произвести пробу, т.е., например, при измерении линии в прямом l₁ и обратном l₂ направлениях получить разность Dl = l₁ – l₂. Если Dl превышает допустимую величину, что свидетельствует о наличии грубой погрешности в результатах измерений, то необходимо выбраковать результаты l₁ и l₂ как ненадежные. Все измерения при этом биссируются, т.е. повторяются.

4. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. Оценка точности равноточных измерений

При обработке группы результатов измерений следует выполнить следующие операции:

1. Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений путем введения в них соответствующих поправок.

2. Вычислить среднее арифметическое исправленных (правильных) результатов отдельных измерений (наблюдений). За результат измерения принимается среднее арифметическое результатов наблюдений, свободных от грубых и систематических погрешностей.

3. Вычислить среднюю квадратическую погрешность результата одного измерения (наблюдения), которая является приближенным значением стандарта.

Численное значение m, если известно истинное значение измеряемой величины X, определяют по формуле Гаусса:

(4)

где D = l – X – истинная погрешность; X – истинное значение измеряемой величины; l – наблюденное значение величины, результат наблюдения; n – количество наблюдений.

На практике, как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно. В этом случае используется формула Бесселя:

(5)

где – вероятнейшая погрешность; l – результат наблюдения; – вероятнейшее значение измеряемой величины (среднее арифметическое результатов наблюдений); n - количество наблюдений.

Интервал, в котором погрешность наблюдения находится с заданной вероятностью p, устанавливается, исходя из нормального распределения погрешностей, т.е. при p = 0,68 интервал определяется от –m до +m, при p = 0,95 – от –2m до +2m и при p = 0,99 – от –3m до +3m.

4. Вычислить среднюю квадратическую погрешность результата измерения (арифметической середины) M по формуле:

(6)

4.2. Оценка точности неравноточных измерений

Как и в случае равноточных измерений, на первом этапе необходимо исключить из результатов измерений известные систематические погрешности путем введения соответствующих поправок.

Далее необходимо определить вес каждого результата измерения. Вес результата измерения является положительным числом, обратно пропорциональным квадрату средней квадратической погрешности:

(7)

где p_i - вес i-го результата измерения; m_i - средняя квадратическая погрешность этого результата измерения; c - коэффициент пропорциональности.

На практике определение веса результата часто производят до вычисления средней квадратической погрешности. В простейшем случае вес результата может быть принят пропорционально числу приемов измерения. Например, имеется два ряда измерений одного и того же угла, выполненных двумя и тремя приемами ссответственно:

1 ряд2 ряд

1. 178⁰15¢10¢¢ 1. 178⁰15¢02¢¢

2. 178⁰15¢20¢¢ 2. 178⁰15¢15¢¢

3. 178⁰15¢25¢¢

a₁=178⁰15¢15¢¢ a₂=178⁰15¢14¢¢

Можно считать, что имеется два результата измерения:

a₁=178⁰15¢15¢¢ с весом p₁ =2;

a₂=178⁰15¢14¢¢ с весом p₂ =3

Если результаты получены путем измерения одной и той же величины приборами разного класса точности, то вес принимается обратно пропорционально классу точности прибора. Например, если угол измерен двумя теодолитами с точностью отсчетного приспособления 10¢¢ и 30¢¢ и результаты измерения соответственно равны 14⁰28¢10¢¢ и 14⁰28¢40¢¢, то им могут быть приданы веса 3 и 1.

Как вытекает из формулы (7), вес есть величина безразмерная и может быть произвольно увеличен или уменьшен в несколько раз. При вычислении вероятнейшего значения неравноточных измерений важны не сами веса, а их соотношения. Правильный выбор коэффициента пропорциональности в ряде случаев позволяет значительно облегчить вычисления.

Вероятнейшим значением ряда неравноточных измерений является весовое среднее (общее арифметическое среднее), которое принимается в качестве результата измерения:

(8)

где - весовое среднее; p_i – вес i-го результата измерения (i=1, 2, 3 …); l_i - результат i-го измерения ( =1, 2, 3 …); [p_i] - сумма весов результатов измерений.

Средняя квадратическая погрешность единицы веса:

(9)

Если в формуле (9) принять p=1, то m будет численно равно m. Отсюда и происходит название величины m – погрешность единицы веса.

Средняя квадратическая погрешность весового среднего (результата измерений) определяется по выражению

(10)

4.3. Оценка точности результатов двойных измерений

В геодезической практике часто применяется метод двойных измерений, который заключается в том, что одну и ту же величину измеряют дважды, а результаты измерений обрабатывают с применением формул для истинных погрешностей. Используя разность двойных измерений можно получить надежные оценки точности измерений. Пусть

(11)

где d_i - разность двойного измерения; l_i и - результаты измерения одной и той же величины.

Если бы измерения были безошибочны, то разности были бы равны нулю. Следовательно, каждая разность d_i является истинной погрешностью и для средней квадратической погрешности m_d разности двойных измерений d можно записать

(12)

где n - количество всех разностей.

Все результаты измерений равноточны, поэтому можно считать

m = m₁ = m₂

где m₁ и m₂ – средние квадратические погрешности первого и второго измерений. Поскольку

то можно записать

(13)

Формула (13) дает выражение средней квадратической погрешности отдельного измерения из двойных измерений при отсутствии систематических погрешностей.

Если разности двойных измерений содержат систематическую погрешность, то ее нужно предварительно исключить.

Величина возможной остаточной систематической погрешности в разностях вычисляется как среднее арифметическое из этих разностей

(14)

Величину d₀ при обработке исключают из разностей d_i и находят значения d_i – случайной части погрешностей разностей двойных измерений

d_i = d₀ – d_i (15)

При этом [d]=0, т.к.

[d]=[d] – d₀×n = 0

Применяя в этом случае формулу Бесселя, получим

(16)

(17)

Вероятнейшим значением измеряемой величины будет среднее арифметическое из двух измерений

(18)

Среднюю квадратическую погрешность среднего из двух измерений (результата измерений) можно получить по формуле

(19)

5. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Задача 1. Оценка точности измерения длин линий.

Многократно и равноточно измерена длина линии на местности.

Результаты измерений приведены в задании.

Вычислить:

- результат измерения как среднее арифметическое из результатов отдельных измерений (наблюдений)

l₀= ;

- отклонение результата каждого отдельного измерения (наблюдения) l от результата измерения l₀

n= l - l₀

Следует отметить, что сумма [n] этих отклонений (вероятнейших погрешностей) должна быть равна нулю или достаточно близка к нему (это является признаком правильности выполненных вычислений);

- среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения (наблюдения) m ;

- среднюю квадратическую погрешность результата измерений M ;

- относительную среднюю квадратическую погрешность результата

измерения M/l₀ ;

- предельную случайную погрешность (доверительный интервал случайных

погрешностей) при p=0,95.

Результаты обработки наблюдений представить в табличной форме.

Пример:

Таблица 1

№№ п/п	Результаты наблюдений l (м)	n, см	n2	Показатели точности
	125,61	-11		l0 = 125,72±0,03 м
	125,72			m=0,07 м M=0,03 м
	125,77	+5		м ( при p=0,95 )
	125,79	+7
	125,71	-1

l₀=125,72 [n]=0 [n²]=196

= 7 см

см

=

При p=0,95 предельная случайная погрешность равна =2m=14 см.

Задача 2. Оценка точности измерения углов.

Многократно и равноточно измерен горизонтальный угол между

двумя направлениями на местности.

Результаты измерений a приведены в задании.

Вычислить:

- результат измерения как среднее арифметическое из результатов отдельных измерений (наблюдений)

;

- отклонение результата каждого отдельного измерения (наблюдения) a от результата измерения a₀

n= a - a₀

Контролем правильности вычислений служит равенство нулю суммы этих отклонений [n];

- среднюю квадратическую погрешность m одного измерения;

- среднюю квадратическую погрешность M результата измерений;

- предельную случайную погрешность при p=0,68.

Результаты обработки наблюдений представить в табличной форме.

Пример:

Таблица 2

№№ п/п	Результаты наблюдений a	n, ( " )	n2	Показатели точности
	128024'28"	+16		a0=128024'12"±6"
	128024'10"	-2		m=14" M=6"
	128024'24"	+12		=14" ( при p=0,68 )
	128023'53"	-19
	128024'05"	-7

a₀=128⁰24'12" [n]=0 [n²]=814

= 14"

= 6"

При p=0,68 предельная случайная погрешность равна =m=14".

Задача 3. Оценка неравноточных измерений.