Периодические ошибки шага растров

Периодической ошибкой шага растров называется составляющая ошибки, величина которой периодически повторяется вдоль растра. Наименьшее расстояние, па котором происходит повторение величины и знака ошибки, носит название периода периодической ошибки шага.

Большинство растровых и дифракционных решеток даже хорошего качества содержит ощутимые периодические ошибки шага. Наиболее распространенными периодическими ошибками являются ошибки с периодом, равным шагу ходового винта делительной машины. Период ошибки растра, нарезанного на длительной машине «Оптик», равен 1 мм, а период ошибки растра, нарезанного на делительной машине завода «Калибр», равен 2 мм, так как шаг винта машины «Оптик» равен 1 мм, а машины «Калибр» 2 мм. Такого рода периодические ошибки возникают из-за биения подпятников ходового винта делительной машины, изгиба винта, а также в результате его погрешностей, выражающихся в виде наклона витков винта к его оси («пьяная нарезка»).

Кроме основной периодической ошибки, встречаются еще ошибки, период которых укладывается в основном целое число раз. Такого рода периодические ошибки могут возникнуть из-за ошибок в передаче вращательного движения от двигателя к винту машины.

Периодическую ошибку удобно исследовать на комбинационном растре, полученном в результате сопряжения исследуемого растра и эталонного, не имеющего периодической ошибки. На рис. 110 приведены увеличенные фото комбинационного растра, образованного из двух растровых решеток, содержащих периодическую ошибку.

Рис. 110. Периодические ошибки шага растровых мер.

Волнистая линия, проведенная по вершинам элементов комбинационного растра, представляет собой график периодической ошибки. Уравнение волнистой линии в общем случае удобно представить в виде ряда

(146)

где Т – период основной гармоники ошибки шага;

α_k – начальная фаза k-й гармоники ошибки.

Для получения уравнения периодической ошибки шага растра уравнение волнистой линии необходимо разделить на передаточное отношение К растрового звена. Подставив в уравнение (146) зависимости ∆g=∆G/K и ∆g^*_Пk =∆G^*_Пk /K, получим функцию периодической ошибки шага растра:

(147)

где ∆g^*_Пk – максимальная величина периодической ошибки k-й гармоники.

Величину К легко определить, зная номинальный шаг растра и измеренный шаг G^* на комбинационном растре.

На рис.110,а изображен комбинационный растр с периодической ошибкой шага. Передаточное отношение комбинационного растра равно:

откуда периодическая ошибка

(148)

где G' – шаг комбинационного растра на увеличенной фотографии;

К' – коэффициент увеличения фотографии.

Комбинационный растр, на котором исследовалась периодическая ошибка шага, был образован в результате сопряжения двух растров одной партии, имеющих одинаковую ошибку. На комбинационном растре получилось в некотором масштабе изображение удвоенной ошибки, поэтому в знаменатель зависимости (148) введен коэффициент 2. Изображение удвоенной ошибки шага на комбинационном растре получается в случае, когда фазы периодических ошибок растров, образующих звено, совпадают. Если фаза ошибки одного из растров отстает от фазы ошибки другого растра на половину периода, то комбинационная полоса превращается в прямую.

На рис. 110,в средняя (нулевая) комбинационная полоса является прямой. При перемещении от этой линии вверх или вниз фаза ошибки одного из растров начинает отставать от фазы ошибки другого и на комбинационных полосах увеличивается волнистость с увеличением их номера. Если в периоде ошибки, содержащей одну гармонику, укладывается m линий, то для n-й полосы величина амплитуды ошибки, изображенной на комбинационном растре, равна:

Например, если период ошибки равен 1 мм, а шаг растров g = 0,1 мм, то амплитуда ошибки на первой полосе

Наибольшая амплитуда ошибки в этом случае, очевидно, будет на пятой полосе:

(149)

Таким образом, при относительном перемещении растров амплитуда периодической ошибки на комбинационной полосе, находящейся против анализирующей щели, будет изменяться от ∆G_П = 0 до ∆G_П = =2∆G^*_П.

В формуле (147) отсутствует постоянный член ∆g_с, определяющий наличие прогрессивной ошибки. При наличии прогрессивной ошибки имеем:

Эта ошибка носит название регулярной ошибки шага растра. Регулярная ошибка шага растра не содержит местных ошибок, т. е. случайной составляющей.

Рис. 111. Влияние периодической ошибки шага на сигнал.

Для исключения периодической ошибки шага растра можно воспользоваться интегрирующими свойствами анализирующей щелевой диафрагмы.

При перемещении измерительного растра растрового звена в направлении, перпендикулярном линиям растра, фаза периодической ошибки изменяется. Это выражается в явлении перемещения волнистой комбинационной полосы вдоль анализирующей диафрагмы. Если длина щелевой диафрагмы равна шагу растра, то при перемещении волнистой комбинационной полосы фототок будет повторять форму комбинационной полосы.

На рис. (111) приведены графики изменения тока в ФЭУ-25, построенные по экспериментальным данным без периодической ошибки (1) и при наличии периодической ошибки шага растра и короткой щели (2). Изменения тока происходят в пределах ±3 мка, что соответствует амплитуде периодической ошибки 7,5 мкм. С увеличением длины щели колебание тока уменьшается и при длине щели, кратной периоду ошибки, изменения тока отсутствуют.

Если периодическая ошибка по форме несинусоидальна, т. е. содержит, кроме первой гармоники, еще гармоники высших порядков, то, подбирая соответственно длину щели, можно исключить из состава ошибки любую гармонику.

Разложим функцию периодической ошибки шага растра в тригонометрический ряд:

Проинтегрировав ряд в пределах от до (где l – длина растрового сопряжения), получим:

или

(150)

где ∆g^*_с/2 – постоянный член, который входит в сглаженную ошибку; постоянные слагаемые, образующиеся в результате интегрирования, войдут в первый член ∆g_с^**/2.

Из выражения (150) видно, что в результате применения щели, длина которой кратна периоду выбранной гармоники, ошибка, возникающая в результате ее действия, исключается из общей периодической ошибки, так как член sin обращается в нуль.

Как уже упоминалось выше, основная периодическая ошибка шага растра содержит составляющую первой гармоники, период которой равен шагу ходового винта делительной машины. Поэтому и длину щелей анализирующей диафрагмы чаще всего приходится выбирать кратной шагу ходового винта делительной машины, на которой нарезан растр.

В разработанных измерительных системах длина щели анализирующей диафрагмы выбиралась порядка 10–12 мм. На такой длине укладывалось 10–12 периодов ошибки измерительного растра, и это позволило свести влияние периодической ошибки величиной 4–5 мкм на точность измерительной системы к минимальной величине. При экспериментальных исследованиях величина периодической ошибки (с учетом интегрирования ее щелевой диафрагмой) не могла быть оценена ввиду ее малости.

Для многих случаев точность определения периодических ошибок по комбинационным полосам растрового звена недостаточна.

Иногда в распоряжении исследователя имеется один растр и нет эталонного растра с таким же шагом. Поэтому определять периодическую ошибку приходится по аттестату растра. По аттестату приходится оценивать также штриховые масштабы, т. е. шкалы, от которых невозможно получить комбинационные полосы. В этих случаях приходится к изучению периодических ошибок шага привлекать аппарат теории случайных функций. Эта теория хорошо разработана для стационарных случайных функций.

Для получения стационарной функции функцию ошибок шага растра надо центрировать. Центрированная ошибка шага представляет собой сумму периодической и местной ошибок и не содержит сглаженной ошибки, т. е. это такая функция, математическое ожидание которой, вычисленное на некотором интервале, равно нулю.

Для вычисления центрированной функции из случайной последовательности надо вычесть сглаженную функцию:

Любой член центрированной последовательности получается по формуле

(151)

Так как центрированная ошибка является суммой только периодической и местной ошибок, то она не содержит систематической составляющей. На рис. 108 приведен график центрированной ошибки ∆g_ц, вычисленной по формуле (151).

Рис. 112. Периодическая ошибка ширины штрихов.

Другой вид периодической ошибки показан на рис. 112. Эта ошибка получается в результате периодического изменения ширины штрихов растра в направлении, перпендикулярном штрихам. Растр, содержащий периодическую ошибку ширины штрихов, получен на делительной машине, дающей периодическую ошибку шага следования штрихов путем сдвига заготовки на величину половины периода ошибки шага в направлении, параллельном движению заготовки в процессе нарезки растра.

Величина шага следования штрихов, имеющих периодическую ошибку, может быть задана функцией

При сдвиге заготовки растра на величину полупериода ошибки Т/2 вдоль оси х на шаг растра накладывается составляющая

откуда получаем:

т. е. периодическая ошибка шага отсутствует.

При этом выражение ошибки ширины штриха имеет вид

Местные ошибки шага растров

Местной составляющей ошибки шага называется разность между ошибкой шага и ее регулярной составляющей. Местная составляющая ошибки имеет случайный характер и статически равномерно распределена вдоль растра. При нормальной работе делительной машины такую ошибку невозможно учесть или исправить. У существующих делительных машин величина местной ошибки равна 0,4–0,5 мкм.

Причины возникновения местной ошибки обычно кроются в непостоянстве усилий трения в кинематических узлах делительных машин, в их загрязненности, а также в результате колебаний и вибраций отдельных частей делительных машин и т. п.

Кроме статически равномерно распределенной местной ошибки, встречаются еще грубые ошибки случайного характера, которые возникают из-за нарушения режима работы делительной машины, например из-за неточной настройки храпового механизма подачи. Эта ошибка может также возникнуть из-за сдвига заготовки в процессе нарезания растра, плохого крепления резца, резких внешних вибраций и других непредвиденных причин. Для обнаружения местных ошибок можно также пользоваться комбинационными полосами, составляя сопряжение из эталонного и исследуемого растров.

Рис. 113. Местные ошибки шага растров.

На рис. 113 приведена фотография комбинационного растра, составленного из решеток с шагом 0,05 мм. На комбинационных полосах отчетливо видны грубые местные ошибки.

Обычно грубые ошибки имеют большую величину и решетки при их наличии бракуются.

Как отмечалось в предыдущих параграфах, центрированная ошибка не содержит сглаженной составляющей. Математическое ожидание такой случайной последовательности равно нулю.

Для нахождения составляющей местной ошибки необходимо из центрованной составляющей вычесть периодическую составляющую ошибки. Периодическая составляющая определяется по спектру центрированной случайной последовательности.

В силу того, что математическое ожидание центрированной функции

с вероятностью единица, и если дисперсия центрированной ошибки на длине растра постоянна [D(∆g_Ц) = const], эта последовательность на длине L является стационарной в широком смысле и обладает эргодичностью.

Учитывая эргодическое свойство центрированной последовательности ошибки растровой меры, ее можно изучать по одной реализации, т. е. по аттестату одного растра достаточной длины. Изучение центрированной ошибки в основном сводится к вычислению ее дисперсии, корреляционной функции и к определению спектра центрированной ошибки с целью выявления периодической составляющей.

Рис. 114. Корреляционная функция ошибки шага.

Корреляционная функция центрированной случайной последовательности вычисляется по формуле

(152)

где m=0,1,2…

Вычисление значений корреляционной функции производится до таких значений, когда k(∆g_Ц) становится практической равной нулю или стационарной.

При m=0 корреляционная функция равна дисперсии центрированной ошибки:

Корреляционная функция ошибок шага одного из растров, вычисленная по формуле (152), представлена на рис. 114.

Для нахождения спектра местной ошибки ее корреляционная функция аппроксимируется зависимостью, близкой к экспериментальной. Для полученной экспериментальной корреляционной функции наиболее подходит функция

(153)

Параметр = 0,257 найден по методу наименьших квадратов.

Спектральная плотность случайной функции связана с ее корреляционной функцией следующими зависимостями:

;

(154)

.

(155)

Эти зависимости выражают функциональную связь и . Формула (154|) выражает корреляционную функцию через спектральную плотность, а формула (155), наоборот, спектральную плотность через корреляционную функцию. Под и подразумеваются нормированные корреляционная функция и спектральная плотность.

Из графика спектральной плотности центрированной ошибки следует, что в ее составе имеется периодическая ошибка с периодом 1 мм. Эта периодическая ошибка имеет большое удельное значение по сравнению со сглаженной и центрированной ошибками.

Вычисление местной составляющей производится по формуле

График местной ошибки шага растра ∆g_м приведен на рис. 108.