Прогрессивные ошибки шага растров

Для высокоточных измерений линейных и угловых перемещений (с погрешностью менее 2 мкм), когда в отсчет требуется ввести поправку на шкалу, приходится рассматривать ошибки отдельной шкалы, а не партии шкал. Обычно поправка, равная ошибке шага штрихов шкалы с обратным знаком, вводится в отсчет автоматически. Аттестацию шкалы и определение поправок целесообразно производить после установки ее в прибор или станок. В этом случае ошибки шага суммируются с погрешностями из-за неправильности установки шкалы и хода столов и кареток прибора, на которых установлена шкала или измерительный растр. Их можно рассматривать как погрешности, приведенные к ошибке шага. Получив аттестат шкалы в процессе аттестации непосредственно на том приборе, в котором она будет работать, можно значительно снизить погрешность отсчета перемещений. Высокопроизводительные средства аттестации с помощью фотоэлектрических микроскопов позволяют производить аттестацию отсчетных устройств не только на заводах после их сборки, но и на месте установки прибора или станка.

Часто при изучении погрешностей данные партии шкал или растров отсутствуют и имеется только один аттестат одной шкалы, т. е. одна реализация случайного процесса. Для определения прогрессивной ошибки по одной реализации случайной функции можно определить сглаженную функцию и эту функцию приближенно принять за прогрессивную ошибку шага растра.

Под сглаженной ошибкой шага растра понимают осредненную на некотором интервале ошибку шага растра. Наиболее точно сглаженную ошибку можно вычислить, воспользовавшись интегралом

(139)

Интервал l должен быть выбран оптимальным. При большом l получается хорошо сглаженная функция , однако дисперсия стационарной функции будет больше, чем при меньшем l.

Поскольку аргумент случайной функции имеет дискретный характер и случайная функция ошибки шага представляет собой случайную последовательность, при экспериментальных исследованиях необходимо пользоваться вместо формулы (139) формулой

(140)

где — значение сглаженной ошибки на расстоянии п штрихов от начала растра;

2m—количество штрихов, участвующие в работе, т. е. количество штрихов, умещающихся на длине растрового сопряжения ;

— ошибка шага i-го штриха.

Каждый последующий член сглаженной погрешности шага образуется по формуле

(141)

Последний член суммы показывает, насколько плавно изменяется сглаженная ошибка при переходе от одного штриха растра к другому. Максимальный скачок сглаженной ошибки не может превышать удвоенной ошибки шага, уменьшенной в 2m раз. Если, например, на длине растрового сопряжения умещается 200 штрихов, то разность между двумя соседними сглаженными ошибками не превышает 1% максимальной разности значений случайной ошибки.

Таким образом, члены последовательности

представляют собой сглаженную ошибку, полученную осреднением 1т случайных ошибок. Очевидно, полученная последовательность будет иметь на 2т членов меньше, чем исходная случайная последовательность. На puc.108 приведена кривая , вычисленная по формуле (140) для 2т = 20.

Вычислении сглаженной ошибки по формуле (140) довольно трудоемки. Проще ее можно вычислить следующим образом. Исследуемый участок растра разбивается по длине на р частей с таким расчетом, чтобы г. каждой части укладывалось q линий растра. Для каждой части растра вычисляется средняя ошибка шага:

(142)

Точки, полученные по формуле(142) , наносятся на график и через них проводится плавная кривая, представляющая собой приближенное значение сглаженной функции ошибки шага растра.

Величина q обычно выбирается равной 20–40; при этом соответственно в 40–20 раз сокращается объем вычисления сглаженной ошибки.

Дисперсия сглаженной составляющей ошибки равна.

(143)

где D – дисперсия ошибки шага растра.

Для исследования прогрессивной ошибки шага растров также удобно пользоваться эталонным растром. Если на комбинационном растре, полученном с помощью эталонного и исследуемого растров провести плавную линию через одноименные точки ячеек, то эта линия будет являться графиком прогрессивной ошибки.

При достаточном увеличении комбинационного растра прогрессивную ошибку можно определить с погрешностью 0,3–0,4 мкм.

На рис 109,а показан комбинационный растр, полученный сопряжением растров, имеющих шаг 0,05 мм. Изгиб комбинационной полосы показывает наличие прогрессивной ошибки шага.

Рис. 109. Сглаженная и накопленная ошибки растровой меры.

В сглаженной ошибке, носящей систематический характер, следует различать накопленную и переменную составляющие. На рис. 108 изображена сглаженная ошибка растровой меры, имеющая обе составляющие. Для определения накопленной составляющей на графике следует провести прямую таким образом, чтобы отклонение сглаженной ошибки от прямой было наименьшим. Наибольшее расстояние по оси ∆g между крайними точками прямой является накопленной ошибкой шага растра ∆g_н.

Накопленную составляющую прогрессивной ошибки шага легко компенсировать перекосом растра в его плоскости до совпадения направления прямой ОО' с осью x, т. е. с направлением рабочего перемещения растра. Компенсация производится таким образом, чтобы величина |∆g| была наименьшей.

Компенсация сводится к установке растра с перекосом таким образом, чтобы растр укоротился. Для этого всегда необходимо иметь растры с положительными отклонением по длине, т. е. допуск на интервал между рабочими делениями шкалы должен быть положительным. Положительное отклонение можно получить, если производить нарезку растра при температуре ниже нормальной. При этом удлинение растра рассчитывается по формуле

(144)

где α₁, α₂ – температурные коэффициенты линейного расширения материалов соответственно ходового винта делительной машины и заготовки растра;

t – окружающая температура, при которой нарезается растр;

l – длина растра.

Величина компенсации определяется из треугольника ABD и BCD (рис. 109,б).

или . Пренебрегая последним членом, получим

(145)

В качестве примера рассмотрим случай нарезки растра длиной 200 мм на стекле марки Ф8 с коэффициентом линейного расширения . Так как наибольшее значение накопленной ошибки может, доходить до 1 мкм, зададимся такой величиной удлинения растра. Коэффициент линейного расширения стального ходового винта делительной машины, на которой нарезается растр, .

Определим температуру в помещении, при которой должен быть изготовлен растр. Подставив в формулу (144) наши данные, получим:

откуда эта температура должна быть равна t=16,2°С. Наибольшую величину компенсации определим по формуле (145):