Расслоение, сравнение выборок

Задача 8 (7 вариант).На основании представленной в таблице выборки данных построить гистограмму и рассчитать характеристики выборки.

Результаты содержания компонента в шихте, %
3,97
4,03	4,02
4,09	4,08	4,06
4,14	4,12	4,10
4,16	4,17	4,19	4,18	4,15	4,18	4,16
4,23	4,22	4,20	4,22
4,28	4,25	4,29	4,29	4,26	4,24	4,29	4,25
4,30	4,34	4,34	4,33	4,32	4,31	4,30	4,31	4,34
4,35	4,37	4,38	4,39	4,36	4,37
4,40	4,44	4,42	4,44	4,41	4,43	4,42
4,47	4,48	4,49	4,45
4,50	4,53

Решение:

1. Определяем: и . Принимаем число групп = 6:

Интервал группирования: . Принимаем 0,1; n = 56.

Табл.5.1.Расчет выборки
№	Границы групп	Середина интервала	Частота ni	Относительная частота fi f i= ni/ 56	Кумулятивная абсолютная частота	Кумулятивная относительная частота
	3,95-4,04	3,995		0,05357		0,05357
	4,05 – 4,14	4,095		0,10714		0,16071
	4,15 – 4,24	4,195		0,19643		0,35714
	4,25 – 4,34	4,295		0,30357		0,66071
	4,35 – 4,44	4,395		0,23215		0,89286
	4,45 – 4,54	4,495		0,10714

2. Характеристика выборки:

- сумма значений: 239,81

- среднее значение: 239,81/56= 4,2823

- стандартное отклонение = = 0,135

- вариация (S / Xср) *100% = 3,15%

КОРРЕЛЯЦИОННО – РЕГУЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Задание № 9

Цель занятия: на основе эксериментальных данный составить и рассчитать уравнение регрессии 2-ой степени типа и построить график.

Решение

Вариант 0

Исходные данные
А			4,5	3,2		5,1	4,2
B			7,5	11,4		5,7	8,4
A		2,7			5,1
B		15,8			25,4

1)Расчёт уравнения 2-й степени: А = а 0 ± а 1 В ± а 2 В 2

Составляем систему из трех уравнений с тремя неизвестными a 0, a 1, a 2

типа: na0+a1ΣВ+a2ΣВ2=ΣА,

a0 ΣВ+a1 ΣВ2 +a2 ΣВ3 =ΣА*В,

a0 ΣВ2 +a1 ΣВ3 +a2 ΣВ4 =ΣА*В2.

Подсчитываем:

Σ В=54; Σ A = 31;

Σ В 2 =478,26;

Σ В3 =4678,3;

Σ В 4 =48201;

Σ A*B 2 =1797,1; Σ А*В=218,7 .

Получаем:

7а0 + 54а1 + 478,3а2 =31;

54а0 + 478,3а1 + 4678,3а2 = 218,7

478,3а0 + 4678,3а1 + 48201а2 =1797,1.

Приводим уравнения в состояние, когда коэффициенты при а 0 = 1:

Делим все коэффициенты 1-ого уравнения на 7; второго уравнения на 54; третьего уравнения на 478,3.

Получаем:

а0 + 8а1 + 68,3а2 =4,43;

а0 + 8,86а1 + 86,2а2 = 4,1

а0 + 9,7а1 + 100,8а2 = 3,76 .

Из 3-го уравнения вычитаем по-членно 1-е и 2-е:

1,7а 1 + 32,5а 2 =-0,67;

0,84 а 1 + 14,6а 2 = -0,34 .

а1 + 19,12а2 =-0,39;

а1 + 17,4а2 =-0,405.

Теперь из 2-го уравнения вычитаем 1-е:

1,72а 2 = 0,015 ; отсюда а 2 =0,02.

Суммируя предыдущие два уравнения, где коэффициенты при а 1 = 1 и деля суммарное уравнение на 2 , получим среднее уравнение:

а 1 = -0,795 + 36,52а 2 . Подставив в него вычисленное значение а 2 , получим

а1 =-0,022.

Суммируя три уравнения, в которых коэффициент при а 0 = 1 и деля суммарное уравнение на 3 , получим следующее среднее уравнение:

а0 =4,1–8,85а1 –85,1а2 . Отсюда а0 =5,8. Таким образом мы получили уравнение регрессии 2-ой степени:

А = 5,8 + 0,022В + 0,02B 2 .

Подставляя в него значения В (исходные данные), получим расчётные значения Ар ; занесём их в таблицу.

No	Аэ (исходные данные)	Ар (расчетные данные)
		3,184
		5,21
	4,5	10,43
	3,2	4,84
		3,46
	5,1	5,88
	4,2	4,57
r	0,967

Для оценки адекватности модели необходимо знать величину множественного коэффициента корреляции. Рассчитаем дисперсию расчетных данных:

=

И затем коэффициент корреляции: математические модели адекватно описывают экспериментальные данные, если r=0, то это значит, что отсутствует корреляционная связь между многочленом и точками поверхности отклика. Чем ближе r к единице, тем лучше описывает модель экспериментальные данные.

Рассчитываем экспериментальную дисперсию:

Коэффициент корреляции:

r = = = 0,977

Ниже на графике представлены кривые, соответствующие рассчитанным уравнениям регрессии. На графике можно увидеть совпадение экспериментальной кривой (кривая Эспер.) и кривой уравнения регрессии второй степени (кривая Расч.) .

Вывод: Судя по коэффициенту корреляции уравнение регрессии адекватно

отражает зависимость между переменными.

2)Расчёт уравнения 2-й степени: А = а 0 ± а 1 В ± а 2 В 2

Составляем систему из трех уравнений с тремя неизвестными a 0, a 1, a 2

типа: na0+a1ΣВ+a2ΣВ2=ΣА,

a0 ΣВ+a1 ΣВ2 +a2 ΣВ3 =ΣА*В,

a0 ΣВ2 +a1 ΣВ3 +a2 ΣВ4 =ΣА*В2.

Подсчитываем:

Σ В=154,2;

Σ A = 29,8;

Σ В 2 =3723,84;

Σ В3 =96428,4;

Σ В 4 =2678316,53;

Σ A*B 2 =13602,35;

Σ А*В=738,2 .

Получаем:

7а0 + 154,2а1 + 3723,84а2 =29,8;

154,2а0 + 3723,84а1 + 96428,4а2 = 738,2

3723,84а0 + 96428,4а1 + 2678316,53а2 =19602,35

Приводим уравнения в состояние, когда коэффициенты при а 0 = 1:

Делим все коэффициенты 1-ого уравнения на 7; второго уравнения на 154,2; третьего уравнения на 3723,84.

Получаем:

а0 + 22,03а1 + 531,98а2 =4,257;

а0 + 24,15а1 + 625,35а2 = 4,787

а0 + 25,89а1 + 719,24а2 = 5,264 .

Из 3-го уравнения вычитаем по-членно 1-е и 2-е:

3,86а 1 + 187,26а 2 = 1,007;

1,74а 1 + 93,89а 2 = 0,477 .

а1 + 48,5а2 =0,261;

а1 + 53,9а2 =0,274.

Теперь из 2-го уравнения вычитаем 1-е:

5,4а 2 = 0,013 ; отсюда а 2 =0,0024.

Суммируя предыдущие два уравнения, где коэффициенты при а 1 = 1 и деля суммарное уравнение на 2 , получим среднее уравнение:

а 1 = 0,267 – 51,2а 2 . Подставив в него вычисленное значение а 2 , получим

а1 =0,144.

Суммируя три уравнения, в которых коэффициент при а 0 = 1 и деля суммарное уравнение на 3 , получим следующее среднее уравнение:

а0 =4,769–24,023а1 –625,523а2 . Отсюда а0 =-0,19. Таким образом мы получили уравнение регрессии 2-ой степени:

А = 0,144В + 0,0024B 2 - 0,19

Подставляя в него значения В (исходные данные), получим расчётные значения Ар ; занесём их в таблицу.

No	Аэ (исходные данные)	Ар (расчетные данные)
		2,1
	2,7	2,68
		2,95
		3,89
	5,1	5,01
		6,02
		7,2
r	0,99

Для оценки адекватности модели необходимо знать величину множественного коэффициента корреляции. Рассчитаем дисперсию расчетных данных:

=

И затем коэффициент корреляции: математические модели адекватно описывают экспериментальные данные, если r=0, то это значит, что отсутствует корреляционная связь между многочленом и точками поверхности отклика. Чем ближе r к единице, тем лучше описывает модель экспериментальные данные.

Рассчитываем экспериментальную дисперсию:

= =2.9

Коэффициент корреляции:

r = = = 0,99

Ниже на графике представлены кривые, соответствующие рассчитанным уравнениям регрессии. На графике можно увидеть совпадение экспериментальной кривой (кривая Эспер.) и кривой уравнения регрессии второй степени (кривая Расч.) .

Вывод: Судя по коэффициенту корреляции уравнение регрессии адекватно

отражает зависимость между переменными.