Определение объёма тела цилиндрической формы
Цель работы: на достаточно простом примере научиться проводить измерения физической величины, обрабатывать и представлять результаты прямых и косвенных измерений.
Объём цилиндра рассчитывается по формуле:
V = π d2 h/4 , (0.1)
где d – диаметр основания цилиндра,
h – высота цилиндра.
Следовательно, объём тела цилиндрической формы можно определить из косвенного измерения, произведя прямые измерения диаметра и высоты.
Обработка и представление результатов прямых измерений
Так как у реального цилиндрического тела значения d и h, измеренные в разных местах и направлениях, могут оказаться разными, то следует произвести многократные измерения диаметра и высоты для нескольких сечений цилиндра. Если результаты многократных измерений получатся разными, то следует произвести их статистическую обработку в соответствии с п.1.2. Предстоит определить средние значения d и h, среднеквадратичные отклонения Sd и Sh, доверительные погрешности ∆d и ∆h (доверительную вероятность следует выбирать близкую к 100%).
В качестве измерительного прибора в данной работе Вы будете использовать линейку или штангенциркуль. Прибор позволит Вам измерить диаметр и высоту цилиндра. Приборная погрешность δ линейки и штангенциркуля определяется ценой деления. Приступая к измерениям, Вам необходимо определить цену деления измерительного прибора.
Доверительные погрешности ∆d и ∆h , полученные в результате статистической обработки, следует сравнить с приборной погрешностью δ. Если, например, большим оказывается значение ∆d , то результат многократных прямых измерений диаметра представляется в виде:
d ± ∆d ( n = ... , P = ... ) .
Если выполняется условие δ > ∆d , то результат представляется в виде:
d ± δ .
В последнем случае считается, что все имеющиеся случайные погрешности перекрываются погрешностью прибора. Именно в такой ситуации можно ограничиваться однократным измерением.
Обработка и представление результатов косвенного измерения
Возможны два варианта обработки и представления результатов косвенного измерения объёма.
Первый вариант
По результатам многократных измерений d и h производятся многократные вычисления значений объёма V. После этого производится статистическая обработка и представление результатов в соответствии с п.1.2. в форме:
V ± ∆V ( n = ... , P = ... ) .
Второй вариант
Производится оценка среднего значения V путём подстановки средних значений d и h в формулу для вычисления объёма. Оценка погрешности ∆V производится в соответствии с формулой (В.7), учитывающей связь погрешностей прямых и косвенных измерений. Результат представляется в форме:
V ± ∆V .
Строго говоря, варианты в общем случае дают разные результаты, как для средних значений, так и для погрешностей величин, определяемых с помощью косвенных измерений. Но если погрешности существенно меньше самих величин, то результаты оказываются достаточно близкими.
На практике чаще используется второй вариант, позволяющий сэкономить время на многократных вычислениях. А в том случае, когда прямые измерения являются однократными, этот подход является единственно возможным. Поэтому именно второй вариант представления результатов косвенных измерений Вам предстоит использовать в этой лабораторной работе и в последующих.
Задание к работе
1. Используя формулы (В.7) и (0.1), получите формулу для определения погрешности ∆V. Учтите, что при вычислении объёма по формуле (0.1) число π округляется и, следовательно, характеризуется некоторой погрешностью округления.
2. Определите цену деления и приборную погрешность измерительного прибора.
3. Подготовьте протокол:
- оформите титульный лист,
- напишите цель работы в п.1 протокола,
- начертите и заполните таблицу измерительных приборов в п.2,
- запишите рабочие формулы в п.3 (формула для определения средних значений величин, формула для определения среднеквадратичного отклонения, формула для определения доверительной погрешности, формула для определения объёма, выведенная Вами формула для определения ∆V - погрешности косвенного измерения объёма),
- п.4 отсутствует,
- в п.5 начертите две таблицы (см. табл.В.2) для обработки результатов многократных (n = 5) измерений диаметра и высоты цилиндра.
4. Произведите пятикратные измерения диаметра и высоты цилиндра в разных сечениях тела. Результаты измерений занесите в таблицы.
5. Произведите статистическую обработку результатов измерений. Определите средние значения диаметра и высоты, а также соответствующие им доверительные погрешности. Сравните доверительные погрешности с приборной погрешностью измерительного прибора.
6. Сделайте оценку среднего значение объёма цилиндра и соответствующей ему погрешности.
7. В п.6 протокола продемонстрируйте, как проводились расчёты средних величин и их погрешностей.
8. В п.7 протокола приведите окончательные результаты прямых и косвенных измерений в стандартной форме.
9. Проанализируйте полученные результаты, сделайте вывод и запишите его в п.8 протокола.
Литература
1. Агекян Т.А. Основы теории ошибок для астрономов и физиков. – М: Наука, 1972. – 172 с.
2. Кассандрова О.Н., Лебедев В.В. Обработка результатов измерений. – М: Наука, 1970. – 104 с.
3. Сквайрс Дж. Практическая физика: Пер. с англ. М: Мир, 1971. – 247 с.
4. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок: Пер. с англ. М: Мир, 1985. – 272 с.
5. Худсон Д. Статистика для физиков: Пер. с англ. М: Мир, 1967. – 243 с.