Представление результатов однократных измерений

Часто для практических целей достаточно произвести однократное измерение интересующей величины. В этом случае невозможно оценить погрешность, связанную со всеми случайными факторами «внешней среды», но мы должны быть уверены, что она достаточно мала. Чтобы убедиться в этом необходимо хотя бы раз произвести многократное измерение величины и определить случайную погрешность. Но в любом случае остаются погрешности связанные с использованием для измерения конкретных приборов.

Поэтому результат однократного измерения представляется в виде:

x ± δx,

где x – значение величины, полученное в процессе однократного прямого или косвенного измерения,

δx - погрешность однократного измерения.

Количество измерений (одно) и доверительная вероятность P (100%) в этом случае не указываются, в отличие от результата многократного измерения.

Величина δx в случае прямого однократного измерения представляет собой приборную погрешность (см.п.1.3).

Возникает закономерный вопрос об определении погрешности косвенного измерения в этой ситуации. Перед тем как дать общий рецепт рассмотрим достаточно простой частный случай такого определения.

Пусть стоит задача измерения объёма куба. Самый простой способ решения задачи связан с измерением L - длины ребра куба. После того как она определена, величина объёма куба рассчитывается по формуле V=L³.

Если измерение L производилось однократно с помощью линейки, то результат такого прямого измерения представляется так:

L ± δL,

где L – значение длины ребра, полученное в процессе однократного измерения,

δL - погрешность прямого измерения, равная погрешности линейки.

Логично потребовать, чтобы результат косвенного измерения объёма имел вид:

V ± δV.

Значение объёма V рассчитывается по формуле, связывающей его со значением длины ребра L. Остаётся определить величину δV - погрешность для косвенного измерения объёма. Очевидно, эта величина каким-то образом должна быть связана с величиной δL. Чтобы обнаружить эту связь нам придётся снова обратиться к процедуре многократного измерения, но результат, который мы при этом получим, будет справедлив и для однократных измерений.

Пусть в процессе многократных измерений мы получили для одного и того же куба множество значений величины L, измеренной прямым способом, и соответствующее множество величины V, рассчитанной по формуле. Каждому значению L_i первого множества соответствует вполне определенное значение V_i второго множества. На рис.В.3 представлен график зависимости V =L³, на котором изображены точки, соответствующие результатам многократных измерений, произведённых для одного и того же куба (разброс значений очень сильно преувеличен). На оси L выделен интервал ΔL, характеризующий разброс значений длины ребра, полученный в процессе многократных прямых измерений. На оси V выделен соответствующий интервал ΔV, характеризующий разброс значений объёма, полученный в процессе вычислений. Эти интервалы определяют погрешности измерений величин L и V. Будем считать, что ΔL и ΔV достаточно малые величины по сравнению со значениями L и V. Тогда их очень просто можно связать между собой. Из треугольника (см. рис.В.3) следует ΔV = tg(α) ΔL = ΔL .

Рис.В.3. Экспериментальные точки на графике зависимости объёма куба от длины его ребра (разброс значений сильно преувеличен)

Очевидно, для однократного измерения роль ΔL играет погрешность линейки δL, а роль ΔV – интересующая нас величина δV. Поэтому в случае однократного измерения получаем:

δV = tg(α) δL = dL .

Где значение производной = 3L² определяется при значении L, полученном в результате однократного прямого измерения.

Мы получили связь погрешностей прямого и косвенного измерения для частного случая. Обобщим результат на произвольную ситуацию. Пусть величина y определяется из косвенных измерений (см. п. 1.1) и является функцией нескольких независимых величин (независимых переменных), которые в свою очередь измерены либо прямо, либо косвенно. В качестве таких «переменных» могут, в частности, выступать и константы, значения которых определяются и используются при вычислениях с определённой точностью, следовательно, сами константы также как и другие величины характеризуются погрешностью.

Обозначим независимые величины x₁, ..., x_n, и соответствующие им погрешности - δx₁, ..., δx_n. Явный вид функции y = f(x₁, ..., x_n) должен быть известен. Будем считать, что каждая величина x_i вносит свой независимый вклад в погрешность величины y. В таком случае погрешность δy определяется следующим образом:

(В.7)

В качестве примера рассмотрим определение погрешности для косвенного измерения скорости. Пусть с помощью рулетки мы произвели однократное измерение расстояния x, пройденного телом в метрах, а с помощью секундомера – затраченное на это время t в секундах. Погрешность δx в этом случае представляет собой приборную погрешность линейки и является известной величиной. Погрешность δt является приборной погрешностью секундомера. Значение скорости определяется по формуле v = x/t, поэтому скорость является функцией двух величин. В соответствии с общей формулой (В.7), определяем выражение для расчёта погрешности скорости:

. (В.8)

Результаты однократных измерений всех трёх величин теперь могут быть представлены в стандартной форме (без указания количества измерений и величины доверительной вероятности):

прямые измерения: (x ± δx) м,

(t ± δt) с,

косвенное измерение: (v ± δv) м/с.

Величины δx иδv представляют собой приборные погрешности линейки и секундомера, а величина δv, оказывается связанной с ними определённым соотношением (В.8).

Оформление результатов измерений

При оформлении результатов измерений необходимо придерживаться нескольких простых общепринятых правил. Это сделает Ваши записи наглядными и понятными.

1. Запись результата измерения какой-либо величины требует предварительного округления значений самой величины и её погрешности. Сначала производится округление погрешности до первой значащей цифры (расчёт погрешности должен быть произведён с точностью до двух значащих цифр). При этом окажется, что первая значащая цифра будет соответствовать определённому порядку или разряду (например, десяткам, единицам, десятым долям и т.п.). После этого производится округление значения измеренной величины до того же самого порядка (разряда). Например, если погрешность составляет единицы, то значение измеренной величины округляется до единиц.

Примеры правильных записей результатов:

L = (125 ± 3) м;

t = (0,067 ± 0,002) c;

g = (9,83 ± 0,01) м/с² ( n = 10, P = 90%).

2. Если значения измеренной величины и её погрешности очень малы или велики, то используется показательная форма записи, в которой за скобки выносится общий десятичный множитель, например:

e = (1,6 ± 0,5) 10^-19 Кл,

m = (9 ± 1) 10^-31 кг.

3. Результаты большого количества измерений принято заносить в таблицы. В этом случае информация представляется наглядно и компактно. Предварительно необходимо продумать структуру таблицы и последовательность расположения информации в ней.

Таблицы могут быть горизонтального или вертикального исполнения. В первом случае значения одной и той же величины располагаются в строке, во втором – в столбце. При большом количестве измерений чаще используется второй вариант. В начале каждой строки (столбца) пишется название или символ (обозначение) соответствующей величины и указывается единица измерения. Если измеряемые величины очень малы или велики, то используется показательная форма записи чисел. В этом случае десятичный множитель не ставится у каждого значения величины, а выносится в начало строки или столбца и записывается перед единицей измерения.

В качестве примера приведём таблицу, представляющую результаты обработки многократного измерения величины x:

Таблица В.2

i	xi , 10-3 м	(xi- ), 10-3 м	(xi- )2,10-6 м2
	2,1   2,2   1,8   1,7   1,9	0,16   0,26   -0,14   -0,24   -0,04	0,0256   0,0676   0,0196   0,0578   0,0016
x = (1,9 ± 0,2)·10-3 м, (n = 5, P =90%)

Приступая к измерениям, необходимо сразу заносить результаты измерений в заранее подготовленную таблицу.

4. Функциональная зависимость одной величины от другой должна быть представлена графиком. График – это самый наглядный способ представления информации в этом случае. Для более надёжного построения графиков следует пользоваться миллиметровой бумагой Принято по горизонтальной оси графика откладывать значения независимой переменной. По вертикальной - значения функции этой переменной. Прежде чем строить график, определите, что в анализируемой ситуации является причиной (ей соответствуют значения независимой переменной), а что – следствием (ей соответствуют значения функции).

В качестве примера на рис.4 изображён график зависимости силы тока проводящего элемента от приложенного к нему напряжения.

Рис.В.4. Зависимость силы тока проводящего элемента от напряжения

По каждой оси графика через равные интервалы наносятся масштабные метки. Масштаб для каждой оси выбирается индивидуально. Сначала необходимо определить диапазон изменения значений представляемых величин. Масштаб выбирается так, чтобы экспериментальные точки максимально распределились вдоль каждой из осей. При этом в частности, необходимо решить - являются ли важными для представления результатов нулевые значения аргумента и функции. Последнее определит значения масштабных меток начала координат (если нули важны, то это будут нулевые метки, если нет – то не обязательно).

Около координатных осей указываются символы (обозначения) величин и единицы их измерений. При необходимости применения показательной формы записи у единиц измерений ставятся десятичные множители.

Экспериментальные точки наносятся только после того, как поставлены масштабные метки и указаны обозначения осей с единицами измерений. Численные значения величин, соответствующие экспериментальным точкам, на осях не указываются. Сами точки должны быть достаточно выделяющимися.

Если на одних и тех же осях представляется несколько экспериментальных графиков, то для обозначения разных наборов точек рационально использовать разные символьные изображения, например: ●, ○, ■, □, ▲, Δ. При необходимости кроме самих значений величин на графиках указываются соответствующие им погрешности. Это делается с помощью горизонтальных и вертикальных чёрточек, пересекающих экспериментальные точки (см. рис.В4). Длина каждой чёрточки определяется погрешностью измерения соответствующей величины.

По массиву экспериментальных точек проводят «наилучшую» плавную кривую. Не должно быть простого соединения точек ломаной линией. Эти изломы, как правило, не соответствуют действительности.

Существуют специальные математические методы определения «наилучшей» кривой. Вам придётся это делать «на глазок», используя три простых принципа:

1) ожидаемая зависимость в лабораторном практикуме чаще всего известна, следовательно, понятно кривую какого вида надо проводить,

2) кривая должна быть плавной, без изломов (если это не какой-либо специальный случай),

3) кривая должна проходить по массиву экспериментальных точек так, чтобы отклонения разных точек от кривой наилучшим образом компенсировали друг друга (например, точкам, лежащим выше кривой, должны соответствовать точки, лежащие ниже).

Если предварительно рассчитана теоретическая зависимость, то имеет смысл представить график этой зависимости в тех же осях, что и график экспериментальной. Это позволит провести сравнительный анализ ожидаемых и полученных результатов.

Протокол

Для оформления результатов лабораторных измерений разработана единая универсальная форма – протокол. Он позволяет представить результаты максимально компактно и информативно. Последовательность пунктов протокола отражает последовательность действий экспериментатора, начиная от постановки задачи – формулировки цели конкретной работы, заканчивая анализом полученных результатов и выводом, следующим из этого анализа. Каждый пункт протокола одинаково важен.

Протокол выполняется на одной стороне листов формата А4. Таблицы, рисунки и графики выполняются карандашом, записи – авторучкой. Первым листом протокола является титульный лист (см. рис.В.5).

Министерство образования и науки РФ НГТУ   Лабораторная работа №   Название лабораторной работы       Факультет: Преподаватель: Группа: Студенты:   Новосибирск 2006 г

Рис.В.5. Титульный лист протокола

Ниже приведены основные сведения, касающиеся пунктов протокола.

Цель работы

В пункте формулируется цель конкретной лабораторной работы.

Таблица измерительных приборов

В таблице приводятся основные сведения об используемыхизмерительных приборах.

На- зва- ние	Фаб= ричный номер	Сис- тема	Класс точ-ности	Предел измере-ний	Цена деле-ния	Довери-тельная погреш-ность

Исходные данные и рабочие формулы

В пункте приводятся данные из паспорта экспериментальной установки, константы, необходимые для вычислений, и формулы, по которым будут вычисляться величины и их погрешности в данной лабораторной работе.